Угол между прямой и плоскостью.

Векторно-координатный
метод решения задач
Достоинства метода координат:

Этот метод не требуют рассмотрения сложных геометрических
конфигураций.

Все те соотношения, которые при решении традиционным
методом даются с большим трудом (через привлечение большого
количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы
сами собой, в ходе вычислений.

Сводит геометрическую задачу к алгебраической, решить которую
обычно легче, чем исходную геометрическую
Алгоритм применения метода координат
к решению геометрических задач
сводится к следующему:
Выбираем в пространстве систему координат из
соображений удобства выражения координат и наглядности
изображения.
Находим координаты необходимых для нас точек.
Решаем задачу, используя основные задачи метода
координат.
Переходим от аналитических соотношений к
геометрическим.
Проблемы векторно-координатного метода:
Путаются с введением системы координат или с
определением координат у точек (задающих прямые
и плоскости) в разных многогранниках.
 Не справляются с вычислениями.
Удачный выбор системы координат
значительно упростить вычисления.
Первая
группа
подготовительных
формулируется следующим образом:
позволяет
задач
Изобразите многогранник, указанную прямоугольную
систему координат и определите координаты вершин
многогранника.
z
у
х
z
у
х
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Решение данной задачи позволяет решать
задачи о нахождении расстояния
 между параллельными плоскостями,
 между параллельными прямой и плоскостью,
 между скрещивающимися прямыми.
Пусть дана точка M(x0 ;y 0 ;z0 )
и плоскость α, заданная уравнением
Ax + By + Cz + D = 0
в прямоугольной декартовой системе координат.
Расстояние от точки M до плоскости α можно
вычислить по формуле:
где
координаты вектора нормали к плоскости
(то есть вектора, перпендикулярного плоскости α).
ax  by  cz  d  0
 1 3 
A   ;
;0 
 2 2 
C (1; 0;0)
 1
3
bd 0
 a 
2
2


a  d  0
a  c  d  0



F (- 1; 0;1)
a  d

b   3d
 c  2 d

dx  3dy  2dz  d  0
x  3 y  2 z  1  0 - уравнение плоскости (АСF).
ax  by  cz  d  0
 1 3 
A   ;
;0 
 2 2 
C (1; 0;0)
F (- 1; 0;1)
x  3 y  2z 1  0
- уравнение плоскости (АСF).
Угол между прямыми.
p  x1; y1; z1
p
а
q
q  x2 ; y2 ; z2 
b
cos   a, b  
-направляющие
вектора прямых
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x y z
2
1
2
1
2
1
x2  y2  z2
2
2
2
Угол между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью называется угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
α - угол между прямой и плоскостью
sin   sin( 90   )  cos 
β
p
α
n
β – угол между прямой и
перпендикуляром
к плоскости
Чтобы найти синус угла между прямой
и плоскостью можно найти косинус угла
между прямой и перпендикуляром к
плоскости
ax  by  cz  d  0
n a; b; c
уравнение плоскости
- вектор нормали к плоскости
p  x1; y1; z1 - направляющий вектор прямой
 
   n, p
sin  
ax1  by1  cz1
a b c
2
2
2
x y z
2
1
2
1
2
1
Угол между плоскостями.
Угол между плоскостями.
Угол между плоскостями равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям.
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0  уравнение плоскости 
a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0  уравнение плоскости 
ma1 ; b1 ; c1  
n
na2 ; b2 ; c2   
 
cos m;n 
m
a1a2  b1b2  c1c2
a b c
2
1
2
1
2
1
a b c
2
2
2
2
2
2
Например:
2 x  3 y  6 z  5  0  уравнение плоскости 
4 x  4 y  2 z  7  0  уравнение плоскости 
m 2;3;6  
n 4; 4; 2  
 
cos m;n 
4  2  3 4  6  2
22  32  62 42  42  22
16

21
z
С1
N
В1
А1
у
M
С
cos   a, b  
А
В
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x12  y12  z12 x2 2  y2 2  z2 2
х
<BMN =900
z
С1
N
В1
А1
у
M
С
А
В
х
ma1 ; b1 ; c1  
na2 ; b2 ; c2   
 
cos m;n 
a1a2  b1b2  c1c2
a12  b12  c12 a22  b22  c22