Задачи на вероятность Повторение Задача 1 В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 15 нестандартных деталей. Чему равна вероятность того, что взятая наугад деталь окажется нестандартной? N ( A) P Решение. N Р = 15/100 = 0,15 Ответ: 0,15. Задача 2 При стрельбе из винтовки вероятность попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Решение. N ( A) N ( A) Р N , 0,85 , 120 N ( A) 1200,85; N ( A) 102. Ответ: 102 попадания. Вероятностная шкала. Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов - тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом. Вероятностная шкала случайные События: 0 Вероятность: 0,5 1 Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале А={сегодня события: будет землетрясение}; B={при бросании кубика выпадет шестерка}; C={пpu бросании кубика выпадет четное число очков}; Задача 3 Вова хочет вытянуть наугад одну карту из колоды с 36-ю картами. Маша, Саша, Гриша и Наташа предсказали следующее: Маша: Это будет король. Саша: Это будет пиковая дама. Гриша: Эта карта будет красной масти. Наташа: Эта карта будет пиковой масти. Решение : • Как сравнить между собой шансы предсказателей? • Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами: • А={Вова достанет короля}; • В={Вова достанет пиковую даму}; • С={Вова достанет карту красной масти}; • D={Вова достанет карту пиковой масти}. • Всего в колоде: 36 карт; • королей - 4; Р(А)=4/36 • пиковая дама - 1; Р(В)=1/36 • карт красных мастей-18; Р(С)=18/36 • пик- 9; Р(D)=9|36 Задача 4 Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере? Решение : • Обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N. • Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет 86/N. • С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове вероятности: 86/N=6/78. Отсюда N = 86 • 78 / 6 = 1118. Ответ: 1118 рыб. Задача В некоторой ограниченной области случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую n? S ( A) P( A) S ( ) n А 0 S (n) 0; P(n) 0 S ( ) Геометрическое определение вероятности Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей: S ( A) P( A) S () Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: V ( A) L( A) P( A) V () ; P( A) L() Задача 5 В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата 16см2 – 4см2 = 12см2. 12 3 P( A) 0,75 16 4