Тема урока: «Правила и формулы дифференцирования» Цели и
advertisement
Тема урока: «Правила и формулы дифференцирования» Цели и задачи: научиться находить производные элементарных функций, используя правила и формулы дифференцирования • В поисках истины! Статистика-вещь серьезная. С ней - не поспоришь! Мы решили проанализировать важность изучения производной в рамках школьной программы ! Математики о производной. Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная - «дочь»). Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена – прерваны связи между многими понятиями. Физики о производной. С производной в курсе физики мы встречаемся в 10-11 классах. В теме «Кинематика»: скорость - есть первая производная от перемещения. В теме «Механические и электромагнитные колебания» применяется производная от функции у = sinx и у = cosx. Наш совет Лучше изучайте математику, чтобы легче изучать другие науки. Нам стало интересно… Как часто в школьной программе используется производная при решении различных математических задач? Перелистайте и перечитайте школьные учебники, экзаменационные сборники, тесты ЕГЭ. И что же получится? Производная используется при решении следующих заданий: Вычислить производную Вычислить производную в заданной точке Все задания на построение касательной к графику функции Нахождение промежутков возрастания и убывания функции Нахождение точек экстремума Нахождение скорости тела в момент времени Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции Построение графиков с помощью производной Исследование функции Решение задач методом математического моделирования Вывод. В школьной программе тема «Производная и её применение» является одной из важных, так как позволяет решать многие математические задачи более рациональным способом (например: исследование функции, нахождение точек максимума и минимума, решение задач на нахождение наибольшего или наименьшего значение величины). История великих открытий. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Готфриду Лейбницу. О великом Ньютоне! Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон. А.Поуг. Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд- «Математические начала натуральной философии».оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл. О Лейбнице. «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,-ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд». Г.В.Лейбниц. (1646-1716) Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа. Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл . Последователи учений Ньютона и Лейбница. В дальнейшем развили идеи анализа (а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей), в первую очередь ученики Лейбница – братья Бернулли, а Лопиталь (1661-1704) который учился у Бернулли, уже в 1696 году издал первый печатный курс дифференциального исчисления. Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыграли важную роль в осмыслении основ анализа. Вывод: Ньютон и Лейбниц, решая практические задачи в механике и геометрии, пришли к одному понятию- производная, показав тем самым, что дифференциальное исчислениеэто есть окружающая действительность, переложенная на математический язык. Повторить: 1. Приращение функции и приращение аргумента. 2. Определение производной. 3. Алгоритм нахождения производной. Приращение функции и аргумента х = х – хо – приращение аргумента f(х) = f(х) – f(хо) f(х) = f (хо + х ) – f(хо) – приращение функции Определение производной Δf f (x o ) , Δx f ′(xо) – число Алгоритм: 1) ∆х, хо; 2) ∆f = f (хо + х ) – f(хо); 3) ∆f при ∆х → 0. ∆x у = kх + в у(хо) = kхо + в, у(хо + ∆х) = k ∙ (хо + ∆х) + в = k хо + k∆х + в, ∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = k хо + k∆х + + в – kхо – в = k∆х, ∆y k∆х = ∆x = k. ∆x Ответ: (kх + в)′ = k у= 2 х у(хо) = хо2, у(хо + ∆х) = (хо + ∆х)2= хо2 + 2 хо ∆х + (∆х)2, ∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = хо2 + 2 хо ∆х + + (∆х)2 – хо2 = 2 хо ∆х + (∆х)2 = ∆х(2хо + ∆х), ∆у ∆х = ∆х (2хо + ∆х) ∆х = 2хо + ∆х → 2хо Ответ: (х2)′ = 2х при ∆х → 0 у= 3 х у(хо) = хо3 у(хо + ∆х) = = хо3 + зхо2 ∆х + зхо(∆х)2 + (∆х)3 ∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = = ∆х (зх 2 + зх ∆х + (∆х)2) о ∆у ∆х → зхо2 о 3 ′ (х ) = 2 3х Проблемный вопрос Можно ли находить производные, не используя определение? Существуют ли более удобные способы? Вывод (х2)′ = 2х (х3)′ = 3х2 n ′ (x ) = n – 1 nx Правила дифференцирования Формулы дифференцирования
