Математическая модель финансово-денежной

Щербаков А.В., к.э.н.
Математическая модель
финансово-денежной
системы. Финансовый
пузырь на примере ФРС и
доллара США.
Постановка задачи.
Рассмотрим процесс функционирования
денежной системы. Существуют
несколько видов стоимости денег, за
основную рассматриваемую переменную
примем потребительную стоимость денег
(обозначим ее Р), то есть возможность
обменять деньги на какие-либо товары.
Второй переменной будет количество
денег (обозначим N).
Уравнение для потребительной стоимости
𝒅Р
𝒅𝒕
= 𝒂Р − 𝒃 - 𝜷 𝑵 − 𝑵𝟎 𝑵
Где b - уровень естественной инфляции;
𝜷 𝑵 − 𝑵𝟎 𝑵 – член уравнения, учитывающий изменение
потребительной стоимости денег в зависимости от их количества
(N), а именно, когда денег не хватает (N < 𝑵𝟎 ) их
потребительская стоимость возрастает, когда денег слишком
много – потребительская стоимость денег падает, когда денег
очень мало (N → 0) их роль начинают играть денежные
суррогаты или бартер.
𝒂 - коэффициент, учитывающий научно-технический прогресс.
Благодаря росту производительности труда, общественно
необходимое время для производства товаров, то есть их
стоимость, снижается. Следовательно, потребительная стоимость
денег, при фиксированном N, возрастает.
Уравнение для количества денег
𝒅𝑵
𝒅𝒕
= 𝒄𝑵 + 𝜸 𝑷 − 𝑷𝟎 𝑷
Где c - уровень естественной эмиссии денег;
𝜸 𝑷 − 𝑷𝟎 𝑷– член уравнения, учитывающий
изменение количества денег в зависимости от их
потребительской стоимости (𝑷). Когда
потребительская стоимость денег растет (Р > Р𝟎 )
выпуск денег увеличивается, когда их
потребительская стоимость падает (Р < Р𝟎 ) –
количество денег сокращается.
Итак, имеем систему уравнений:
𝒅Р
𝒅𝒕
= 𝒂Р − 𝒃 - 𝜷 𝑵 − 𝑵𝟎 𝑵
𝟏
𝒅𝑵
𝒅𝒕
= 𝒄𝑵 + 𝜸 𝑷 − 𝑷𝟎 𝑷
Решим систему уравнений 𝟏
методом фазовой плоскости.
Из Рис.1 видно, что функционирование финансово-денежной
системы можно разделить на три области.
Ниже сепаратриссы лежит область равновесия, куда входит
особая точка 2 (устойчивый фокус). Сама же сепаратрисса
проходит через особую точку 1 – неустойчивый узел. Выше и
правее сепаратриссы находятся область роста и область
инфляции.
Находясь ниже сепаратриссы, система стремится к
равновесному состоянию (точка 2).
Если мы начинаем увеличивать количество денег (включаем
печатный станок), то попадаем в область инфляции.
Если мы смогли каким-то образом увеличить потребительскую
стоимость денег, то мы попадаем в область роста. Эта ситуация
соответствует финансовой пирамиде. Рост будет продолжаться
до тех пор, пока мы не пересечем изоклину вертикалей. При ее
пересечении мы попадаем в область инфляции (пирамида
рушится).
Кризисы финансовых «пузырей».
Кризис
Период
кризиса
Объем
ДлительПолитическое
«пузыря», ность, лет «сопровождение»
млрд. $
(годы)
153,0
12/(1979- 1991 г. – развал
СССР.
1991)
Кризис
ссудосберегатель
ной системы
19861991
Кризис
высокотехнолог
ичного
фондового
рынка NASDAQ
Ипотечный
кризис
20002001
5000,0
10/(19912001)
20082012/13
12000,0
7/(2001 2008)
Кризис доллара.
2014-15
26000,0
5/(20092014)
2001 г. – взрыв
Всемирного
торгового центра,
война в
Афганистане.
РоссийскоГрузинский
конфликт
в
Ю.Осетии
Геноцид русских
на Украине.
Год
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
N,трлн. $
12,0
12,4
13,8
16,9
22,3
29,5
35,4
36,5
P, ед.
1,00
1,96
2,91
3,80
4,37
3,93
1,20
- 4,28
Варианты перезагрузки пузыря.
• Большая война в Европе.
• Исламский джихад в Европе и
России.
• Развал России.
• Развал Китая.
• Большая война в Азии.
• Глобальная катастрофа.
ВЫВОДЫ
1. Построена базовая математическая модель финансоводенежной системы.
2. Модель описывает три состояния финансово-денежной
системы:
- Область равновесия;
- Область роста
- Область инфляции.
3. Попадая в область роста, система неизбежно переходит
в область инфляции. Таким образом, модель описывает
развитие и «схлопывание» финансовых «пузырей».
4. В качестве примера, с помощью модели описан
финансовый пузырь, построенный на долларе США.
Согласно модели, период «схлопывания» пузыря – 201415 г.г.