Дискретные математические модели

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
ПЕРМСКИЙ ФИЛИАЛ
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Дискретные
математические модели»
для направления 080100.62 «Экономика»
(вторая ступень высшего профессионального образования)
Утверждена
Одобрена
Учебно-методическим Советом ПФ ГУ-ВШЭ
прикладной математики
Председатель___________________________
Зав. кафедрой________________ Потапов Д.Б.
«_______»__________________________2007 г.
«______»__________________________2007 г.
Пермь 2008 год
на
заседании
кафедры
I.
Пояснительная записка
1. Автор программы: к.ф.-м.н, профессор Иванов Анатолий Прокопьевич.
2. Требования к студентам: курс «Дискретные математические модели» не требует
дополнительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной
средней школы.
Аннотация: Основная цель курса – изучение математического аппарата, необходимого
при изучении курсов экономического профиля, выполнения курсовых и дипломных
работ.
Представленный курс «Дискретные математические модели» предназначен для
слушателей первого курса дневного отделения направления «Экономики». Истоки
дискретной математики уходят в глубь веков. Ее спецификой, как говорит название,
является дискретность. В широком смысле она включает в себя как уже сложившиеся
дисциплины (теория чисел, алгебра, математическая логика, комбинаторный анализ и
др.), так и ряд разделов, которые стали развиваться, начиная со второй половины XX
столетия в связи с научно-техническим прогрессом благодаря внедрению ЭВМ. В
узком смысле дискретная математика ограничивается только новыми разделами
(теория функциональных систем, теория сетей, комбинаторика, теория кодирования,
целочисленное программирование, теория игр, конфликтных ситуаций, компьютерная
дискретная математика и др.) Дискретная математика является сегодня не только
фундаментом математической кибернетики, но и важным звеном математического
образования. При изучении курса у студентов должно сложиться представление о ней
как богатой и содержательной части естественнонаучного знания. Учебный план
представляет данный курс в виде четырех относительно самостоятельных разделов,
составляющих основу дискретной математики: элементы теории множеств и
отношения, основы математической логики, элементы комбинаторики, введение в
теорию графов. Предпочтение чтение курса отдается комбинаторике и теории графов,
обладающие внутренней целостностью математических дисциплин. Умение
математически описывать дискретные конструкции, строить математические и
прикладные дискретные модели и успешно применять их является важной составной
частью современного специалиста.
Курс предназначен для знакомства студентов с содержанием разделов
дискретной математики, привития навыков применения аппарата линейной алгебры
для математического моделирования экономических явлений.
Данная дисциплина направлена на развитие навыков формализации и
организации понятий при создании и изучении математических моделей общих и
конкретных социально-экономических явлений, при постановке и решении
соответствующих математических задач.
Основные виды занятий - лекции и практические занятия. На лекциях студенты
изучают содержание разделов дискретной математики, рассматривают наиболее
сложные теоретические вопросы. На практических занятия в качестве основных
учебных вопросов выносится отработка приемов использования математических
методов и привитие навыков применения аппарата дискретной математики для
математического моделирования экономических явлений.
Успешное освоение материала курса возможно лишь при соответствующем
программном и методическом обеспечении. Методическое обеспечение (тексты
лекций, презентации лекций, методические пособия для проведения практических
занятий) опубликованы в сети университета и доступны для всех студентов и
преподавателей.
В самостоятельную работу студентов входит освоение теоретического
материала, подготовка к практическим занятиям, анализ результатов, полученных на
практических занятиях, выполнение заданий преподавателя на самостоятельную
работу.
Курс является базовым как для изучения других математических дисциплин,
так и для более глубокого изучения общих и специальных разделов экономики.
3. Учебная задача курса: материал является базовым для учебных дисциплин,
связанных с другими курсами: «Теория вероятностей и математическая статистика»,
«Методы оптимальных решений», «Теория игр» и др.
Основная цель курса – изучение математического аппарата, необходимого при изучении
курсов экономического профиля, выполнения курсовых и дипломных работ.
Основными целями и задачами данного курса являются:
 Углубление и расширение общего математического образования
 Овладение теоретическими сведениями, соответствующими программе
 Развитие практических навыков в области дискретной математики
 Создание теоретической и практической базы для дальнейшего изучения смежных
дисциплин
 Умение решать несложные задачи из различных разделов изучаемой дисциплины
В результате изучения курса студент должен:

Знать основы изученных разделов математики; основные правила и формулы,
методы решения задач дискретной математики;

Уметь квалифицированно применять полученные знания при решении задач, в
том числе имеющих экономическую направленность.

Иметь представление о логических и комбинаторных конструкциях, методах
решения разных типов задач.

Обладать навыками решения проблем блочно-схемного типа, теоретикомножественных и логических задач.
4. Формы контроля:
 Текущий контроль: согласно графику контрольных мероприятий проводятся
тематические контрольные работы в форме теста.
 Промежуточный
контроль:
выполнение
минитестов,
микроконтролей,
самостоятельных работы по тематике семинарского занятия; обсуждение
практических ситуаций перед аудиторией. Результирующая оценка промежуточного
контроля (баллы за работу на семинарских занятиях) складывается из результатов
минитестов, микроконтролей, самостоятельных работы по тематике семинарского
занятия; обсуждение практических ситуаций перед аудиторией.
 Итоговый контроль: по завершению дисциплины проводится письменный зачет в
форме теста.
 Итоговая оценка: складывается в соответствии с «Положением о рейтинге…»,
принятом в ПФ ГУ-ВШЭ.
II.
Содержание программы
Раздел 1. Множества и отношения
Основные понятия. Способы задания отношения между множествами. Операции.
Законы операций. Применение к решению задач. Отображения их видов. Отношения.
Виды. Функции.
Раздел 2. Основы математической логики
Высказывания. Их виды. Операции над высказываниями. Свойства. Предикаты их
виды. Операции над предикатами. Теоретико-множественный смысл предикатов.
Кванторы. Применение языка математической логики.
Раздел 3. Элементы комбинаторики
Предмет комбинаторики. Сведения из истории. Классические задачи. Правила суммы
и произведения. Упорядоченные и неупорядоченные множества. Соединения без
повторения и с повторениями элементов. Свойства. Треугольник Паскаля.
Биномиальная теорема. Следствия. Полиномиальная теорема. Следствия. Приложения
к решению задач. Методы комбинаторного анализа: полной математической
индукции, рекуррентных соотношений; включения и исключения; ветвей и границ;
траекторий; производящих функций. Их применения. Конструкции блочно-схемного
типа, применение. Понятие об аддитивной и мультипликативной теорией разбиения
натуральных чисел. Применение. Сведение о комбинаторных кодах. Приложения
комбинаторики.
Раздел 4. Элементы теории графов
История формирования теории графов (в топологии, физике, алгебре). Графы
определения, виды. Основные понятия. Изоморфизм, полные графы. Степень вершин.
Число вершин нечетной степени в конечном графе. Различные представления графов.
Пути в графе. Циклы. Связность. Подграфы. Графы-деревья. Висячие (концевые)
вершины и ребра дерева. Основное дерево, алгоритм его построения. Кратчайшие
пути в графе. Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы в графе. Алгоритм построения.
Нахождение кратчайших путей. Применение элементов теории графов: оценка
структурных компонент графа; максимальный поток в транспортной сети. Задача о
потоке минимальной стоимости, минимальной стоимости и спросе и предложении; о
многопродуктовых потоках и др.
III. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1. Литература
Базовый учебник:
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики М. 2002.
2. Дискретная математика в заданиях и упражнениях. Части1, 2. / Сост. Малых А.Е.
Пермь.: ПФ ГУ ВШЭ, 2003.
Основная:
1. Москинова Г.И. Дискретная математика М.: Логос, 2002.
2. Акимов О.Е. Дискретная математика. (Логика, группы, графы). М.: Лаборатория
базовых знаний. 2001.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной
математики. М.: Наука, 1992.
4. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Пышкевич Р.И. Лекции по теории
графов. М.: Наука, 1990.
5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику М.: Наука, 2002.
6. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. М.: МГТУ им. Баумана, Вып.
19, 2001.
Дополнительная:
1. Березина Л.Ю. Графы и их применения. М.: Просвещение, 1979.
2. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.:
Наука, 1982.
3. Волков В.А. Элементы теории множеств и развитие понятия числа. Л.: ЛГУ, 1978.
4. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1974.
5. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука, 1975.
6. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: МГУ,1972.
7. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1982.
8. Харари Терия графов. М.: Мир, 1973.
9. Форд Л.,Фалкерсан Д. Потоки в сетях. М.: Мир, 1970.
2. Тематика заданий по различным формам текущего контроля
Тематика заданий текущего контроля:
Тематика заданий текущего контроля:
Контрольная работа по теме «Множества и отношения. Основы математической
логики. Элементы комбинаторики».
Перечень вопросов для самоконтроля студентов:
Перечень вопросов для самоконтроля студентов представлен в Приложении 1
«Перечень вопросов для самоконтроля по курсу «Дискретные математические
модели».
Тематика практических занятий:
Перечень практических занятий с указанием темы, плана семинара, заданиями для
работы на семинаре, домашним заданием и списком литературы представлены в
Приложении 2 «Планы семинарских занятий по курсу «Дискретные математические
модели».
3. Методические рекомендации преподавателю:

Уделять внимание общим принципам построения курса «Дискретные
математические модели» как образца построения научной теории.

Акцентировать внимание на применении методов «Дискретные математические
модели» для исследования экономических явлений и систем.

Для проведения семинарских занятий использовать пособие «Планы
семинарских занятий по курсу «Дискретные математические модели».

На семинарских занятиях используются следующие методы обучения и
контроля усвоения материала: выполнение минитестов или микроконтролей по
тематике семинарского занятия; обсуждение практических ситуаций;
решение
типовых расчетных задач.

На контрольных работах проверяется: умение решать типовые задачи; знание
основных определений, методов теории; умение применить изученные теоретические
модели для анализа упрощенных практических ситуаций.
4. Методические указания студентам:

Перед каждым семинарским занятием студент изучает план семинарского
занятия с перечнем тем и вопросов, списком литературы и домашним заданием по
вынесенному на семинар материалу. Студенту рекомендуется следующая схема
подготовки к семинарскому занятию:
1. проработать конспект лекций;
2. проанализировать основную и дополнительную литературу, рекомендованную по
изучаемому разделу;
3. изучить решения типовых задач;
4. решить заданные домашние задания;
5. при затруднениях сформулировать вопросы к преподавателю.

Домашние задания необходимо выполнять к каждому семинарскому занятию.
Сложные вопросы можно вынести на обсуждение на семинар или на индивидуальные
консультации. Контрольные работы состоят из вопросов и задач, аналогичным
задачам домашних заданий.
5. Рекомендации по использованию информационных технологий:
Программы Excel, Mathcad и Математика можно использовать для выполнения
домашнего задания.
Автор программы
_____________________Иванов А.П.
IV. Тематический расчет часов
Наименование разделов и тем
Р.1. Множества и отношения
Множества. Способы задания. Виды. Объединение и
пересечение двух множеств. Свойства.
Разность двух множеств. Число элементов, входящих в
объединение и разность множеств. Решение задач.
Аудиторные часы
практич.
Лекции
Всего
занятия
Самост.
работа
Всего
часов
2
2
4
4
8
4
4
8
8
16
4
4
8
8
16
4
4
8
6
14
14
14
28
26
54
Кортежи. Декартово произведение 2 и нескольких
множеств. Граф и график декартова произведения
Р. 2.Основы математической логики
Высказывания, виды. Отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция. Свойства
Импликация и эквиваленция высказываний. Операции с
высказыванием.
Предикаты. Основные понятия. Виды.
Необходимые и достаточные условия. Теоремы. Виды теорем.
Р. 3. Элементы комбинаторики.
Правила суммы и произведений упорядоченные и
неупорядоченные множества
Соединение без повторений элементов. Биномиальная теорема.
Соединение с повторениями (размещение,
перестановки, сочетания). Полиномная теорема
Методы комбинаторного анализа: полная
математическая индукция, включение и исключение.
Аддитивная и мультипликативная теория разбиений
конструкции блочно-схемного типа. Приложения
комбинаторики.
Р.4. Элементы теории графов
Исторические сведения
Графы. Основные понятия. Изоморфизм.
Связность графов. Деревья. Виды. Теоремы. Решения
задач.
Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы. Алгоритмы
построения.
Всего
Автор программы
_____________________ А.П. Иванов
Перечень вопросов для самоконтроля
по дисциплине «Дискретные математические модели»
для направления 080100.62 «Экономика»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Множества и отношения. Основные понятия.
Способы задания отношения между множествами.
Операции. Законы операций.
Высказывания. Их виды. Операции над высказываниями. Свойства.
Предикаты их виды. Операции над предикатами. Теоретико-множественный смысл предикатов.
Кванторы. Применение языка математической логики.
Предмет комбинаторики. Сведения из истории. Классические задачи.
Правила суммы и произведения.
Упорядоченные и неупорядоченные множества.
Соединения без повторения и с повторениями элементов. Свойства.
Треугольник Паскаля. Биномиальная теорема. Следствия. Полиномиальная теорема. Следствия.
Методы комбинаторного анализа: полной математической индукции, рекуррентных соотношений;
включения и исключения; ветвей и границ; траекторий; производящих функций. Их применения.
Конструкции блочно-схемного типа, применение.
Понятие об аддитивной и мультипликативной теорией разбиения натуральных чисел. Применение.
Сведение о комбинаторных кодах. Приложения комбинаторики.
История формирования теории графов (в топологии, физике, алгебре).
Графы определения, виды. Основные понятия.
Изоморфизм, полные графы.
Степень вершин. Число вершин нечетной степени в конечном графе.
Различные представления графов.
Пути в графе. Циклы. Связность.
Подграфы.
Графы-деревья. Висячие (концевые) вершины и ребра дерева.
Основное дерево, алгоритм его построения.
Кратчайшие пути в графе. Нахождение кратчайших путей.
Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы в графе. Алгоритм построения.
Применение элементов теории графов: оценка структурных компонент графа; максимальный поток в
транспортной сети.
Задача о потоке минимальной стоимости, минимальной стоимости и спросе и предложении; о
многопродуктовых потоках и др.
Приложение 2
Планы семинарских занятий по дисциплине
«Дискретные математические модели»
для направления 080100.62 «Экономика»
Способы задания множеств и операции над ними.
Семинар 1
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Задания для
самостоятельного
решения
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Задания для
самостоятельного
решения
1. Понятие множества, элемента множества. Понятие
подмножества.
2. Виды множеств.
3. Операции над множествами: пересечение, объединение,
разность. Их свойства, основные законы.
4. Изображение операций над множествами при помощи
диаграмм Эйлера-Вена.
5. Понятие универсального множества.
1. Умение перейти от одного способа задания к другому.
2. Выполнение операций над множествами.
3. Изображение результата операций на диаграммах ЭйлераВенна, осуществление доказательства при помощи диаграмм
Эйлера-Венна.
4. Осуществление доказательства путем доказательства
двойного включения.
5. Составление универсального множества по заданному
множеству.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу
дискретной математики. М.: Наука, 1992.
Декартово произведение множеств. Определение числа
элементов для пресечения двух и более множеств.
1. Определения декартова произведения двух и нескольких
множеств.
2. Табличное задание декартова произведения.
3. Граф и график декартова произведения.
4. Формула для определения числа элементов пересечения двух
(трех) множеств.
5. Формула для определения числа элементов разности двух
множеств.
1. Умение задать результат выполнения декартова произведения
путем перечисления элементов.
2. Наглядное
изображение
декартова
произведения
в
дискретном и непрерывном случае.
3. Определение свойств декартова произведения на примерах.
4. Сведение содержательных задач к задачам на множества.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по
курсу дискретной математики. М.: Наука, 1992.
Семинар 2
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Задания для
самостоятельного
решения
Семинар 3
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Задания для
самостоятельного
решения
Соответствия между множествами, виды отношений.
Основные операции алгебры логики.
1. Определение соответствия между множествами, множества
отправления, множества прибытия и графика соответствия.
2. Обратное соответствие.
3. Определение отношения.
4. Виды отношений: симметричное, транзитивное,
рефлексивное.
5. Графы этих отношений.
6. Отношение эквивалентности.
7. Свойство антисимметричности.
8. Понятие высказывания, их виды.
9. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Свойства и таблицы
истинности.
1. Задание соответствия между множествами различными
способами.
2. Нахождение обратного соответствия.
3. Составления отношения по содержательной постановке
задачи.
4. Определения вида отношения.
5. Содержательная интерпретация сложного высказывания.
5. Построение таблиц истинности для сложного высказывания и
доказательство при помощи таблицы истинности.
Акимов О.Е. Дискретная математика. (Логика, группы,
графы). М.: Лаборатория базовых знаний. 2001.
Основные операции алгебры логики. Применение алгебры
логики. Предикаты, операции над предикатами.
1. Импликация и эквиваленция высказываний. Их выражение
через отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию.
2. Основные законы алгебры логики, законы ди Моргана,
законы поглощения.
3. Понятие тавтологии.
4. Возможности применения алгебры логики к решению
содержательных задач.
5. Определение предиката.
6. Виды предикатов.
7. Операции над предикатами.
1. Составление таблиц истинности для сложных высказывание.
2. Определение, является ли высказывание тавтологией.
3. Доказательства равенства высказывание путем использование
основных эквивалентностей и законов алгебры логики.
4. Сведение содержательных задач к операциям алгебре логики.
5. Составление предикатов, выполнение операций над ними.
Акимов О.Е. Дискретная математика. (Логика, группы,
графы). М.: Лаборатория базовых знаний. 2001.
Семинар 4
Элементы комбинаторики. Биномиальная теорема.
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Задания для
самостоятельного
решения
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Семинар 5
Задания для
самостоятельного
решения
Тема
1. Правила суммы и произведений.
2. Перестановки, сочетания и размещения без повторений. Их
взаимосвязь.
3. Перестановки, сочетания и размещения с повторениями.
4. Основные свойства перестановок, сочетаний и размещений
без повторений.
5. Биномиальная теорема.
6. Свойства бинома Ньютона, свойства биномиальных
коэффициентов.
7. Треугольник Паскаля.
8. Формула k-го члена Бинома Ньютона.
1. Сведение содержательных задач к элементам комбинаторики
как с повторениями, так и без.
2. Решение системы уравнений, состоящих из элементов
комбинаторики.
3. Нахождение k-го члена Бинома Ньютона.
4. Нахождение k-го члена Бинома Ньютона, обладающего
определенными свойствами.
Москинова Г.И. Дискретная математика М.: Логос, 2002.
Полиномиальная теорема. Метод полной математической
индукции.
1. Полиномиальная теорема.
2. Полиномиальные коэффициенты.
3. Метод полной математической индукции.
1. Нахождение разложения степени полинома.
2. Нахождение
полиномиального
коэффициента
при
конкретном члене полинома.
3. Применение метода полной математической индукции для
равенств, неравенств, в тригонометрии.
Москинова Г.И. Дискретная математика М.: Логос, 2002.
Контрольная работа по теме «Элементы
комбинаторики»
Вопросы
Представлены в семинарах 1-4
Умения и навыки
Представлены в семинарах 1-4.
Семинар 6
Тема
Вопросы
Основные понятия теории графов.
1. Понятие графа, множества вершин и множества ребер (дуг).
2. Виды графов.
3. Определение инцидентных вершин, изолированных вершин,
смежных вершин, степени вершин.
4. Понятие уникурсальных фигур. Условия уникурсальности
Эйлера.
5. Теорема Эйлера о сумме степеней вершин графа.
6. Способы задания графов, в том числе матрица инцидентости,
матрица смежности.
7. Понятия полного графа.
8. Определение графа-дополнение.
Умения и навыки
Семинар 7
Задания для
работы на
семинаре
Задания для
самостоятельного
решения
Тема
Вопросы
Умения и навыки
Задания для
работы на
семинаре
Задания для
самостоятельного
решения
1. Умение по графу построить матрицу смежности, матрицу
инидентости для неориентированного (ориентированного)
графа и обратно.
2. Определение степеней вершин для неориентированного
(ориентированного) графа.
3. Определение, является ли граф уникурсальной фигурой.
4. Построение различных видов графов.
5. Построение графа-дополнение.
Приведены в раздаточном материале.
Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Пышкевич Р.И.
Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
Основные понятия теории графов.
1. Определение пути, цикла, простого пути, цикла.
2. Определение изоморфизма.
3. Алгоритм проверки на изоморфизм.
4. Понятие эйлерова, гамильтова цикла (пути).
5. Определение дерева, леса.
1. Умение в графе найти все пути, циклы.
2. Построение всех неизоморфных графов с одинаковым
(конкретным) числом вершин.
3. Определение, является ли два графа изоморфными.
4. Нахождение эйлерового пути (цикла) в графе.
5. Нахождение гамильтово пути (цикла) в графе
6. Составление заданного дерева, леса
Приведены в раздаточном материале.
Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Пышкевич Р.И.
Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.