Педагогическая мозаика Попченко Светлана Николаевна МБОУ СОШ №3 г. Клинцы, Брянской области

Педагогическая мозаика
Попченко Светлана Николаевна
 МБОУ СОШ №3 г. Клинцы, Брянской
области
 Учитель математики

Система линейных уравнений
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Пусть дана система двух линейных
уравнений с двумя переменными
 a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2
Главным определителем системы
называется число, которое равно

a1 b1
a2 b2
 a1  b2  a2  b1 .
Пример
Найти главный определитель
системы
5x  3 y  1,

4 x  3 y  10,
Решение

5 3
4 3
 5  3  4  (3)  15  12  27,
Первым вспомогательным определителем
называется число, которое вычисляется по
формуле:
.
x
c1

c2
b1
 c1  b2  c2  b1 ,
b2
причем, он получается из главного
определителя, если столбец коэффициентов
a1
при x
a2
заменить столбцом свободных членов
c1
c2
Вторым вспомогательным определителем
называется число, которое вычисляется по
формуле:
.
y
a1

a2
c1
 a1  c2  a2  c1 ,
c2
причем, он получается из главного определителя,
если столбец коэффициентов при y
b1
b2
заменить столбцом свободных членов
c1
c2
.
Пример.
Найти вспомогательный определитель системы
2x  3y  1,

 x  2y  3,
Решение
x 
y 
1 3
3 2
2 1
1 3
 1  (2)  3  (3)  2  9  7,
 2  3  1  1  6  1  5.
Правило Крамера
1. Если главный определитель системы отличен от нуля
0
то система совместна и имеет единственное решение, причем
x
x 
,

y
y

.
2. Если главный определитель системы равен нулю
0
а хотя бы один из вспомогательных отличен от нуля  x  0 (  y  0),
то система несовместна.
3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных
равны нулю, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений (является неопределенной), причем, если
x  t, тогда
где
c1  a1  t
c2  a2  t
y
или y 
,
b1
b2
t  R.
Решить системы уравнений
 x  2y  5,

2x  3y  8;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

x 
5 2
8 3
1 2
2 3
 1  3  2  2  3  4  1,
 5  3  8  2  15  16  1,
y 
1 5
2 8
 1  8  2  5  8  10  2.
Главный определитель системы отличен от нуля
  1  0,
значит система совместна и имеет единственное решение
y  2
x 1
x

 1, y 

 2.
 1
 1
Ответ: (1; 2).
2.
9x  6y  3,

3x  2y  2;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя
системы:

9 6
3 2
 9  (2)  3  (6)  18  18  0,
9 3
3 6
x 
 3 (2)  2 (6)  6  12 0,6 y 
 9  2  3  3  18  9  9.
3 2
2 2
Главный определитель системы равен нулю,
вспомогательных не равен нулю
( y  9  0),
Ответ:
система несовместна.
а
один
из
3.  3x  4 y  5,

6x  8 y  10.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

x 
5
4
10 8
3 4
6 8
 3  8  6  4  24  24  0,
 40  40  0,
y 
3
5
6 10
 30  30  0.
Главный и оба вспомогательных определителя равны нулю, значит система
совместна и имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти все пары
решений системы, достаточно взять любое из уравнений системы и,
придавая
переменной
x
произвольные
значения
из
множества
действительных чисел x = t R, найти значения y:
5  3t
y
Ответ: система имеет б/м решений, x  t, y 
4
5  3t
, где
4
.
t  R.
4.
.
5 x  y  16

2 x  3 y  3
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
5 1

 15  2  17  0
2 3
16 1
5 16
x 
 48  3  51;  y 
 15  32  17
3 3
2 3
значит, система имеет единственное решение.
 y 17
 x 51
x

 3, y 

1
 17
 17
.
Ответ: (3; -1).
5.  2 x  3 y  1,

5 x  3 y  8.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
.
2 3

 6  15  21  0
5 3
1 3
2 1
x 
 3  24  21;  y 
 16  5  21
8 3
5 8
значит, система имеет единственное решение.
 y 21
 x 21
x 
 1, y  
1
 21
 21
.
Ответ: (-1; 1)
6.
.
 2 x  3 y  3,

7 x  5 y  16.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
2 3

 10  21  11  0
7 5
3 3
2 3
x 
 15  48  33;  y 
 32  21  11
16 5
7 16
значит, система имеет единственное решение.
 y 11
 x 33
x 
 3, y  
 1
 11
 11
.
Ответ: (3; -1).
С помощью правила Крамера легко проводить
исследование систем уравнений с параметрами.
Исследовать систему уравнений - это значит решить
вопрос о ее совместности или несовместности, и
если она совместна, то найти все ее решения.
7. Исследовать систему уравнений
ax  y  2,

 x  y  2a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

x 
2
1
a 1
1 1
 2  2a  2(1  a),
 a  1,
y 
a 2
 2a 2  2  2(a  1)(a  1).
1 2a
2a 1
1. Главный определитель системы не равен нулю, если a  1  0, a  1,
тогда система совместна и имеет единственное решение:
 y 2(a  1)(a  1)
 x 2(1  a)
2(a  1)
x


 2,
y

 2(a  1).

