(1005.5 КБ)
advertisement
Приложения определенных интегралов • • • • • Площади Длина дуги кривой Объем тела вращения Площадь поверхности вращения Масса материальной пластины, материальной кривой • Координаты центра тяжести • Работа силы Площадь плоской фигуры Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. 𝑆= 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Замечание: формула верна вне зависимости от знака функций 𝑓 𝑥 и 𝑔 𝑥 . Площадь в полярной системе координат ПСК : полярная система координат 𝑀 𝜑, 𝜌 , где 𝜑 – угол наклона луча относительно оси, ρ – расстояние от точки до центра. Кривая в ПСК : 𝜌 = 𝜌(𝜑). Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 𝜌 = 𝜌(𝜑) и прямыми 𝜑 = 𝛼, 𝜑 = 𝛽. 1 𝛽 2 𝑆𝜑,𝜌 = 𝜌 𝜑 𝑑𝜑 . 2 𝛼 Длина дуги кривой Длина дуги кривой, заданной функцией 𝑦 = 𝑓(𝑥) на интервале 𝑎, 𝑏 : 𝑙= 𝑏 𝑎 1 + 𝑓′(𝑥) 2 𝑑𝑥; заданной параметрически: 𝑙𝑡 = В полярной системе координат: 𝛽 𝑙𝜑 = 𝜌(𝜑) 𝛼 2 + 𝜌′(𝜑) 2 𝑑𝜑 . 𝑡2 𝑡1 𝑥′(𝑡) 2 + 𝑦′(𝑡) 2 𝑑𝑡. Объем тела вращения Задача. Найти объем тела вращения криволинейной трапеции, ограниченной 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 вокруг оси ОХ: 𝑉𝑥 = 𝜋 𝑏 2 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥. вокруг оси OY: 𝑉𝑦 = 2𝜋 𝑏 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎 Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой 𝜌 = 𝜌 𝜑 и двумя полярными радиусами 𝜑 = 𝛼 и 𝜑 = 𝛽, вокруг полярной оси находится по формуле: 𝑉𝜑 = 2𝜋 𝛽 3 𝜌 (𝜑) sin 𝜑 𝑑𝜑. 3 𝛼 Площадь поверхности вращения Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам: В декартовой системе координат: 𝑆𝑥 = 2𝜋 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑎 Параметрически: 𝑆𝑡 = 2𝜋 𝑡2 𝑡1 1 + 𝑓′(𝑥) 𝑦(𝑡) 2 𝑑𝑥; 𝑥′(𝑡) В полярной системе координат: 𝑆𝜑 = 2𝜋 𝛽 𝜌(𝜑) 𝛼 sin 𝜑 𝜌(𝜑) 2 + 𝜌′(𝜑) 2 𝑑𝜑. 2 + 𝑦′(𝑡) 2 𝑑𝑡; Масса материальной кривой Задача. Найти массу материальной кривой 𝐴𝐵, заданной уравнением 𝑦 = 𝑓(𝑥) c линейной плотностью 𝛾 𝑥 . Разобьем кривую 𝐴𝐵 на n частей, будем считать , что на участке 𝑀𝑖−1 𝑀𝑖 плотность постоянная и равна 𝛾(𝑥𝑖 ), тогда 𝑚𝑙 ≅ переходя к пределу получаем: 𝑛 𝑖=1 𝛾(𝑥𝑖 ) 𝑀𝑖−1 𝑀𝑖 , 𝑏 𝑚𝑙 = 𝛾(𝑥)) 1 + 𝑓′(𝑥) 𝑎 2 𝑑𝑥. Масса пластины Задача. Найти массу пластины , ограниченной кривыми 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,𝑦 = 𝑔 𝑥 ,𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 c поверхностной плотностью 𝜎 𝑥 . 𝑏 𝑚= 𝜎(𝑥) 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎 Координаты центра тяжести Пусть дана система материальных точек 𝑀𝑖 с массами 𝑚𝑖 . тогда 𝑥𝑖 𝑚𝑖 - статический момент 𝑀𝑖 относительно оси Oy, а 𝑦𝑖 𝑚𝑖 - статический момент 𝑀𝑖 относительно оси Oх Координаты центра тяжести системы материальных точек : 𝑛 𝑛 𝑥 𝑚 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑐 = , 𝑦𝑐 = , 𝑚 𝑚 Здесь 𝑀𝑦 = 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑚𝑖 - статический момент системы точек относительно оси Oy, 𝑀𝑥 = 𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 𝑚𝑖 - статический момент системы точек относительно оси Ox. Статические моменты Статические моменты материальной кривой 𝐴𝐵, заданной уравнением 𝑦 = 𝑓(𝑥) c линейной плотностью 𝛾 𝑥 : 𝑏 𝑀𝑦 = 𝑥𝛾(𝑥)) 1 + 𝑓′(𝑥) 2 𝑑𝑥, 𝑎 𝑏 𝑀𝑥 = 𝑓(𝑥)𝛾(𝑥)) 1 + 𝑓′(𝑥) 2 𝑑𝑥. 𝑎 Статические моменты пластины , ограниченной кривыми 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 c поверхностной плотностью 𝜎 𝑥 : 𝑏 𝑀𝑦 = 𝑥𝜎(𝑥) 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑎 𝑏 𝜎(𝑥) 𝑓 2 𝑥 − 𝑔2 (𝑥) 𝑑𝑥. 𝑀𝑥 = 𝑎 Работа силы Пусть материальная точка М перемещается по действием силы 𝐹(𝑥), направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину , где х – абсцисса движущейся точки М. Найдем работу А силы 𝐹 по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Рассмотрим разбиение отрезка 𝑎, 𝑏 на n частей, тогда можно считать , что на каждой малой части разбиения сила постоянная и работа равна сумме произведений величины силы на участке на величину перемещения. 𝑛 𝐴 = lim ∆𝑥→0 𝑏 𝐹(𝜉𝑖 )∆𝑥𝑖 = 𝑖=1 𝐹 𝑥 𝑑𝑥. 𝑎
