Zadachi_EGA

МОУ «Лицей №1» 11 Б
Работу выполнили Жадаев Василий и Коршунов Максим
«Метод координат в пространстве».
Применение метода при решении
задач
повышенного уровня сложности
Актуальность проблемы
Решение задач геометрического содержания
традиционно вызывает у учащихся
непреодолимые трудности.
Из справки 2010 года:
К заданию С2 приступили 3,7 % всех учащихся
Одним из методов решения стереометрических
задач является координатно-векторный метод.
Он не требует знания большого количества
теорем, достаточно нагляден и позволяет
решить часть заданий С2 учащимся со средним
уровнем подготовки.
Координаты точки, координаты вектора.
Связь между координатами точки и вектора.
Х
Если через точку проведены три попарноперпендикулярные прямые, на каждой из них
выбрано направление и единичный отрезок,
то говорят, что задана
прямоугольная система координат.
В прямоугольной системе координат каждой
точке поставлена в соответствие тройка
чисел – её координаты А (х;у;z)
Коэффициенты х, у, z в разложении
вектора по координатным векторам
Называются координатами вектора в данной0,0,0
системе координат.
а = хi + ej +zk
a {x;e;z}
А(х;у;z)
В(х1;у1;z1)
i
z
y
Формулы для решения задач:
Координаты середины отрезка равны
полу сумме соответствующих
координат его концов.
ОС=0,5(ОА + ОВ) или
Х= 0,5(х1 +х2), У= 0,5(у1+у2),
Z =0,5(z1 +z2)
Вычисление длины вектора по его
координатам
IаI = √х2+у2 +z2
Расстояние между точками
М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)
вычисляется по формуле:
d = √(х1-х2)2 + (у1 – у2)2 + (z1 – z2)2
Угол между векторами.
Скалярное произведение векторов
Угол между векторами а и в равен а.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на
косинус угла между ними.
а в = IаI IвI соs а или
соs а = а в / IаI IвI
(х1х2 + у1у2 + z1z2 )
cоs a = √х12 +у12 + z12 √х22 + у22 + z22
Для вычисления углов между двумя прямыми,
а также между прямой и плоскостью во многих
случаях удобно использовать скалярное
произведение векторов.
Примеры решения задач ЕГЭ
С2(53) АВСDА1В1С1D1–правильный параллепипед. АВ=4, АА1=6
Найдите угол между DВ1 и плоскостью АВС
Решение:
Введем систему координат с началом А
тогда D(4;0;0), В(0;4;0), В1(0;4;6) и
DВ1{-4;4:6} DВ{-4;4;0}.
Соs a=
16+16
√16+16+36√16+16
=
32
√8
=
√68√32 √17
Решение геометрическим способом
можно провести для самопроверки.
Рассмотрим ∆ ВВ1D - прямоугольный.
ВD - диагональ квадрата со стороной 4,
DВ1-диагональ параллелепипеда
с измерениями 4,4,6, следовательно
соs а равен DВ = 4√2 разделить на DВ1= √68 или √8 разделить на √17.
Выбор способа решения остается за учащимся.
Примеры решения задач ЕГЭ
С2 Дан АВСDА1В1С1D1 –прямоугольный параллелепипед АА1=3, АD=8,
АВ=6, точка Е- середина ребра АВ, точка F-середина ребраВ1С1 .
Найдите угол между прямой ЕF и плоскостью АDD1.
Решение: ( векторно-координатный способ )
Введем прямоугольную систему координат
С началом в точке А, тогда угол между
векторами АN {0;4;3} и АF1 {3;4;3} // ЕF и
будет искомым .
16+9
5
Соs a =
=
√25√34
√34
Косинус угла найден с помощью
формулы скалярного произведения двух
векторов.
Преимущество метода в этом случае
очевидно.
Примеры решения задач ЕГЭ
Дана правильная треугольная призма
АВСА1В1С1, в которой АА1=√2АВ.
Найдите угол между АС1 и А1В.
Решение
Пусть АВ = х, тогда АА1=√2х.
Введем прям. с-му коор-т с началом в С.
х
А( х 2 3 ; 2 ; 0), В(0; х; 0), А1( х 3 ;
2
С1(0; 0; х√2).
х
2
; х√2),
Выразим координаты векторов АС1 и ВА1
АС1{- х
3
2
;-
х
;х√2),}
2
BA1{ х 3 ;2
х
;
2
х√2}
Угол между векторами и будет углом
между прямыми. Его соs равен
I-0,75Х2+0,25Х2+2Х2I
√-0,75Х2+0,25Х2+2Х2 √-0,75Х2+0,25Х2+2Х2
х
соs равен
, откуда угол равен 600
2
Список используемой литературы:














Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений;
Москва; «Просвещение», 2007год
Методические рекомендации к учебнику; Москва, «Просвещение»
«Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии», Шестаков
С.А.; Москва, МЦНМО,2008 год
«Теоретические и практические вопросы подготовки к ЕГЭ по
математике»; НИРО, 2009 год
ЕГЭ; «Интенсивная подготовка»; 2011 год,, тематические тренировочные
задания
Сборник задач по математике. «Геометрия», под редакцией М.И. Сканави
Интернет-ресурсы:
http://www.ed.gov.ru
Законы, указы, которые касаются вопросов
образования
http://www.niro.nnov.ru Нижегородский институт развития образования
http://www.it-n.ru
Сеть творческих учителей
http://www.openclass.ru Открытый класс.
http://www.fipi.ru
Материалы для подготовки к ЕГЭ.
http://www.mahtege.ru Открытый банк заданий по математике
http://www.rus.edu.ru Архив презентаций по всем предметам