2.Модели оптимизации производства. - Кафедра

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Цевелев В.В., Аксенов В.Н.
Модели оптимизации производства
Методические указания и задания к курсу
«Математические методы и модели
в управлении»
Новосибирск 2011
УДК 658.011.22(075.8)
Методические указания разработаны в соответствии с программой
дисциплины "Математические методы и модели в управлении" для высших
учебных заведений. Тематика заданий: планирование и управление запасами,
планирования замены оборудования и т.д. Прилагаются равноценные варианты
и подробные методические указания к решению задач.
Методические указания предназначены для студентов экономических
специальностей дневной и заочной формы обучения.
Методические указания и задания рассмотрены и утверждены на
заседании кафедры “Менеджмент на транспорте” 13 октября 2010 г.
Составители: доц., канд. экон. наук Цевелев В.В., доц. Аксенов В.Н.
Ответственный редактор:
доцент кафедры “Менеджмент на транспорте”, канд. экон. наук
С.Ф. Самсонов
Рецензент: зав. кафедрой “Социальная психология управления” СГУПС,
канд. экон. наук В.И. Мельников
© Сибирский государственный университет
путей сообщения, 2011
2
ВВЕДЕНИЕ
В процессе перехода и развития в условиях рыночной экономики
промышленные предприятия вынуждены пересматривать свою политику в
части хранения и управления запасами (как сырья, так и конечной продукции),
замены основных фондов. Правильное и своевременное определение стратегии
в данных вопросах позволяет высвободить значительные оборотные средства,
что, в конечном итоге, повышает эффективность используемых ресурсов.
В данных методических указаниях рассмотрены основные математические
модели,
адаптированные
для
решения
этих
вопросов.
В
условиях
неопределенности исходных данных (приближения к реальным условиям)
возможно использование модификаций данных моделей, усложняющих
процесс их решения и анализа.
1. Планирование и управление запасами
ЗАДАНИЕ 1
Объём продажи некоторого магазина составляет N рулонов обоев в месяц.
Причем объём спроса равномерно распределен в течение месяца. Магазин
производит заказ партии обоев непосредственно у производителя по цене Цз
д.е. за рулон. Время доставки заказа от поставщика составляет t рабочих дней
(при 6–дневной рабочей неделе). Стоимость подачи заказа составляет Спод д.е.,
а издержки хранения Схр — 20% среднегодовой стоимости запасов.
Требуется:
1.
Найти
оптимальный
размер
заказа
обоев
у
производителя,
обеспечивающий минимум годовой общей стоимости запаса единицы
продукции.
3
2. Найти интервал и уровень повторного заказа. Принять, что магазин
работает 300 дней в году.
3. Показать, является ли выгодной для магазина скидка S % при заказе
размера партии более 500 рулонов.
Исходные данные для решения задачи приведены в приложении П1.
ЗАДАНИЕ 2
Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость
одного блока составляет b д.е. В случае выхода агрегата из строя из–за поломки
блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока
к нему обойдется в a д.е. Опытное распределение агрегатов по числу блоков,
потребующих замену, представлено в приложении П2. Затраты на один блок
при их избытке (b) и недостатке (a) приведены в приложении П3.
Требуется:
1. Определить оптимальное число запасных блоков, которое необходимо
приобрести вместе с агрегатом.
2. Подтвердить полученное значение аналитическим путем.
2. Планирование объема производства
ЗАДАНИЕ 3
Производственный
процесс
компании
по
производству
цветных
телевизоров основан по принципу выпуска партии общим объемом N штук в
неделю. Спрос на наиболее популярную модель телевизора составляет Ds штук
в год и равномерно распределяется в течение года. Вне зависимости от того, в
какой момент времени возникает необходимость в производстве партии
4
телевизоров популярной модели, стоимость производственного процесса
составляет Спр д.е. Стоимость хранения составляет Схр за штуку.
Требуется:
1. Определить объем партии телевизоров популярной модели, при которой
затраты на производство и хранение были минимальны.
2. Рассчитать число производственных циклов в год, их периодичность, а
также
продолжительность
производства
одной
партии
телевизоров.
Количество рабочих недель в году — 50.
3. Определить, на сколько процентов увеличиться общая ежегодная
стоимость производства телевизоров по сравнению со стоимостью при
экономичном размере партии, если объем выпускаемой партии увеличить на 20
единиц.
Исходные данные для решения задачи приведены в приложении П4.
ЗАДАНИЕ 4
На некотором станке производятся детали в количестве P единиц в месяц.
Эти детали используются для производства продукции на другом станке
производительностью D единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас.
Издержки производства составляют Спр, а издержки хранения — 20%
среднегодовой стоимости запасов в год. Стоимость производства одной детали
равна К д.е.
Требуется:
1. Определить размер партии деталей, производимой на первом станке, а
также частоту организации цикла для производства этих деталей.
2. Рассчитать общую переменную стоимость производства.
3. Проанализировать, как изменяться величины, полученные в п.1, 2, при
снижении стоимости производства в 2 раза.
Исходные данные для решения задачи приведены в приложении П5.
5
3. Планирование замены оборудования
ЗАДАНИЕ 5
В аппарате диспетчерской сигнализации используется три типа элементов,
которые периодически выходят из строя и подлежат замене. По данным
наблюдения за работой элементов установлено распределение 500 элементов по
времени их службы (приложение П6). Общее время на замену одного элемента
— 6 мин, двух — 8 мин, трех — 9 мин. Стоимость нового элемента — 5000 д.е.
Заработная плата механика за замену элементов составляет 4000 д.е. в час.
Потери от простоев — 6000 д.е. в час.
Требуется:
1.Разработать модель возможного выхода из строя всех типов элементов.
2. Сравнить затраты средств по двум вариантам: а) замена только
выбывшего из строя элемента: б) замена всех элементов, если один выходит из
строя.
ЗАДАНИЕ 6
Станок эксплуатируется в течение 8 лет, после чего продается. В начале
каждого года нужно принять решение сохранить станок или заменить его
новым. Стоимость нового станка P=30 д.е. После t лет эксплуатации (1  t  8)
станок можно продать за S(t)=18–2*t д.е. (ликвидная стоимость). Стоимость
продукции, производимой на станке возраста t, r(t) и эксплуатационные затраты
u(t) на станок приведены в приложении П7, П8.
Требуется определить оптимальную стратегию эксплуатации станка
возраста 1…8 лет.
6
Методические указания к решению задач
1. ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ
ЗАДАНИЕ 1. Решение данной задачи базируется на статической
детерминированной модели без дефицита, которая описывает издержки,
связанные с наличием запасов, за весь период хранения. В данном случае за
период принят год. Рассмотрим механизм решения задачи при следующих
исходных данных:
 объем продаж обоев N=50 рулонов в месяц; закупочная цена одного
рулона Цз=40 д.е.; время доставки заказа t =12 рабочих дней; стоимость
подачи одного заказа Спод=100 д.е.; издержки хранения Схр — 20%
среднегодовой стоимости запасов; скидка s =5%.
Общая стоимость запасов в год (Сзап) является суммой общей стоимости
подачи в год и общей стоимости хранения запасов в год (рис.1.1).
Стоимость,
д.е.
Общая годовая стоимость
запасов
Годовая стоимость
хранения запасов
Годовая стоимость подачи
EOQ
Объем заказа, ед.
Рисунок 1.1 Зависимость стоимости и объема заказов
7
Если потребность в обоях составляет N рулонов в месяц, а каждый заказ
подается на партию в q рулонов, то ежегодное количество заказов составит:
n
12  N
,
q
(1.1)
а ежегодная стоимость подачи заказа:

