Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Тема: Решение задач с помощью
квадратных уравнений.
Цели и задачи:
Учиться быстрому и рациональному способу решению
квадратных уравнений и задач .
Познакомиться с историей возникновения квадратных
уравнений.
а) x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, b = -4, c = -5
D = b2 – 4ac = 16 + 20 =36 > 0,
х1 = - 1; х2 = 5.
Ответ: -1; 5.
2 корня;
а) x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, k = -2, c = -5
D1 = k2 – ac = 4 + 5 = 9 > 0,
х1 = - 1; х2 = 5.
Ответ: -1; 5.
2 корня;
б) 2х2 – 5х + 3 = 0
Ответ:
в) -7х2 + 13х – 6 = 0
Ответ:
г) 3х2 - 8х + 5 = 0
Ответ:
Если в квадратном уравнении
aх2 + bх + c = 0
a + b + c = 0,
то
.
Доказательство.
b = - (a + c)
D = b2 – 4ac = (a + c)2 – 4ac= a2+2ac+c2 -4ac =
a2-2ac+c2= (a – c)2
;
=
Например,
х2 + 1999х – 2000 = 0
Ответ:
5х2 + 31х – 36 = 0
Ответ:
Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
Мы в поход отправляемся смело
В мир загадок и сложных задач.
Не беда, что идти далеко,
Не боимся, что путь будет труден.
Достижения крупные людям
Никогда не давались легко.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных
уравнений умели решать вавилоняни около 2000 лет до нашей эры. Об
этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с
решениями (в виде рецептов). Правило решения этих уравнений по
существу совпадает с современным, однако, неизвестно каким образом
люди дошли до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития
алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие
отрицательного числа и общие методы решения уравнений.
Задача на глиняной дощечке (около 1950 год до н.э)
Площади двух своих квадратов я сложил и
получил 97. Сторона второго квадрата равна
стороне первого и ещё 5.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате
«Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком
Ариабхаттой. Другой индийскиий учёный – Брахмагупта (VII в.) изложил
общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по
существу совпадает с современным.
В древней Индии были распространены публичные соревнования в
решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится
по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим
затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных
собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».
Вот одна из задач знаменитого индийского
математика XII в. Бхаскары.
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
В трактате «Кетаб аль–джебр валь- мукабала» хорезмский математик альХорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ax2 = bx, ax2 = c,
ax2+c = bx (буквами a,b и с обозначены лишь положительные числа, так как
отрицательных чисел тогда не признавали ).
Формы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе
были впервые изложены в «Книге абаха», написаной в 1202г. Итальянским
математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно
некоторые новые алгебраические примеры задач и первый в Европе
подошел к введению отрицательных чисел. Многие задачи из его «Книги
абаха» переходили почти во все европейские учебники.
Общее правило решения квадратных уравнений вида x2+bx=c было
сформировано в 1544 г. М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного
уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только
положительные корни. Отрицательные корни среди первых стали учитывать
итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли.
После трудов нидерландского математика А.Жирара, а также Декарта и
Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
а) x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, b = -4, c = -5
a – b + c = 0 или b = a + c
х1 = - 1; х2 = 5.
Ответ: -1; 5.