a 1

a 1
a 1
2. Если a - 1= 0, a = 1, тогда    x   y  0,
значит система совместна и имеет бесконечное множество
решений, т. е. является неопределенной.
Пусть
x  t, тогда из первого или второго уравнения y  2  t,
где t  R .
8. Исследовать систему уравнений:
 (a  5) x  (2a  3) y  (3a  2)  0,

(3a  10) x  (5a  6) y  (2a  4)  0.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
a  5 2a  3

 (a  5)(5a  6)  (3a  10)(2a  3) 
3a  10 5a  6
 5a2  31a  30  6a2  29a  30  a2  2a  a(2  a).
3a  2 2a  3
x 
 (3a  2)(5a  6)  (2a  4)(2a  3) 
2a  4 5a  6
 15a2  28a  12  4a2  14a  12  11a2  14a  a(11a  14).
a  5 3a  2
y 
 (a  5)(2a  4)  (3a  10)(3a  2) 
3a  10 2a  4
 2a2  14a  20  9a2  36a  20  7a2  22a  a(7a  22).
1. Если
  0, a(2  a)  0, a  0, a  2,
тогда система совместна и имеет единственное решение
 y  a(7a  22) 7a  22
 x a(11a  14) 11a  14


.
x


, y

a(2  a)
a2

a(2  a)
2 a
2. Если a = 2, тогда
  0,  x  16  0,  y  72  0,
значит система несовместна.
      0,
3. Если a = 0, тогда
x
y
значит система имеет бесконечное множество решений, т. е.
является неопределенной. Положим x = t, тогда из первого или
2  5t
второго уравнения находим
y
3
,
где
t  R.
9. Исследовать систему уравнений
 ax  y  b,

bx  y  a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

y 
a b
b a
1. Если
a 1
b
 a  b  (a  b)(a  b).
2
2
1
 a  b,
x 
b
1
a
1
 b  a,
  a  b  0, a  b,
тогда система совместна и имеет единственное решение
x
a b
 y (a  b)(a  b)
x 

 1,
y

 a  b.

b a

a b
2. Если a = -b, тогда    x   y  0,
система имеет бесконечное множество решений, т. е. является
неопределенной. Положим x  t, тогда y  b(t  1), где t  R .
10. Найти все значения а, при которых система уравнений
 3x  ay  5,

6 x  8 y  1.
имеет единственное решение.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
3 a

 24  6a  6   4  a  ,
6 8
5
x 
1
a
 40  a,
8
3 5
y 
 3  30  33
6 1
Если   0, 4  a  0, a  4
то система имеет единственное решение.
11. Найти все значения
m
, при которых система уравнений
 (m  2) x  7 y  9,

 m  1 x  2  m  2  y  18.
,
имеет бесконечное множество решений.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
m2
7

 2m2  8  7m  7  2m2  7m  15  2  m  1,5 m  5
m  1 2  m  2
9
7
x 
 18m  36  126  18m  90  18  m  5 ,
18 2  m  2 
m2 9
y 
 18m  36  9m  9  9m  45  9  m  5
m  1 18
.
Если m = 5, тогда все три определителя равны нулю    x   y  0
а значит система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = 5.
12. Найти все значения а, при которых система уравнений
.
 x  ay  3

ax  4 y  a  4
не имеет решений.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
1 a

 4  a 2  a 2  4   a  2  a  2 
a 4
3
a
x 
 12  a 2  4a  a 2  4a  12   a  6  a  2 
a  4 4
.
1
y 
a
3
 a  4  3a  2  a  2 
a4
0
 x  0,  y  0
При a = -2 главный определитель равен нулю
а оба вспомогательных не равны нулю
.
Ответ: a = -2.
Дополнительные задачи
Решить систему уравнений:
1. 6 x  5 y  19,

 3x  y  34.
2. 7 x  4 y  15,

 2 x  3 y  4.
Ответ: (9; 7).
Ответ (1;2)
Исследовать системы уравнений:
3. 3x  ay  5a 2 ,

2
3x  ay  a .
Ответ:
1. Если a  0 ,то система совместна и имеет единственное
решение a 2 ; 2a 
.
2. Если a = 0, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений.
4.
(a  1) x  2ay  2  0,

2ax  (a  1) y  (a  1)  0.
Ответ:
1
1. Если a  1 è a 
3
то система совместна и имеет единственное решение:
2a  2
a 1
x 
; y 
3a  1
1  3a
2. Если a = -1, то система совместна и имеет бесконечное множество
решений.
1
3. Если a  , то система несовместна.
3.
5.
.
 ay  bx  0,

 y  x  b  a.
Ответ:
ab
Если
, то система совместна и имеет единственное
решение (a; b).
2. Если a = b, то система совместна и имеет б/м решений.
6. Найти все значения a, при которых система уравнений
5 x  ay  2,

10 x  3 y  3.
имеет единственное решение.
Ответ:
a  1,5
7. Найти все значения m, при которых система уравнений
.
 m  2  x  27 y  4,5,

2 x  (m  1) y  1,
имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = -7.
8. Найти все значения a, при которых система уравнений
7ax  4 y  8,

2
x

7
ay

49
a
,

не имеет решений.
Ответ:
a 
2
7