Разработка открытого урока

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе «Логарифмы.
Логарифмические уравнения».
Цели урока:
1. Образовательные – отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов,
логарифмической функции; применять их при решении логарифмических уравнений; уметь применять
различные методы решения логарифмических уравнений.
2. Развивающие – развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной
памяти, развитие математической речи учащихся. Формировать навыки самообучения, самоорганизации
и самооценки, способствовать развитию исследовательской и творческой деятельности учащихся.
3. Воспитательные - формирование познавательной активности. Воспитать у учащихся любовь и
уважение к предмету, научить видеть в математике не только строгость, сложность, но и логичность,
простоту и красоту.
(Слайд 2).
Оборудование: интерактивная доска, памятки, формулы–справочники; карточки с заданиями;
листы самооценки.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Ход урока
Организационный момент
а) Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы
те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика –
интересный и очень нужный предмет. Для того, чтобы выполнить все задания, вы должны уметь применять все
приобретенные знания по логарифму, поэтому эпиграфом нашего урока будут слова: «Усердие все
превозмогает».
б) Объявление темы урока, его цели:
Сегодня на уроке мы будем повторять.
Все свойства логарифмов подробно вспоминать.
Логарифмические уравнения с О.Д.З. решать.
Задания ЕГЭ С части разбирать.
(Слайд3).
На столе у каждого ученика лежит лист самооценки. После каждого этапа урока я рекомендую вам его
заполнять.
Лист самооценки
Фамилия, имя ____________________________________________________
№ п/п
Этапы работы
Достижения
1
Устная работа
1 балл.
Воспроизведение опорных
знаний
2
Исследовательская работа
6 баллов.
Исследование влияния
преобразований
логарифмических выражений
на их О.Д.З.
Диктант
По 1 баллу за верное выполнение
каждого задания, max17 баллов.
Знание свойств
логарифмической функции
Самостоятельная работа
1-4 балла.
Умения учащихся применять
разные методы при решении
логарифмических уравнений
3
4
5
6
Логарифмический софизм 2˃3
2 балла.
Дополнительное задание
2-9 баллов.
Количество
баллов
Умения учащихся применять
свойства логарифмов
Работа поискового характера.
Умение решать нестандартные
уравнения.
Итоговое количество баллов ____
Критерии оценивания: «3» 10 – 15 баллов,
Оценка ____
«4» 16 – 30 баллов,
«5» более 30 баллов.
(Слайд 4).
Актуализация знаний
logab=x ⟺ ax= b, a˃0, a≠1, b˃0.
Логарифмом b по основанию a называется показатель степени, в которую надо
возвести основание a, чтобы получить число b.
Значение основания a должно быть a˃0 и a≠1.
Число b принимает положительные значения.
Логарифм по основанию 10 называется десятичным.
Логарифм по основанию e называется натуральным.
Примеры:
(Слайды5,6).
Сколько красивых формул в этой теме встречаем!
Свойства логарифмов
(Слайд 7).
График логарифмической функции
(Слайд 8).
Устная работа
Ребята, вам даются задания, которые вы должны выполнить. Получив ответы к каждому заданию, внизу таблицы
выберите свои ответы и рядом с заданием, в пустые клеточки впишите соответствующие значения букв.
№
п/п
1
2
3
4
5
выражения
ответы
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓
𝐥𝐨𝐠 𝟔 𝟏𝟐-𝐥𝐨𝐠 𝟔 𝟐+3
𝟏𝟎𝐥𝐠 𝟎,𝟔
𝟑𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟒
𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟒
(Слайд 9).
Н
3
Ю
0
Б
1
Е
4
П
0,6
Г
0,5
Т
5
И
49
В
-3
Р
2
Историческая справка. Джон Непер.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как
«искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в
течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки.
Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических
вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только
в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных
логарифмических таблиц».
(Слайд 10).
Исследовательская работа.
«Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их область
допустимых значений»
1.
Найдите ОДЗ уравнения log5(3x – 2) + log5(x – 7) = 2 + log52.
2.
Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов.
3.
Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной. Как изменилась
ОДЗ (расширилась или сузилась)?
4.
Решите уравнение.
5.
Выполните проверку. Дайте ответ.
6.
Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их
появления.
(Слайды11, 12).
Вопросы:
1).Что происходит с ОДЗ при замене log2(x(x+3)) на log2x + log2(x +3)?
