Задачи на концентрацию

«Задачи на
концентрацию.»
Задачи взяты из банка данных
«Подготовка к ЕГЭ по математики»
Составитель Абрамова С.И
Задача №1
В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки
(перманганат калия). В нее долили 60г 30 %-го раствора
марганцовки. Определить процентное содержание
марганцовки в полученном растворе.
Решение.
Заполним таблицу по условию задачи:
1-й раствор
2-й раствор
3-й раствор
СА
10% или 0,1
30% или 0,3
М
140
60
200
Концентрация раствора равна :
Ответ: 16%
МА
0,1·140
0,3·60
0,1·140
+0,3·60
32
СА=
·100= 16(%)
200
Задача №2
I способ
Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора
марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора
марганцовки?
Решение.
Заполним таблицу по условию задачи:
1-й раствор
2-й раствор
3-й раствор
СА
10% или 0,1
30% или 0,3
16% или 0,16
М
х
у
200
МА
0,1х
0,3у
0,16· 200
Составим и решим систему уравнений:
х = 𝟐𝟎𝟎 − у,
х + у = 𝟐𝟎𝟎,
х = 𝟏𝟒𝟎,
𝟎, 𝟏х + 𝟎, 𝟑у = 𝟑𝟐; 𝟎, 𝟏 𝟐𝟎𝟎 − у + 𝟎, 𝟑у = 𝟑𝟐; у = 𝟔𝟎.
Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.
Намного проще, на мой взгляд, решить задачу по правилу
«прямоугольника» или «креста», применяемому химиками:
Смешали два раствора: первый - массой m1 г и концентрацией с1 и
второй – массой m2г и концентрацией с2, получили раствор
массой (m1 + m2)г и концентрацией с3, причем с1< с3< с2.
Найдем зависимость масс исходных растворов от их
концентраций.
Масса основного вещества в первом растворе равна с1 m1 г, во
втором растворе - с2 m2, а в смеси с3(m1 + m2)г.
Составим равенство с1 m1 + с2 m2= с3(m1 + m2), откуда следует
𝑚1 𝑐2−𝑐3
пропорция
=
𝑚2 𝑐3− 𝑐1
14
х
=
6
200 − х
х= 140(г)- 10% р-р
200 -140 = 60(г) 30% р-р
Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.
Смешали некоторое количество 15–процентного
раствора некоторого вещества с таким же
количеством 19–процентного раствора этого
вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Решение:.
15
19-х
х
19
«1»ч
х- 15
«1»ч
Пусть концентрация раствора равна х%.
19−х
= 1; х= 17
х−15
Ответ: 17%.
Задача №3 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг
раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы
смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же
смешать равные массы этих растворов, то получится раствор,
содержащий 70% кислоты. Какова концентрация кислоты в
первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты – с1, а
С
М
М
концентрация второго – с2 .
А
1-й
раствор
2-й
раствор
3-й
раствор
4-й
раствор
А
с1
30
30с1
с2
20
20с2
0,68
50
50· 0,68= 34
70% или 0,7
mс1+mс2
2m·0,7
с1 + с2 = 1,4,
с2 = 1,4 − с1 ,
с2 = 1,4 − с1 , с1 = 0,8,
.
30с1 + 20с2 = 34;
30с1 + 28 − 20с1 = 34;
10с1 = 6;
с2 = 0,6
Поэтому m1= 0,6·30=18
Ответ: 18%
Задача №4 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса
второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов
получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу
третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение.
Пусть масса первого сплава х кг, а масса второго – (х+3)кг
10
10
х кг
30
(х+3)
40
х
1
= ; х= 3(кг)- масса первого сплава
х+3 2
3+(3+3)= 9(кг) масса второго сплава
Ответ: 9кг.
20
Задача №5 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля,
второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий
сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько
килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение аналогично решению задачи № 4
10
5
х кг
(200-х)
25
30
15
х
1
= ;
200−х 3
х= 50(кг)- масса первого сплава
200- 50= 150(кг)- масса второго сплава
150-50 = 100(кг)
Ответ: 100кг.
Задача №6 (Тренировочная работа № 1 от 22 ноября 2012г)
Смешав 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг
чистой воды, получили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10
кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то
получили бы 32 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение.