n,
С год
под С под
(1.2)
В простейшей ситуации, когда уровень запасов изменяется линейно (по
времени) и принадлежит промежутку от q до 0, средний уровень запасов равен
q/2. Тогда ежегодная стоимость хранения определяется по формуле:
С год
хр С хр 
q
,
2
(1.3)
и, следовательно, общая стоимость запасов в год составляет:
 год ,
С зап  С год
под С х р
(1.4)
или
С зап  С под 
q
12  N
C хр  ,
q
2
(1.5)
Нетрудно заметить, что если размер заказа невелик, то стоимость подачи
заказа является доминирующей. В этом случае заказы подаются часто, но на
небольшое количество продукции. Если размер заказа является достаточно
8
большим, основной компонентой становиться стоимость хранения — делается
небольшое число заказов, размер которых достаточно велик.
Если принять во внимание стоимость закупки продукции, то можно
рассчитать общую годовую стоимость закупки и хранения:
С  С зап  С зак ,
(1.6)
где С зак — стоимость закупки обоев:
С зак  12  N  Цз
(1.7)
Путем дифференцирования (1.5.) получим, что стоимость запасов Сзап
будет минимальна, если объем заказа будет равен:
q
24  C под  N
Cхр
,
(1.8)
Полученный объем называется экономичным размером заказа (EOQ).
Исходя из условия примера, он равен:
q
24  100  50
 122,47
0, 2  40
Количество заказываемых рулонов должно быть целым, поэтому в
качестве EOQ выберем значение 122. Минимальное значение стоимости
запасов равно:
С зап  100 
12  50
122
 0, 2  40 
 979,80 д.е.
122
2
9
Общая стоимость закупки и хранения запасов в год:
С  979,80  12  50  40  24979,80 д.е.
Таким образом, стоимость запасов составляет 3,9% общей стоимости в год.
Заказ новой партии обоев необходим по истечении периода, равного
q/(12*N). Если в году 300 рабочих дней, то интервал повторного заказа равен:
I 
q
 300 ,дней
12  N
(1.9)
Т.е. для нашего примера:
I 
122
 300 =61 рабочий день
12  50
Объем продажи обоев за 12 дней поставки составит:
n
12  N
t ,
300
n
(1.10)
12  50
 12  24 рулона
300
Следовательно, уровень повторного заказа равен 24 рулонам, т.е. подача
нового заказа производиться в тот момент, когда уровень запасов равен 24
рулонам.
Если магазин захочет получить скидку производителя, то размер партии
увеличится, поскольку в этом случае она должна составлять не менее 500
рулонов в год, тогда как в настоящий момент уровень запасов составляет 122
10
рулона. Будет ли скомпенсировано увеличение издержек хранения снижением
закупочной цены и стоимости подачи заказа?
Из вышеизложенных расчетов имеем, что при закупочной цене 40 д.е.
значение общей годовой стоимости составляет 24979,80 д.е. Рассмотрим
вариант, когда закупочная цена с учетом скидки 5% равна 38 д.е. Оптимальный
уровень запаса равен:
q
24  100  50
 125,66 , т.е. 125
0, 2  38
Полученное значение меньше, чем 500. Следовательно, оптимальный
объем заказа, соответствующий новой цене, не является допустимым.
Минимально возможная стоимость за год будет равна:
С  100 
12  50
500
 0, 2  38 
 38  12  50  24820,00 д.е.
500
2
Очевидно, что предоставляемая производителем скидка выгодна магазину,
так как приводит к снижению общей стоимости на 159,80 д.е.
ЗАДАНИЕ 2. Решение данной задачи основано на стохастической модели
управления запасами, у которой спрос является случайным.
Данные о распределении агрегатов по числу блоков представлено в
табл.1.1.
Таблица 1.1 Исходные данные для решения
Число замененных
0
1
2
3
4
5
блоков r
6и
более
Статическая
вероятность (доля)
0,80
0,10
0,05
0,02
0,02
0,01
0,00
агрегатов Р(r), которым
потребовалась замена r
блоков
11
Обозначим через s уровень запаса. Если спрос r ниже уровня запаса s, то
появляются издержки из–за омертвления средств и увеличиваются затраты на
хранение запаса b д.е. на единицу. И, наоборот, если спрос r выше уровня
запаса s, то это приводит к "штрафу" за дефицит a д.е. на единицу.
В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических
моделях случайной величиной, рассматривается её среднее значение или
математическое ожидание. В рассматриваемой модели при дискретном
случайном спросе r, имеющем закон распределения Р(r), математическое
ожидание суммарных затрат имеет вид:
r s

