Презентация к уроку «Изучение формул сокращенного умножения

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО
УМНОЖЕНИЯ
7 КЛАСС
Методические рекомендации по изучению
квадрата суммы ( разности) двух
выражений.
« Я слышу - я забываю,
я вижу – я запоминаю,
я делаю – я понимаю»
Древняя китайская мудрость
ВСПОМНИМ И ПОВТОРИМ
1. Найти квадраты выражений:
а
-7 49
2с 4c²
a²
5x²y³
2. Найти произведение двух выражений:
p и q pq
4x и 7y 28xy
a и 6b²c
25x⁴y⁶
6ab²c
3. Найти удвоенное произведение этих выражений:
2pq
26xy
4.Прочитать выражение:
а) а+3; б) m-n; в) (x+y)² ; г) (а-b)²
12ab²c
ВСПОМНИМ И ПОВТОРИМ
5. Упростить выражение:
c·c
x² · x² x⁴
c²
(a+b)(a+b)
(a+b)²
6.Выполнить умножение:
а) (x+3)(x+2)= x²+5x+6
(a-5)(a+6)=
a²+a-30
б) (m+n)(m+n)= m²+2mn+n²
(a+b)(a+b)=
a²+2ab+b²
Вывод: (a+b)(a+b) = (a+b)² =
(m+n)(m+n)=
(m+n)² =
a²+2ab+b²
m²+2mn+n²
7) ВЫПОЛНИТЬ УМНОЖЕНИЕ:
а) (a-b)(a-b) =
a²-2ab+b²
б) (m-n)(m-n)=
m²-2mn+n²
Вывод: (a-b)(a-b) =
(m-n)(m-n)=
(a-b)² =
a²-2ab+b²
(m-n)² =
m²-2mn+n²
Формулы сокращённого
умножения
(а + b)2
КВАДРАТ СУММЫ
(а - b)2
КВАДРАТ РАЗНОСТИ
a² + 2ab + b²
ТРЁХЧЛЕН: КВАДРАТ ПЕРВОГО СЛАГАЕМОГО, ПЛЮС
УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЕРВОГО
СЛАГАЕМОГО НА ВТОРОЕ, ПЛЮС
КВАДРАТ ВТОРОГО СЛАГАЕМОГО
a² - 2ab + b²
ТРЁХЧЛЕН: КВАДРАТ ПЕРВОГО СЛАГАЕМОГО, МИНУС
УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЕРВОГО
СЛАГАЕМОГО НА ВТОРОЕ, ПЛЮС
КВАДРАТ ВТОРОГО СЛАГАЕМОГО
ФОРМУЛЫ КВАДРАТА СУММЫ( РАЗНОСТИ) ЛУЧШЕ
ПРЕДСТАВЛЯТЬ СХЕМАТИЧЕСКИ
(
(
±
3х
+
)² =
2у)²
=
² ± 2·
3х²
+2·
·
3х·
(3х +2у)² = 9х² + 12ху + 4у²
+
²
+
2у
²2у
УЧИМСЯ РАБОТАТЬ ПО ФОРМУЛАМ
Преобразуйте в многочлен стандартного вида
(х+3у)² =
(2с- 3d)² =
х²+6ху+9у²
4c²-12cd+9d²
( m- 2n)² =
m²-2mn+4n²
(4a+b)² =
16a²+8ab+b²
( p + 3q)² =
p²+2pq+9q²
(x² + y²)² =
x⁴+2x²y²+y⁴
УЧИМСЯ РАБОТАТЬ ПО ФОРМУЛАМ
Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
1.
2.
3.
5m²+10mn-5(m-n)²=
4(a-b)²+(a²-4)(b²-4)=
(a³+b³)² - b⁶+a⁶ - a³b³ =
20mn-5n²
a²b²-8ab+16
2a⁶+a³b³
Решите уравнения:
1.
2.
3.
(4-х)² - х(х-5) = 4
3х +6 +(2х-1)² =4х²
(х-2)(5-х) +(х-3)² =5
X=4
X=7
X=6
УЧИМСЯ РАБОТАТЬ ПО ФОРМУЛАМ
Заполните пропуски одночленами так, чтобы получилось тождество.
1. (9m² - ?)² = ? - ? + 4k²
2.(6a³ +?)² = ? + 60а³b +?
(9m² - 2k)² = 81m⁴- 36 m²k + 4k²
(6a³ +5b)² = 36a⁶ + 60а³b +25b²
3.(? – 4b²)² = ? – 24a³b² + ?
(3a³ – 4b²)² = 9a⁶ – 24a³b² + 16b⁴
4.(? + 5k²)² = 4m² + ? + ?
(2m + 5k²)² = 4m² + 20mk² + 25k⁴
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ФОРМУЛЫ КВАДРАТ СУММЫ
a²+2ab+b²
(a+b)²
a+b
a
b
b
b
a
b
a
a²
b
ab
ab
b
b²
ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВА
(а - b)2 = (b - а)2
(-а - b)2 =(а + b)2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
(а - b)2 = (b - а)2
(а - b)2 = (-1·(-а +b))2 =(-1)² ·(b-a)²= (b - а)2
ч.т.д.
(-4a +b²)² = ( -4a + b² )²=( b² - 4a )² =
= b⁴ - 8b²a + 16a² = b⁴- 8ab² + 16a²
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
(-а - b)2 = (а + b)2
(-а- b)2 = (-а- b)·(-а- b)=а²+аb+ab+b²=
=a²+2ab+b²= (а + b)2 ч.т.д.
2способ: (-а - b)2 =(- (а + b)2 )=(-1)²· (а + b)2 =
= (а + b)2
ч.т.д.
3способ: (-а - b)2 =(
-а +
- b)²=
1способ:
= -а ² + 2·
= (а + b)2
-а ·
- b+
ч.т.д.
- ²=
b a²+2ab+b²=
ПРЕДСТАВЬТЕ В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА ВЫРАЖЕНИЯ
1. (-6х – 2)²=
(6x+2)²=36x²+24x+4
2. (-5m² + 3)²= (3-5m²)²=9-30m²+25m⁴
3.(-2x - 9)²=
(2x+9)²=4x²+36x+81
4. (-7p² +q²)=
(q²-7p²)=q⁴-14q²p²+49p
РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ
1)(4 –х)² - х(х-5) = 4
2) 3х + 6 +(2х – 1)² = 4х²
3) (х – 2)(5 –х) + (х – 3)² = 5
X=4
X=7
X=6
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА В
РАЗЛИЧНЫХ СИТУАЦИЯХ.
Вывести формулу квадрат трёхчлена
(a + b + c)²
(a + b + c)² =( (a +b) +c)² =
= (a+b)² + 2· (a+b) · c + c² =
= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² =
= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛЫ КВАДРАТ
ТРЁХЧЛЕНА
(a + b + c)² = a² + b² + a² + 2ab + 2ac + 2bc
a
b
c
ac
b²
a²
aca²
ab ac
 acac ab
ab
ab
ab
b²
bc
ac
bc
c²
ac
ac
bc
bc
c²
ФОРМУЛА ПОЛНОГО КВАДРАТА
a²+2ab+b²
(a+b)²
1) Являются ли данные выражения полными
квадратами?
1) x² + 10x + 25;
2) x² - x +1;
3) 64 + m² + 16m;
4) 73² + 17² + 17·73.
ФОРМУЛА ПОЛНОГО КВАДРАТА
2) При каком значении p трёхчлен можно
представить в виде квадрата трёхчлена?
1,44x² - 12xy + py²; pb² - 8ab + 0,16a²;
3) К данным многочленам прибавить такой
одночлен из предложенных вариантов, чтобы
выражение стало полным квадратом:
1) a² + 2a + 2
а) -3; б) -1; в) 2; г) 1.
2) 1 +х² -6х
а) 2; б) 35; в) 8; г) -9.
3) 49 + p²
а) 14p; б) ; в) ; г) 18p.
Алгебраическими тождествами
пользовался в III веке до н. э.
древнегреческий геометр Евклид.
В своих «Началах», состоящих из 13 книг,
вторую книгу он специально посвятил
алгебраическим тождествам, правда в
геометрическом истолковании. Тождество
(a+b)² = a²+2ab+b² сформулировано в
«Началах» Евклида так: «Если прямая линия каклибо рассечена, то квадрат на всей (, то квадрат
построенный на АВ, равен двум квадратам, на
отрезках АС и СВ вместе с удвоенным
прямоугольником на АС и СВ»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Журнал « Математика в школе» №3,1991г.
2. М.Р.Леонтьева « Из опыта преподавания
математики»(6-8кл.),Москва, Просвещение,1972г.
3. Э.Г.Гельфан,Т.В.Бондаренко «Тождества
сокращённого умножения» , Томск, 1996г.
4. Чистяков «Исторические экскурсы на уроках
математики»
5. Ю.П.Дудницин, В.Л.Кронгауз «Карточки с заданиями
по алгебре для 7 класса.» (1 часть)
6. Ю.Н.Макарычев и др. Алгебра 7класс.