Элементы аналитической геометрии в пр-ве
advertisement
Начало Оглавление Составитель АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (учебная дисциплина) Составители доценты кафедры математики и моделирования ВГУЭС Шуман Галина Ивановна Волгина Ольга Алексеевна ВГУЭС 1 Начало Оглавление Составитель Элементы аналитической геометрии в пространстве ВГУЭС 2 Начало Содержание Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве § 2. Взаимное расположение плоскостей § 3. Расстояние от точки до плоскости § 4. Прямая в пространстве § 5. Взаимное расположение прямых в пространстве § 6. Прямая и плоскость в пространстве ВГУЭС 3 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве Уравнение 𝑭(𝒙; 𝒚; 𝒛) = 𝟎 определяет некоторую поверхность в пространстве 𝑂𝑥𝑦𝑧. Поверхностью в некоторой системе координат называется геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих некоторому уравнению, называемому уравнением поверхности. ВГУЭС 4 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве Любой вектор, перпендикулярный плоскости (𝜶) , называется нормальным вектором или нормалью плоскости 𝒏(𝑨; 𝑩; 𝑪) 𝒏 α ВГУЭС 5 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве Пусть дана точка 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∈ 𝛼 и нормаль 𝑛(𝐴; 𝐵; 𝐶), 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) – текущая точка плоскости 𝛼. Уравнение вида 𝑨(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝑩(𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝑪(𝒛 − 𝒛𝟎 ) = 𝟎 Называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. ВГУЭС 6 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в последнем уравнении, получим 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + (−𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 ) = 0. Обозначим −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = 𝐷, тогда уравнение примет вид 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎, которое называется общим уравнением плоскости. ВГУЭС 7 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель Частные случаи общего уравнения плоскости: 1) если 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, уравнение плоскости примет вид 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0, которая проходит через начало координат z 𝜶 y 0 x ВГУЭС 8 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве 2) 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, то есть 𝑛(0; 𝐵; 𝐶), тогда получим уравнение плоскости 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, параллельной оси 𝑂𝑥 z 𝜶 y 0 x ВГУЭС 9 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 3) 𝐵 = 0; 𝐴 ≠ 0; 𝐶 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0, то есть 𝑛(𝐴; 0; 𝐶), получим уравнение плоскости 𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, параллельной оси 𝑂𝑦 z 𝜶 0 у х ВГУЭС 10 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 4) 𝐶 = 0; 𝐴 ≠ 0; 𝐵 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0, то есть 𝑛 𝐴; 𝐵; 0 , получим уравнение плоскости 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0, параллельной оси 𝑂𝑧 z 𝜶 у 0 х ВГУЭС 11 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 5) 𝐴 = 0, 𝐷 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, получим 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось 𝑂𝑥 z 𝜶 0 у х ВГУЭС 12 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 6) 𝐵 = 0, 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 = 0, проходящей через ось 𝑂𝑦 z 𝜶 у 0 х ВГУЭС 13 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 7) 𝐶 = 0, 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, проходящей через ось 𝑂𝑧 z 𝜶 0 у х ВГУЭС 14 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 8) 𝐴 = 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐷 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 или 𝑧 = − , параллельной плоскости 𝐶 z 𝑂𝑥𝑦 𝑫 𝒛=− 𝑪 𝜶 0 у х ВГУЭС 15 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 9) 𝐴 = 𝐶 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐷 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0 или 𝑦 = − , параллельной плоскости 𝐵 𝑂𝑥𝑧 z 𝜶 𝒚=− 0 𝑫 𝑩 у х ВГУЭС 16 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 10) 𝐵 = 𝐶 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐷 𝐴𝑥 + 𝐷 = 0 или 𝑥 = − , параллельной плоскости 𝐴 𝑂𝑦𝑧 z 𝒙=− 𝑫 𝑨 0 у х ВГУЭС 17 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель 11) 𝐴 = 𝐵 = 𝐷 = 0, 𝐶 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐶𝑧 = 0 или 𝑧 = 0 задает плоскость 𝑂𝑥𝑦 z 0 у х ВГУЭС 18 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве 12) 𝐴 = 𝐶 = 𝐷 = 0, 𝐵 ≠ 0, уравнение плоскости 𝐵𝑦 = 0 или 𝑦 = 0 задает плоскость 𝑂𝑥𝑧 z 0 у х ВГУЭС 19 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве 13) 𝐵 = 𝐶 = 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0 уравнение плоскости 𝐴𝑥 = 0 или 𝑥 = 0 задает плоскость 𝑂𝑦𝑧 z 0 у х ВГУЭС 20 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление Составитель Преобразуем общее уравнение плоскости при условии, что 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0: 𝐴𝑥 + 𝒙 𝒚 𝒛 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = −𝐷, −𝑫 + −𝑫 + −𝑫 = 1. Обозначим − 𝐷 𝐴 𝐷 𝐵 𝑨 𝐷 𝐶 𝑩 𝑪 = 𝑎, − = 𝑏, − = 𝑐, тогда уравнение 𝒙 𝒂 𝒚 + 𝒃 𝒛 𝒄 плоскости примет вид + = 1, которое называется уравнением плоскости в отрезках. ВГУЭС 21 § 1. Плоскость в пространстве Начало Оглавление z Составитель с в 0 у а х ВГУЭС 22 Начало Оглавление Составитель § 1. Плоскость в пространстве Пусть даны три точки 𝑀1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑀2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , 𝑀3 (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ). Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1 = 0 𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1 ВГУЭС 23 Начало Оглавление Составитель § 2. Взаимное расположение плоскостей Пусть даны две непараллельные плоскости 𝛼1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0, 𝑛1 (𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 ) 𝛼2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0, 𝑛2 (𝐴2 , 𝐵2 , 𝐶2 ) 𝒏𝟐 𝜶𝟏 𝝋 𝝋 𝜶𝟐 𝒏𝟏 ВГУЭС 24 Начало Оглавление Составитель § 2. Взаимное расположение плоскостей cos( 𝛼1 ^𝛼2 ) = cos 𝜑 = cos( 𝑛1 , 𝑛2 ), тогда 𝑛1 ∙ 𝑛2 cos 𝜑 = = 𝑛1 ∙ 𝑛2 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2 𝐴12 + 𝐵12 + 𝐶12 ∙ 𝐴22 + 𝐵22 + 𝐶22 ВГУЭС 25 Начало Оглавление Составитель § 2. Взаимное расположение плоскостей Если 𝛼1 ‖𝛼2 , тогда 𝑛1 ‖ 𝑛2 , то есть 𝑨𝟏 𝑨𝟐 = 𝑩𝟏 𝑩𝟐 = 𝑪𝟏 𝑪𝟐 условие параллельности двух плоскостей. Если 𝛼1 ⊥ 𝛼2 , тогда 𝑛1 ⊥ 𝑛2 , то есть 𝑛1 ∙ 𝑛2 = 0, 𝑨𝟏 𝑨𝟐 + 𝑩𝟏 𝑩𝟐 + 𝑪𝟏 𝑪𝟐 = 𝟎 условие перпендикулярности двух плоскости. ВГУЭС 26 Начало Оглавление Составитель § 3. Расстояние от точки до плоскости 𝛼: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, точка 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∉ 𝛼, 