2).Что происходит с ОДЗ при обратной замене?
3).В каком случае могут потеряться корни?
4).В каком случае могут образоваться посторонние корни?
Учащиеся высказывают свою гипотезу.
Решение
1. log5(3x – 2) + log5(x – 7) = 2 + log52. О.Д.З. 5. Проверка:
х > 𝟕,
х − 𝟕 > 𝟎,
𝟐
{
{
х> 𝟕.
при х=9
х>𝟑
𝟑х − 𝟐 > 𝟎
log525+log5(9 – 7)= 2 + log52 - верное
равенство;
Ответ: (7;+∞).
х=9 – корень уравнения;
2. log5(3x – 2)(х-7) = log525+ log52
log5(3x – 2)(х-7) = log550.
𝟏
𝟐
при х=-1𝟑
3. О.Д.З. (3x – 2)(х-7)˃0, х˂𝟑 или х>7.
𝟏
𝟐
log5(-1𝟑 – 7) – не существует;
Ответ:(−∞; 𝟑)∪(7;+∞).
𝟏
х=-1𝟑 – посторонний корень.
Вывод: О.Д.З. расширилась.
Ответ:9.
4. (3x – 2)(х-7) =50;
3х2-2х-21х+14=50; 3х2-23х-36=0;
6. Посторонний корень появился в
𝟏
результате расширения О.Д.З.
Д =312;
х1=-1𝟑, х2=9.
Ответы:
1) ОДЗ сужается. 2) ОДЗ расширяется. 3) При сужении ОДЗ. 4) При расширении ОДЗ.
(Слайды 13, 14).
Коллективное обсуждение полученных результатов. Формулировка выводов.
Вывод: Некоторые формулы действий с логарифмами обладают тем свойством, что при их
использовании О.Д.З. уравнения либо расширяется, либо – сужается. И если первую
ситуацию легко исправить проверкой истинности равенства для найденных решений, то
вторая ситуация совершенно недопустима, так как может привести к потере решений.
(Слайд 15).
( Слайд 7).
Диктант по свойствам логарифмической функции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Логарифмическая функция у = logax определена при любом х
Функция у = logax определена при а > 0, а ≠1, х > 0
Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел
Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел
+
+
Логарифмическая функция – четная
Логарифмическая функция – нечетная
+
Функция у = logax – возрастающая при а >1
Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая
Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0)
+
График функции у = log аx пересекается с осью ОХ
График логарифмической функции находится лишь в верхней полуплоскости
График логарифмической функции симметричен относительно ОХ
+
График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0)
+
График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях
Существует логарифм отрицательного числа
+
Существует логарифм дробного положительного числа
График логарифмической функции проходит через точку (0; 0)
(Слайды 16-18).
Виды логарифмических уравнений и способы их решения
(Слайд 19).
1) Простейшие логарифмические уравнения: log а x = b.
b
Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. х = а и х > 0.
2) Уравнения вида log а x = log а у.
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем выражения под логарифмами х = у , x˃0, y˃0 .
3) Уравнения квадратного вида log 2а x + log а x + c = 0.
Уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному
квадратному уравнению.
4) Уравнения вида 𝒂𝑥 = 𝒃.
Решаются логарифмированием обеих частей по основанию а.
5)Уравнения, которые можно привести к простейшим, используя свойства логарифмов.
6) Графический способ 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙=f(x).
Строятся графики функций, расположенных в левой и правой частях уравнения и
указывается корень уравнения.
7) Метод оценки границ.
Определяются границы значений всех функций, указанных в уравнении.
Самостоятельная работа
а) Решите уравнение 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝐬𝐢𝐧 х-𝐬𝐢𝐧 𝟐х+27)=3
𝟕𝝅
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 𝟐 ; −𝟐𝝅].
(Слайд 20).
Решение
а)
𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝐬𝐢𝐧 х-𝐬𝐢𝐧 𝟐х+27)= 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐𝟕; х-любое;
𝐬𝐢𝐧 х − 𝐬𝐢𝐧 𝟐х+27=27;
𝐬𝐢𝐧 х −2𝐬𝐢𝐧 х 𝐜𝐨𝐬 х=0;
𝐬𝐢𝐧 х(𝟏 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬 х)=0;
𝟏
𝐬𝐢𝐧 х = 𝟎
или
𝐜𝐨𝐬 х=𝟐;
х=πn,
Ответ:
а) х=πn,
б)
-3π;
𝝅
х=± 𝟑 +2πк, к𝝐𝐙.
n𝝐Z;
𝝅
х=±𝟑 +2πк, к𝝐𝐙.
n𝝐Z;
−
𝟕𝝅
;
𝟑
-2π.