r 0
r  s 1
Q(s)  b P(r )( s  r )  a  P(r )(r  s)
(1.11)
В выражении (1.11) первое слагаемой учитывает затраты на хранение
излишка s-r блоков (при r s), а второе — штраф за дефицит на r-s блоков (при
r s).
Рассмотрим численное решение задачи при b = 20 д.е., a = 500 д.е.
На основании (1.11) подсчитаем ожидаемый суммарный расход при
различных уровнях запасов, т. е. от 0 до 5:
Q  s  5   200,80 5  0   0,10 5  1  0,05  5  2  0,02 5  3  0,02 5  4   0,01 5  5   
=92,2 д.е.
Q  s  4   200,80 4  0   0,10 4  1  0,05  4  2  0,02 4  3  0,02 4  4    5000,01 5  4   
=77,4 д.е.
Q  s  3   20 0,80 3  0   0,10 3  1  0,05  3  2   0,02 3  3   500 0,024  3   0,01 5  3  
=73,0 д.е.
Q  s  2   20 0,80 2  0   0,10 2  1  0,05  2  2   500 0,02 3  2   0,024  2   0,01 5  2  
=79,0 д.е.
12
Q  s  1  200,80 1  0   0,10 1  1   5000,05 2  1  0,02 3  1  0,02 4  1  0,01 5  1  
=111,0 д.е.
Оптимальный уровень запасов равен 3.
Аналитическое решение задачи основано на том, что при дискретном
случайном
спросе
выражение
r
(1.11)
минимально
при
запасе
rо,
удовлетворяющем неравенству:
F  s0     F  s0  1 ,
(1.12)
где F(s) — функция распределения спроса r:
F(s)=P(r  s)
(1.13)
F(sо), F(sо+1) — её значения;
 — плотность убытков из–за неудовлетворенного спроса:

a
,0
ab
1
(1.14)
Учитывая (1.13), найдем значения функции распределения спроса:
s
0
1
2
3
4
5
6 и более
r
0
1
2
3
4
5
6 и более
P(r)
0,80
0,10
0,05
0,02
0,02
0,01
0,00
F(r)
0,00
0,80
0,90
0,95
0,97
0,99
1,00
Воспользовавшись формулой (1.14), имеем:

500
 0,962
20  500
Проверяем выполнение условия (1.12):
0,95  0,962  0,97
Очевидно,
что
аналитическое
решение
задачи
подтверждает,
что
оптимальным уровнем запаса является s = 3.
13
2. ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЬЕМА ПРОИЗВОДСТВА
ЗАДАНИЕ 3. В данной задаче говориться о выпуске продукции в форме
производственных партий. И если стоимость организации технологического
процесса сопоставить со стоимостью подачи заказа, а издержки хранения
готовой продукции — издержкам хранения запасов, то данный тип задач можно
решить с использованием модели, рассматриваемой в задании 1.
В качестве исходных данных принимаем:
 объем выпускаемой партии телевизоров N=100 единиц в неделю;
 спрос на популярную модель телевизора Ds=500 единиц в год;
 стоимость организации производственного процесса Спр=2000 д.е.;
 стоимость хранения одного телевизора Схр=100 д.е.
Размер экономичной партии (EBQ) рассчитывается по формуле:
q
q
Поскольку
кривая
2  C пр  D s
C хр
,
(2.1)
2  2000  500
 141,4
100
общей
стоимости
запасов
(в
данной
задаче,
производства) (рис.1.1) не обладает высокой чувствительностью по отношению
к небольшим изменениям q, вполне вероятно, что выбранное в качестве EBQ
значение, равное 140, не приведет к значительному увеличению общей
стоимости. Это легко проверить:
для q=141,4
С  2000 
500
141,4
 100 
 14142,14 д.е.
141,4
2
14
500
140,0
 100 
 14142,86 д.е.
140,0
2
для q=140,0
С  2000 
для q=145,0
С  2000 
500
145,0
 100 
 14146,55 д.е.
145,0
2
Наиболее удобный размер партии, равный 140 единицам, по сравнению с
оптимальным размером приводит к увеличению общей стоимости на 0,72 д.е.
(0,005%). Примем в качестве EBQ значение, равное 140 единицам телевизоров
популярной марки.
Число производственных циклов составит:
n
n
Ds
,
q
(2.2)
500
 3,6 (т.е. 18 циклов за каждые 5 лет)
140
Если принять, что в году 50 рабочих недель в году, то интервал между
двумя любыми производственными циклами будет равен:
i  50 
i  50 
q
,
D
(2.3)
140
 14 недель
500
Если объем производства в неделю равен 100 единицам, то процесс
производства одной партии займет:
k
q
,
N
(2.4)
15
k
140
 1,4 недели
100
При увеличении на 20 единиц относительное изменение объема партии по
сравнению с оптимальным составит:
q
20

