«Применение математических методов при определении формы и оптимальных геометрических параметров для функционирования

«Применение математических методов
при определении формы и
оптимальных геометрических
параметров для функционирования
космического беспилотного аппарата»
Авторы исследования, ученицы 11 класса «А»:
Туркова Мария
Лобанова Анна
Руководитель исследования, учитель математики:
Полушина Елена Александровна
Актуальность: Точные расчеты размеров летательных аппаратов
являются необходимым условием при их проектировании и создании.
Гипотеза исследования: Если создать математическую модель, то можно
решить задачу оценивания параметров летательного аппарата и по
результатам обработки измерительной информации рассчитать
возможности функционирования в ожидаемом режиме.
Цель исследования: применить математические методы для
определения формы, оптимальных параметров и принципов работы
модели космического модуля.
Задачи исследования
Выбор формы модели.
Определение центра
масс.
Определение
оптимальных
параметров модели.
Выполнение расчетов
для функционирования
космического аппарата
в ожидаемом режиме.
Выбор геометрической формы летательного
аппарата
Определение положения центра масс сплошного однородного конуса высотой Н:
Выбор оптимальных параметров
модели
2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 0
Рассмотрим площадь поверхности как функцию
зависимости от угла ∝
𝑆 𝑥 = 𝜋2𝑅𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝜋𝑅𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
Найдем производную этой функции:
𝑆 / 𝑥 = 2𝜋𝑅2 𝑠𝑖𝑛/ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
= 2𝜋𝑅2 (𝑐𝑜𝑠2𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)
Найдем критические точки функции: решив уравнение
𝑆 / (𝑥)=0
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0, 0 <∝<
𝜋
2
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
= 1,
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
3,
−1
∝= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
3
1
3
1
=
3
R – расстояние от вершины внешнего корпуса до
центра тяжести, образующая поверхности
внутреннего конуса.
α – угол при основании осевого сечения
внешнего конуса.
Расчет рикошета фрагментов КМ о щит
космического аппарата
Определим возможность утилизации мусора при рикошете (рассматриваем удар как абсолютно упругий)
В первом приближении примем, что мусор движется по орбите, близкой к
круговой:
Vм 

R
 7,673 103
м
с
Гравитационная постоянная Земли:
м3
  3.986 10 2
с
14
Радиус Земли:
Rз  6,3711014 м
Для определения скоростей аппарата и мусора после удара, запишем
уравнения закона сохранения импульса и энергии:

Va1  ma  cos(1 )  Vм 2  mм  sin(2    )  Va  ma  Vм  mм
2

Va1  sin(1 )  Vм1  mм  sin(2    )  0
2
Va12  ma  Vм 2 2  mм  Va 2  ma  Vм 2  mм
Расчет скатывания фрагментов КМ по щиту КА
Скорость космического мусора после скатывания:

м
Vм 
 7,673 10
R
с
Направление скорости:
  40
3
Вывод:
Принимая во внимание все проведенные нами исследования, можно заключить, что оптимальной
моделью летательного аппарата может быть тело, имеющее форму двояковыпуклого конуса,
состоящего из двух корпусов: внешнего и внутреннего. При этом вершины внутреннего тела должны
совпадать с центрами масс наружного корпуса, и расстояние от вершины до центра масс должно
ровняться образующей внутренней конической поверхности. Для достижения наибольшей площади
поверхности, угол наклона внешней образующей к плоскости большого сечения должен равняться ∝
1
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
, тогда при r=5 м (большого сечения), масса аппарата будет не более 20 тонн, и он
3
сможет изменять орбиту фрагментов космического мусора массой до 1 кг, при взаимодействии под
углом 40 (+- 5 градусов) к радиус-вектору скорости движущейся частицы.