(Слайд 21).
Логарифмический софизм 2>3
(Слайд 22).
Рассмотрим верное неравенство: 1/4 >1/8. Преобразуем его к виду: (1/2)2>(1/2)3,
Большему значению соответствует больший логарифм, значит: lg (1/2)2>lg(1/2)3.
По свойству логарифма: 2 lg(1/2)>3 lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем: 2>3.
В чем состоит ошибка этого доказательства?
Решение:
(Слайд 23).
Ошибка в том, что при сокращении на lg1/2 не был изменен знак неравенства (> на <);
между тем необходимо было это сделать, так как lg1/2 есть число отрицательное.
Домашнее задание: Найдите ошибки! Раздать карточки
(Слайд 24).
𝟐
Решите уравнение № 1 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝒙 + 𝟖х + 𝟏𝟔)=2.
Решение: 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒)2=2; 2 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒) = 𝟐; 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒) = 𝟏; х+4=3;
Решите уравнение № 2 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟑х + 𝟐) + 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (х + 𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐х + 𝟒).
Решение: 1) 𝟑х + 𝟐˃𝟎, 𝟐) х + 𝟐˃𝟎, 𝟑) 𝟐х + 𝟒˃𝟎;
𝟐
𝟐
х˃− 𝟑,
х˃-2,
х˃-2.
Значит, х˃− 𝟑.
2)3х+2+х+2=2х+4;
4х+4=2х+4;
х=0
Решите уравнение № 3
Решение: 𝐥𝐨𝐠 𝟑
𝟐х+𝟏
х
𝐥𝐨𝐠 𝟑
х=-1
Ответ: -1
.
Ответ: 0.
𝟐х+𝟏
х
=𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏)+𝐥𝐨𝐠 𝟏 х.
= 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) +
𝐥𝐨𝐠 𝟑 х
𝐥𝐨𝐠 𝟑
𝟏
𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝟐х + 𝟏) = 𝐥𝐨𝐠 𝟑( х + 𝟏),
𝟐х + 𝟏 = х + 𝟏,
х + 𝟏˃𝟎,
х = 𝟎,
х˃-1,
,
𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝟐х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х,
𝟐х + 𝟏˃𝟎;
𝟏
х˃− 𝟐.
𝟏
Значит, х˃− 𝟐.
Решите эти уравнения правильно.
Ответы домашней работы :
Ошибки в уравнении №1
𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒)2=2 неравносильно 2 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒) = 𝟐, так как 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒)2=2 𝐥𝐨𝐠 𝟑|х + 𝟒|.
2 𝐥𝐨𝐠 𝟑 |х + 𝟒| = 𝟐, 𝐥𝐨𝐠 𝟑 |х + 𝟒| = 𝟏, |х + 𝟒| = 𝟑, х+4=-3 или х+4=3, х=-7 или х=-1.
Ответ: 0.
О.Д.З. х≠-4,
Ответ: -7; -1.
Ошибки в уравнении №2
Пункт 4) 3х+2+х+2=2х+4 - неверный;
(𝟑х + 𝟐)(х + 𝟐) = 𝟐х + 𝟒;
3𝒙𝟐 + 𝟖х + 𝟒= 𝟐х + 𝟒;
𝟐
х=0 или х=-2,
𝐥𝐨𝐠 𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟑
𝟐х+𝟏
𝟐х+𝟏
х
но х˃− 𝟑.
𝟐х+𝟏
х+𝟏
х
х
=𝐥𝐨𝐠 𝟑
3𝒙𝟐 + 𝟔х=0;
х(х+2)=0;
Значит, х=0.
Ответ:0
Ошибки в уравнении №3
⇎ 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х, возможно сужение О.Д.З. переменной х.
= 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) +
х
3𝒙𝟐 + 𝟖х= 𝟐х;
𝐥𝐨𝐠 𝟑 х
𝐥𝐨𝐠 𝟑
𝟏
𝟑
;
𝐥𝐨𝐠 𝟑
;
𝟐х+𝟏 х+𝟏
х
=
х
;
𝟐х+𝟏
х
=𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х;
𝟐х+𝟏−х−𝟏
х
=0;
𝟏 = 𝟎; но 1≠0.
