Введение в матем. экономику

1
Пояснительная записка
Целью
курса
«Математическая
экономика»
является освоение студентами современных
математических методов анализа и научного
прогнозирования
поведения
экономических
объектов.
2
Основные задачи курса: подготовка студентов для
научной и практической деятельности в области
математической экономики.
Содержание лекции 1:
Введение.
Основы
моделирования
экономических
процессов.
Система.
Модель.
Основные
типы
соотношений,
формирующие
математическую
модель.
Полная,
упрощенная и имитационная математическая модель.
Экономическая
система
как
объект
управления.
Основные методы изучения экономики и её подсистем.
Основные понятия:
система, модель, математические методы моделирования
3
Математическая экономика
Математическая экономика — это наука, которая
использует математический аппарат в качестве
метода исследования экономических систем и
явлений.
Объект изучения математической экономики является
экономика — как часть бытия или часть обширной
области человеческой деятельности.
Специфика
математической
экономики
заключается в том, что она изучает не сами
экономические объекты и явления как таковые,
а их математические модели.
Ее цель— получение объективной экономической
информации
и
выработка
имеющих
важное
практическое значение рекомендаций.
4
Основные задачи, стоящие перед
математической экономикой:
разработка математических моделей экономических
объектов, систем и явлений
изучение поведения участников экономики
изучение описательных моделей экономики
анализ экономических величин и статистических
данных
5
Математические модели
Математической
моделью
реального
объекта
(явления)
называется
ее
упрощенная,
идеализированная схема, составленная с помощью
математических символов и операций (соотношений).
Математическая модель – это некоторый математический
образ исследуемой экономической системы, который
адекватно отражает структуру переменных системы, их
свойства и взаимосвязи.
Модель может быть представлена в виде набора
графиков, таблиц или системы математических
уравнений и неравенств, с помощью которых можно
однозначно определить значения одних переменных по
известным значениям других переменных.
6
Требованиях к моделям:
1. адекватность
(соответствие
модели
своему
оригиналу),
2. объективность (соответствие научных выводов
реальным условиям),
3. простота (не засоренность модели второстепенными
факторами),
4. чувствительность (способность модели реагировать
изменению начальных параметров),
5. устойчивость
(малому
возмущению
исходных
параметров должно соответствовать малое изменение
решения задачи),
6. универсальность (широта области применения).
7
Схема выбора модели и метода ее
исследования
8
Этапы проведения математических
исследований экономической задачи
1. изучение предметной области и определение цели
исследования;
2. формулировка проблемы;
3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);
4. построение математической модели;
5. выбор ( или разработка) вычислительного метода и
построение алгоритма решения задачи;
6. программирование алгоритма и отладка программы;
7. проверка качества модели на контрольном примере;
8. внедрение результатов на практике.
9
Переменные и параметры модели
Переменные модели (факторы) – это переменные
величины, которые характеризуют структуру и
состояние экономической системы
Экзогенные
(независимые)
переменные
–
переменные, значения которых формируются
модели
это
вне
Эндогенные (зависимые) переменные – это переменные,
значения которых формируются внутри модели, в
зависимости от значений экзогенных переменных
Параметры модели – числовые константы, которые
участвуют в модели с целью обеспечения ее
адекватности
Основная задача моделирования
Моделирование сводится к тому, чтобы с
помощью математических функций установить
вид связи между эндогенными и экзогенными
переменными системы
Y = f(x1, x2,…,xk, a1,a2,…,an)
где: Y – эндогенная переменная;
xi – экзогенные переменные;
ai – параметры модели
Модель,
в
конечном
счете,
–
некоторая
функциональная связь между независимыми и
зависимыми переменными
Пример 1.
Пусть некоторый экономический регион производит
несколько (n) видов продуктов исключительно своими
силами и только для населения данного региона.
Предполагается,
что
технологический
процесс
отработан, а спрос населения на эти товары изучен.
Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с
учетом того, что этот объем должен обеспечить как
конечное, так и производственное потребление.
12
Составим математическую модель
Обозначим известные величины:
c i — спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n);
a ij — количество i-го продукта, необходимое для
выпуска единицы j -го продукта по данной технологии
( i=1,...,n ; j=1,...,n);
Обозначим неизвестные величины:
х i — объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n);
совокупность с =( c1 ,...,cn ) называется вектором спроса,
числа aij — технологическими коэффициентами, а
совокупность х =( х1 ,...,хn )— вектором выпуска.
