проходящей через два не соседних боковых ребра
advertisement
Призма Введение Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. История создания призмы Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело). Евклид определял призму как телесную фигуру, заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями параллелограммами. Для того чтобы это определение было вполне корректным, следовало бы доказать, что плоскости, проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаются по параллельным прямым. Евклид употреблял термин “плоскость” как в широком смысле (рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина “прямая” (в широком смысле бесконечная прямая и в узком - отрезок). В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой. В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения. 1.Определение призмы. Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой. Свойства призмы. Основания призмы являются равными многоугольниками. Боковые грани призмы являются параллелограммами. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Все призмы делятся на прямые и наклонные. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. Площадь поверхности призмы и площадь боковой поверхности призмы. Площадь поверхности призм равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности) и площадей двух оснований (2Sосн) - равных многоугольников: Sпов=Sбок+2Sосн. Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра. Сечение призмы плоскостью. 1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. 2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат. Нормальное (ортогональное) сечение призмы. Это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру. Боковая поверхность призмы равна произведению периметра нормального сечения на длину бокового ребра. S=p’ l Объём призмы равен произведению площади нормального сечения на длину бокового ребра. V=s’ l 2.Определение правильной призмы. Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой. Свойства правильной призмы. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны. Правильная призма является прямой. Сечение правильной призмы. 1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. 2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат. Симметрия правильной призмы 1.Центр симметрии при четном числе сторон основания - точка пересечения диагоналей правильной призмы. 2.Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания - плоскости, проходящие через противолежащие ребра. 3.Оси симметрии: при четном числе сторон основания - ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней. Заключение Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теория отношений Евдокса.