Ответ: нет решений.
(Слайд 25).
Ода логарифму
Сегодня тема: логарифмы.
И это вам совсем не рифмы,
Не повесть это, не рассказ,
То - математика! Весь сказ!
Что логарифмом называем?
Так-так, так-так… Опять не знаем?!
Кто "показатель" там сказал?
Ну, молодец! Ты угадал!
Чего, скажите, коль не трудно?
Кто там шепнул: «О, как занудно»?!
Конечно, степени, друзья.
Что возвести должна всё ж я?
О, нет: не икс, не бэ, конечно.
Перебирать что ль бесконечно?
Так и урок пройдёт опять.
Так кто же хочет всё же пять?
«Я знаю! Это - основанье!», Вдруг слышу гордое признанье.
Внезапно зазвенел звонок…
Ура! Закончился урок!
(Слайд 26).
В заключении урока я хочу вам прочитать высказывание:
«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную
сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей».
Так сказал американский математик Морис Клайн.
(Слайд 27).
Итоги урока
1.Вычисление итогового количества баллов .
2.Самооценка своей работы на уроке.
3.Сдача листов самооценки.
(Слайд 28)
Мы систематизировали, обобщили свойства логарифмической функции. Показали свои знания, умения
теме «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства». Итак, подведем итоги урока.
Лист успеха обучающегося
Рефлексия
по
Фамилия, имя_______________
Вид
работы
Мнение
ученика
Устная работа
Исследовательская
работа
Диктант
Самостоятельная
работа
Логарифмический
софизм
Дополнительное
задание
Итог
Можешь ли
воспроизвести
опорные
знания?
Владеешь ли
элементами
исследования?
Можешь
ли
рассказат
ь другим?
Все ли понятно?
Было ли интересно?
Было ли трудно?
Итоговое
мнение
(Слайд 29).
С какими трудностями вы встретились?
Что помогло? (Опорные конспекты …)
Что было сегодня необычного?
Что понравилось?
Что взяли с урока?
Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок?
(Слайд 30).
Дополнительное задание
сильные учащиеся, которые выполняют самостоятельную
работу быстрее других, решают задания по карточкам.
Задание № 1
Задание № 2
Задание № 3
(2 б.)
𝐥𝐨𝐠 𝟒 (𝟏𝟔 − 𝟐х)
𝟑
𝟑
√𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х − √𝐥𝐨𝐠 𝟐 х − 𝟔 = 𝟎
(3 б.)
𝐥𝐨𝐠 √𝒙𝟐 −𝟏 (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒х + 𝟐)=2
(4 б.)

(Слайд 31).
Решения
1. 𝐥𝐨𝐠 𝟒 (𝟏𝟔 − 𝟐х)=2log43;
О.Д.З. 16-2х˃0;
х˂8;
(16-2х=9;
2х=7;
х=3,5 - удовлетворяет О.Д.З.
;8);
Ответ: 3,5.
2. 𝟑√𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х − 𝟑√𝐥𝐨𝐠 𝟐 х − 𝟔 = 𝟎;
𝟑
𝟑
О.Д.З. х˃0;
√𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х = √𝐥𝐨𝐠 𝟐 х − 𝟔 ;
2𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х=𝐥𝐨𝐠 𝟐 х-6;
𝐥𝐨𝐠 𝟐 х=2𝐥𝐨𝐠 𝟐 х-12;
𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟐 х
=𝐥𝐨𝐠 𝟐 х-6;
𝐥𝐨𝐠 𝟐 х=12;
𝟒
х=𝟐𝟏𝟐 − удовлетворяет О.Д.З.
х=4096.
Ответ: 𝟐𝟏𝟐 = 𝟒𝟎𝟗𝟔.
𝟑. 𝐥𝐨𝐠 √𝒙𝟐 −𝟏 (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒х + 𝟐) = 𝟐;
О.Д.З. Так как х2-1˃0, х2-1≠1, х2-2х+1˃0,
то |х|˃1 и |х|≠√𝟐.
2х2-4х+2= х2-1; х2-4х+3=0;
х=1 или х=3.
х=1-не удовлетворяет О.Д.З.
х=3- удовлетворяет О.Д.З.
Ответ: 3.
(Слайды 32-35).
Спасибо за работу на уроке!
(Слайд 36).