13
Решение
По условию задачи вектор х распределяется на две
части:
на конечное потребление (вектор с ) и
на воспроизводство (вектор х-с ).
Вычислим ту часть вектора х которая идет на
воспроизводство.
По нашим обозначениям для производства хj количества
j-го товара идет aij · хj количества i-го товара.
Тогда сумма ai1 · х1 +...+ ain · хn показывает ту величину i-го
товара, которая нужна для всего выпуска х =( х1 ,...,хn ).
Следовательно, должно выполняться равенство:
хi - сi = ai1 · х1 +...+ ain · хn
14
х1 - с1 = a11 · х1 +...+ a1n · хn
х2 - с2 = a21 · х2 +...+ a2n · хn
...............................................
хn - сn = an1 · хn +...+ ann · хn
В. Леонтьев
1906–1999
Квадратная
(nxn)
—
матрица
технологической матрицей.
А
называется
Наша модель теперь запишется так: х-с=Ах или x-Ax=c
классическая модель «Затраты-выпуск» Леоньтьева
15
Пример 2
Инвестору требуется определить наилучший набор из
акций, облигаций и других ценных бумаг для
приобретения их на некоторую сумму с целью
получения определенной прибыли с минимальным
риском для себя. Прибыль на каждый доллар,
вложенный в ценную бумагу j - го вида,
характеризуется двумя показателями: ожидаемой
прибылью и фактической прибылью.
Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на
один доллар вложений была для всего набора ценных
бумаг не ниже заданной величины b.
16
Решение
Обозначим известные параметры задачи:
n — число разновидностей ценных бумаг;
аj — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида
ценной бумаги
j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.
Обозначим неизвестные величины:
yj — средства, выделенные для приобретения ценных
бумаг вида j.
Проведите решение самостоятельно.
17
Математическая модель
Гарри
Марковиц
1927
min
при ограничениях
Мы получили известную модель Марковица для
оптимизации структуры портфеля ценных бумаг,
которая является примером оптимизационной модели
стохастического типа (с элементами случайности).
18
Пример 3
На базе торговой организации имеется n типов одного из
товаров ассортиментного минимума.
В магазин должен быть завезен только один из типов
данного товара.
Требуется
выбрать
тот
тип
товара,
который
целесообразно завести в магазин. Если товар типа j
будет пользоваться спросом, то магазин от его
реализации получит прибыль рj , если же он не будет
пользоваться спросом - убыток qj .
19
Решение
Лицом принимающим решение (ЛПР) является магазин.
Исход (получение максимальной прибыли) зависит не
только от его решения, но и от того, будет ли
завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли
выкуплен населением.
Население может рассматриваться как второе ЛПР,
выбирающее
тип
товара
согласно
своего
предпочтения. Наихудшим для магазина «решением»
населения является: «завезенный товар не пользуется
спросом».
Магазину
нужно
считать
население
своим
"противником"
(условно),
преследующим
противоположную цель — минимизировать
прибыль магазина.
20
Для составления математической модели
Нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n2
клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору
магазина, а столбики — выбору населения. Тогда клетка
(i, j) соответствует той ситуации, когда магазин
выбирает i-й тип товара (i-ю строку), а население
выбирает j-й тип товара (j-ю столбик). В каждую клетку
запишем числовую оценку (прибыль или убыток)
соответствующей ситуации с точки зрения магазина:
«-»
отражает
убыток магазина
21
Математическая модель
Сокращенный вид этой модели таков:
Мы получили так называемую матричную игру.
Модель является примером игровых моделей принятия
решения.
22
Резюме
"Математическая экономика" изучает экономические
вопросы с применением математического аппарата:
 исследует не сами объекты, а их математические
модели;
 интерпретирует теоретические результаты на языке
исходной экономической задачи и применяет на
практике;
 исследует экономические задачи описательного,
оптимизационного и управленческого типов, которые
нельзя решить с помощью других более простых
методов .
23
Вопросы.
Что такое математическая модель экономического
объекта?
Как построить математическую модель экономического
объекта?
Какие переменные в модели являются экзогенными,
эндогенными?
Расскажите о классификации математических моделей
экономики.
24
Источники
1. Математическая
экономика:
Учебно-практическое
пособие/ В.В. Громенко; Каф. Исследования операций.
- М.: МЭСИ, 2008.
2. http://www.ito.fa.ru/ppt/mmep/emm
3. http://staff.ttu.ee/~grigf/TET3070
25