Пусть масса 14-процентного раствора кислоты – х кг, а масса 50процентного – у кг . Если смешать 14-процентный и 50-процентный растворы
кислоты и добавить кг чистой воды, получится 22-процентный раствор
кислоты:0,14х+0,5у= 0,22(х + у +10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10
кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32% раствор
кислоты:0,14х+0,5у+0,5·10=0,32(х +у+10) . Решим полученную
систему уравнений:
0,14х + 0,5у = 0,22 х + у + 10 ,
0,14х + 0,5у + 5 = 0,32 х + у + 10 ;
х + у = 40,
18х − 18у = 180;
−0,08х + 0,28у = 2,2,
−0,18х + 0,18у = −1,8
х + у = 40,
х − у = 10;
х = 25,
у = 15;
Ответ: 25кг.
Задача №6 (Диагностическая работа №3 от 13 марта 2013г)
Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг, а второй- 20кг растворов
кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то
получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные
массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78 % кислоты.
Каково процентное содержание кислоты в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.
1)
х
у- 72
100 кг
2)
х
72
у
78
72-х
у−72
=5;
72−х
у- 78
20 кг
у
78-х
у−78
=1;
78−х
3) решим систему уравнений
х = 69,
у − 72 = 5 72 − х ,
у = 87.
у − 78 = 78 − х;
Ответ: 69%.
1ч
1ч
Задача №7
Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении
в воду стал весить 12 кг 510г. определите массы золота и серебра в
сплаве, если плотность золота 19.3 г/см3,а серебра 10,5 г/см3.
Решение.
По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе
столько, сколько весит вытесненная им вода, то есть 13.41- 12,51=
0,9(кг).Плотность воды равна 1г/см3, поэтому объем сплава равен
13410
3
900 см , а его плотность равна
= 14.9 (г/см3).
900
Составим схему, где в левой колонке и в центре стоят массы 1см3
серебра, золота и сплава:
Рассматривая правую колонку, видим, что
10,5
4,4
золота и серебра в сплаве одинаковое
число частей. Значит, массы золота и
14,9
серебра в сплаве равны.
19,3
4,4
13, 41 :2 = 6, 705 (кг)
Ответ: по 6.705 кг
Задача №8
Концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию.
Если смещать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то
получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в
отношении3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля
спирта в каждом растворе?
Решение:
Пусть первый раствор содержит х%, второй –у%, а третий z% спирта. При
первом перемешивании смешали 2ч первого раствора, 3ч второго раствора и 4ч
третьего и получили раствор, содержащий 32% спирта. Получим первое
уравнение: 0,02х + 0,03у +0,04z =0,32·9,
2х +3у+ 4z = 288.При повторном перемешивании смешали 3ч первого раствора,
2 ч второго и 1ч третьего и получили раствор, содержащий 22% спирта.
Получим второе уравнение: 0,03х + 0,02у+ 0,01 z = 0,22·6,
3х+ 2у+ z =132.
Учитывая, что концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую
прогрессию: х, у, z, получим третье уравнение: у2= хz.
Составим и решим систему уравнений:
2х + 3у + 4z = 288,
3х + 2у + z = 132,
у2 = хz;
Из первых двух уравнений выразим у и z через х.
у = 48- 2х, z = х+36, подставляя в третье уравнение
получим:
(48-2х)2 = х(х+ 36)
482 – 192х +4х2 =х2 + 36х
3х2- 228х+ 2304= 0
х2- 76х+ 768= 0
х1=12
х2= 64 не является решением так как если х= 64, у<0.
Ответ: в первом 12%, во втором 24%, в третьем 48%.
Задачи на переливание
При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся,
что выполняются следующие допущения: «закон сохранения
масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и
для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что
плотности растворов изменяются незначительно и примерно
равны плотности воды, то есть растворы сильно разбавлены, или
наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными
растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность
раствора близка к плотности основного вещества.
Задача № 9
В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй- 1л молока.
Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и
хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во
вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в
кофе или кофе в молоке?
Решение.
1)В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой
молоко составило
0,13
13
13
100
= , а кофе – 1= .
1,13
113
113
113
2)Во второй кастрюле осталось0,87л молока и добавили
100
13
0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 ·
= .
113 113
Ответ: одинаково.
Задача №9
Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью,
причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают
некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и
вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять
дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне остается 9%
кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый
раз?
Решение.
Предположим, что в первый раз выпустили х литров смеси и
дополнили баллон х литрами азота. После первого выпуска смеси в
баллоне осталось (8-х) · 0,16 л кислорода, а его концентрация стала
(8−х) · 0,16
равна
= (8 – х)· 0,02. После второго выпуска
8
х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией
кислорода, равной (8 – х)· 0,02. Концентрация кислорода на этом
(8−х)2 ·0,02
этапе равна
= 0,09, откуда (8 – х)2 = 36, то есть х1 = 2, х2 =
8
14. х2 не удовлетворяет условию задачи, так как х< 8.
Ответ: