g`(x) - Томский политехнический университет

Реферат на тему
Гийом Фрасуа Лопиталь. Правило Лопиталя
Выполнила: студ. Буханцова А. К.
Гр. 2Г21
Томск 2012
Биография
 Гийом Франсуа, маркиз де




Лопиталь
Дата рождения:1661 год
Дата смерти: 2 февраля 1704
Научная сфера: Математика
Известен как: автор первого
учебника по
математическому анализу
Правило Лопиталя
 Правило Бернулли-Лопита́ля — метод
нахождения пределов функций, раскрывающий
неопределённости вида и
.Обосновывающая
метод теорема утверждает, что при некоторых
условиях предел отношения функций равен пределу
отношения их производных.
 Условия:
или
;
 f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой
окрестности a ;
 g’(x) ≠ 0 в проколотой окрестности ;
 Существует
,

 тогда существует
.
 Способ раскрытия такого рода неопределённостей
был опубликован в учебнике «Analyse des
Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома
Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме
его первооткрывателем Иоганном Бернулли.
 Отношение бесконечно малых
 Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю
(то есть неопределённость вида
).
 Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой
проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным
образом их доопределить в этой точке: пусть
.
Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и
применим к отрезку [a, x] теорему Коши. По этой теореме
получим:
 Но f(a) = g(a) = 0, поэтому
.
 Дальше, записав
определение предела отношения производных и
обозначив последний через A, из полученного
равенства выводим:
для конечного предела и
для бесконечного, что
является определением предела отношения
функций.
 Докажем теорему для неопределённостей вида
.
 Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A.
Тогда, при стремлении x a к справа, это отношение можно записать как A
+ α , где α — O(1). Запишем это условие:
 .Зафиксируем t из отрезка [a, a + δ₁] и применим теорему Коши ко
всем x из отрезка [a, t] :
,

 что можно привести к следующему виду:
 Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого
множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы,
а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1
+ β, где β— бесконечно малая функция при стремлении x к a справа.
Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в
определении для α:
 Получили, что отношение функций представимо в
виде
,и
. По любому
данному можно найти такое ε₁, чтобы модуль разности
отношения функций и A был меньше ε, значит, предел
отношения функций действительно равен A.
 Если же предел A бесконечен (допустим, он равен
плюс бесконечности), то
 .В определении β будем брать ε₁‹½; первый множитель
правой части будет больше 1/2 при x, достаточно
близких к a, а тогда
 Для других баз доказательства аналогичны
приведённым.
Благодарю
за внимание!