𝑑 – расстояние от точки 𝑀0 до плоскости 𝛼. Тогда 𝑨𝒙𝟎 + 𝑩𝒚𝟎 + 𝑪𝒛𝟎 + 𝑫 𝒅= 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐 расстояние от точки до прямой ВГУЭС 27 Начало § 4. Прямая в пространстве Оглавление Составитель 𝛼1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0 - данная система 𝛼2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0 определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей, которая называется общими уравнениями прямой в пространстве. ВГУЭС 28 Начало § 4. Прямая в пространстве Оглавление Составитель Пусть точка 𝑀0 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ∈ 𝒍, 𝑠(𝑚; 𝑛; 𝑝) – направляющий вектор прямой 𝒍, тогда уравнения вида 𝒙−𝒙𝟎 𝒎 = 𝒚−𝒚𝟎 𝒏 = 𝒛−𝒛𝟎 𝒑 называются каноническими уравнениями прямой. ВГУЭС 29 Начало § 4. Прямая в пространстве Оглавление Составитель Пусть 𝒙−𝒙𝟎 𝒎 = 𝑡, 𝒚−𝒚𝟎 𝒏 = 𝑡, 𝒛−𝒛𝟎 𝒑 = 𝑡, где 𝑡 ∈ 𝑅. Выразив 𝑥, 𝑦 и 𝑧, получим 𝑥 = 𝑚𝑡 + 𝑥0 𝑦 = 𝑛𝑡 + 𝑦0 𝑧 = 𝑝𝑡 + 𝑧0 𝑡∈𝑅 параметрические уравнения прямой. ВГУЭС 30 Начало Оглавление Составитель § 4. Прямая в пространстве Пусть 𝑀1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ∈ 𝒍, 𝑀2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ∈ 𝒍, тогда 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒛 − 𝒛𝟏 = = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 уравнение прямой , проходящей через две данные точки. ВГУЭС 31 Начало Оглавление Составитель § 5. Взаимное расположение прямых в пространстве Пусть даны две прямые 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1 𝑙1 : = = и 𝑚1 𝑛1 𝑝1 𝑥 − 𝑥2 𝑦 − 𝑦2 𝑧 − 𝑧2 𝑙2 : = = 𝑚2 𝑛2 𝑝2 𝑠1 𝑚1 ; 𝑛1 ; 𝑝1 и 𝑠2 (𝑚2 ; 𝑛2 ; 𝑝2 ) – направляющие векторы этих прямых соответственно. ВГУЭС 32 Начало § 5. Взаимное расположение прямых в пространстве Оглавление Составитель 𝒍𝟐 𝒍𝟏 𝝋 𝒔𝟐 𝝋 𝒔𝟏 ВГУЭС 33 Начало Оглавление Составитель § 5. Взаимное расположение прямых в пространстве cos 𝜑 = cos( 𝑠1 ; 𝑠2 ) = или cos 𝜑 = 𝑠1 ∙ 𝑠2 𝑠1 ∙ 𝑠2 𝑚1 𝑚2 + 𝑛1 𝑛2 + 𝑝1 𝑝2 𝑚12 + 𝑛12 + 𝑝12 ∙ 𝑚22 + 𝑛22 + 𝑝22 косинус угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. ВГУЭС 34 Начало Оглавление Составитель § 5. Взаимное расположение прямых в пространстве Если 𝑙1 ‖𝑙2 , тогда 𝑠1 ‖𝑠2 : 𝒎𝟏 𝒎𝟐 = параллельности двух прямых 𝒏𝟏 𝒏𝟐 = 𝒑𝟏 𝒑𝟐 - условие 𝒍𝟏 𝒔𝟏 𝒍𝟐 𝒔𝟐 ВГУЭС 35 Начало Оглавление Составитель § 5. Взаимное расположение прямых в пространстве Если 𝑙1 ⊥ 𝑙2 , тогда 𝑠1 ⊥ 𝑠2 : 𝒎𝟏 𝒎𝟐 + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 + 𝒑𝟏 𝒑𝟐 = 𝟎 – условие перпендикулярности двух прямых. 𝒍𝟏 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒍𝟐 ВГУЭС 36 Начало Оглавление Составитель § 6. Прямая и плоскость в пространстве Даны прямая 𝒍: 𝒙−𝒙𝟎 𝒎 = 𝒚−𝒚𝟎 𝒏 = 𝒛−𝒛𝟎 𝒑 с направляющим вектором 𝑠(𝑚; 𝑛; 𝑝) и плоскость 𝛼: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 с нормалью 𝑛(𝐴; 𝐵; 𝐶) 𝒏 𝜸 𝒍 𝒔 𝝋 𝜶 ВГУЭС 37 Начало Оглавление Составитель § 6. Прямая и плоскость в пространстве 𝜋 𝜋 𝜑 = (𝑙^𝛼), 𝛾 = (𝑠^𝑛), 𝜑 + 𝛾 = , тогда 𝜑 = ± 2 2 𝛾, sin 𝜑 = cos 𝛾 , следовательно 𝐴𝑚 + 𝐵𝑛 + 𝐶𝑝 sin 𝜑 = 𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 ∙ 𝑚 2 + 𝑛 2 + 𝑝 2 - синус угла между прямой и плоскостью ВГУЭС 38 Начало Оглавление Составитель § 6. Прямая и плоскость в пространстве Если 𝑙‖𝛼, 𝑠 ⊥ 𝑛, тогда 𝑨𝒎 + 𝑩𝒏 + 𝑪𝒑 = 𝟎 условие параллельности прямой и плоскости 𝒍 𝒔 𝒏 𝜶 ВГУЭС 39 Начало Оглавление Составитель § 6. Прямая и плоскость в пространстве Если 𝑙 ⊥ 𝛼, 𝑠‖𝑛, тогда 𝑨 𝒎 = 𝑩 𝒏 𝑪 𝒑 = - условие перпендикулярности прямой и плоскости. 𝒍 𝒔 𝒏 𝜶 ВГУЭС 40
