ТиМОМ 4курс 8семестр 11лекция 2часть

Методика
введения понятия
производной
функции. Её
геометрический и
физический смысл
у
𝑥2
𝑥1
𝑥4
𝑥3
y=f(x)
𝑥6
0 𝑥5
𝑥7
х
Пример 1: Тело движется по закону
𝑆 𝑡 = 3𝑡 − 2.Найдите𝜗ср. и 𝜗мгн. на отрезке
𝑡; 𝑡 + ℎ , где h– малый промежуток времени.
𝑆 𝑡+ℎ −𝑆 𝑡
𝑡+ℎ −𝑡
3 𝑡+ℎ −2 − 3𝑡−2
𝑡+ℎ−𝑡
Решение:𝜗ср. =
=
3𝑡 + 3ℎ − 2 − 3𝑡 + 2
=
=3
ℎ
=
𝜗мгн. = 𝜗ср. = 3
Пример 2: Тело движется по закону
𝑆 𝑡 = 5𝑡 2 + 𝑡.Найдите𝜗ср. и 𝜗мгн. на отрезке
𝑡; 𝑡 + ℎ , где h– малый промежуток времени.
Производная функции в точке
𝑆 𝑡 = 5𝑡 2 + 𝑡,
𝑡; 𝑡 + ℎ
1. 𝑡 ∈ 𝑡; 𝑡 + ℎ , где h– малый
промежуток времени.
2.𝑆 𝑡 = 5𝑡 2 + 𝑡, 𝑆 𝑡 + ℎ =
5 𝑡 + ℎ 2 + 𝑡 + ℎ = 5𝑡 2 +
+10𝑡ℎ + 5ℎ2 + 𝑡 + ℎ.
3.
𝑆 𝑡 + ℎ − 𝑆 𝑡 = 5𝑡 2 +
+ 10𝑡ℎ + 5ℎ2 + 𝑡 + ℎ − 5𝑡 2 −
− 𝑡 = 10𝑡ℎ + 5ℎ2 + ℎ.
4.𝜗ср. =
𝑆 𝑡+ℎ −𝑆 𝑡
𝑡+ℎ −𝑡
𝑦 = 𝑓 𝑥 определена на
промежутке Х
1.𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 + ℎ ∈ 𝑋,где h≠ 1. Зафиксировать
0 и мало (приращение 𝑥, 𝑥 + ℎ из данного
промежутка,
где
аргумента).
2.𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑥 + ℎ .
3. 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 = ∆𝑓–
приращение функции.
=
10𝑡ℎ + 5ℎ2 + ℎ
=
=
ℎ
= 10𝑡 + 5ℎ + 1.
5. Если ℎ → 0 , т.е. 𝑡 + ℎ →
𝑡, то 𝜗ср. → 𝜗мгн. ,тогда𝜗мгн. =
lim 𝜗ср. =
ℎ→0
𝑆 𝑡+ℎ −𝑆 𝑡
lim
= 10𝑡 + 1
ℎ→0
ℎ
𝜗мгн. = 𝑆 ′ 𝑡 .
Алгоритм
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥
4.
ℎ
разностное отношение
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥
ℎ
ℎ→0
5.lim
= 𝑓′ 𝑥 ,
если он существует, производная функции в
точке х.
ℎ ≠ 0 и мало.
2. Найти значения
функции в точках х
и х+h.
3. Найти приращение функции: разность
значений
функции в точках
х+h и х.
4. Составить
разностное
отношение.
5. Найти, если
существует, предел
разностного
отношения
при
ℎ → 0.
Последовательность изучения
геометрического смысла производной
1. Ввести определение касательной, как предельного
положения секущей.
2. Напомнить, что уравнение прямой имеет вид 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥 + 𝑏.
Чтобы записать конкретную прямую нужно найти k и b.
3. Показать, что 𝑘 = 𝑡𝑔𝛼, где 𝛼 – угол между касательной и
положительным направлением оси абсцисс.
4. Доказать, что 𝑡𝑔𝛼 = 𝑓 ′ 𝑥0 , где 𝑥0 – абсцисса точки касания.
Тогда уравнение касательной принимает вид 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 𝑥 +
𝑏.
5. Учесть, что касательная проходит через точку с
координатами 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 , и, подставляя соответствующие
координаты в уравнение касательной, получаем 𝑓 𝑥0 =
𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 𝑥0 + 𝑏,т.е. 𝑏 = 𝑓 𝑥0 − 𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 𝑥0 .
6. Получаем уравнение касательной 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 𝑥 + 𝑓 𝑥0 −
𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 𝑥0 , т.е. 𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 𝑥 − 𝑥0 .
Теоретические и
методические основы
изучения темы
«Применение
производной к
исследованию
функции»
y
y
a 0
b
x
k>0
↓
f’(x)>0,x (a, b)
a 0
b
x
k<0
↓
f’(x)<0,x (a, b)
Пусть функция f(x) непрерывна на
отрезке [a, b] и дифференцируема на
интервале (a, b).
y
f(b)
B (b, f(b))
C (c, f(c))
А (a, f(a))
f(a)
a
0
b
x
k = tg  = f(b)-f(a) = f’(c)
b-a
f’(c) (b-a) = f(b)-f(a)
Алгоритм исследования функции на
монотонность и экстремумы:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки.
3. Отметить критические точки на числовой
прямой, учитывая область определения функции.
4. Определить знак производной на каждом из
получившихся промежутков.
5. Сделать вывод.
Схема исследования функции и
построения графика:
1. Область определения.
2. Чётность/нечётность, периодичность.
3. Корни функции (точки пересечения графика с
осями), промежутки знакопостоянства.
4. Точки разрыва, асимптоты (горизонтальные,
вертикальные, наклонные).
5. Монотонность.
6. Экстремумы.
7*. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
8. Таблицы, дополнительные точки, график.
Теоретические и
методические
основы изучения
первообразной и
интеграла
F(x)
cos x
′
f(x)=𝑭
𝒙
𝒚 𝒙 =
′
𝒇 (𝒙)
5
6𝑥
1
2 𝑥