 0,143 ,
q
140
(2.5)
Для определения относительного изменения общей стоимости удобно
использовать следующую формулу:
 ,
C 1 q
 
q
C
2
2
(2.6)
Она свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по
отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых q
относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного
изменения объема партии по сравнению с оптимальным.
C 1
  0,143 2  0,01 , т.е. стоимость организации производства увеличилась
C
2
на 1%
ЗАДАНИЕ 4. Особенность этой задачи состоит в том, что по её условию
не происходит единовременного пополнения запаса и его уровень не
изменяется скачкообразно от 0 до q. Напротив, запас равномерно возрастает в
течение периода работы первого станка, а затем, по мере использования запасов
для работы второго станка, начинает убывать. Размер партии деталей,
выпускаемых на первом станке, равен q и поскольку детали используются по
16
мере их изготовления, максимальный уровень запасов q должен быть меньше
q. Если выпуск деталей осуществляется с ежегодной производительностью Pгод,
а потребление — с ежегодным темпом Dгод, то темп пополнения запасов равен
(Pгод- Dгод).
Если производственный цикл длится t лет, то объем продукции,
производимой в течение цикла, определяется по формуле:
q  P t
(2.7)
Следовательно:
t
q
, лет
P
(2.8)
Максимальный уровень запасов равен (Pгод-Dгод)*t. Подставив вместо t
выражение (2.8) получим, что максимальный уровень запасов равен (PгодDгод)*(q/P) деталей. Таким образом, уравнение общей переменной стоимости
имеет следующий вид:


P год  D год  q
D
,
С  С пр   С х р 
q
2  P год
(2.9)
Минимальное значение С достигается при:
q
2  C пр  D год  P год


C х р  P год  D год
,
(2.10)
17
Если Спр=1000 д.е., Р=2000 деталей в месяц, Q=500 деталей в месяц,
К=2,5 д.е., то:
q
2  1000  6000  24000
 5656,85
0, 2  2,5   24000  6000 
Оптимальный размер партии составляет 5657 деталей. Количество партий
деталей, которое необходимо произвести, определяем по формуле (2.2):
n
6000
 1,06
5657
Следовательно, частота производства партии деталей равна:
i
i
1
, лет
n
(2.11)
1
 0 ,94 лет или 11,24 месяца
1,06
Общую переменную стоимость определяем согласно формуле (2.9):
С  1000 
 24000  6000   5657  2121,32 д.е.
6000
 0,5 
5657
2  24000
Если стоимость организации производства снизится в 2 раза, то можно
ожидать изменения экономичного размера партии и, следовательно, общей
переменной стоимости производства.
18
q" 
C "  500 
2  500  6000  24000
 4000
0, 2  2,5   24000  6000 
 24000  6000   4000  1500 д.е.
6000
 0,5 
4000
2  24000
Если можно снизить стоимость производства наполовину, то экономия
общей переменной стоимости составляет 621,32 д.е. В этом случае
производство деталей будет осуществляться партиями по 4000 штук каждые 8
месяцев.
3. ПЛАНИРОВАНИЕ ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЯ
ЗАДАНИЕ 5. Для решения задач данного типа широко применяется метод
статистического моделирования или статистических испытаний, известный под
названием метода Монте-Карло.
Идея метода состоит в том, что вместо аналитического описания замены
оборудования производится «розыгрыш» случайного процесса, в результате
которого получается каждый раз новая, отличная от других реализация
случайного процесса.
Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно
полученный статистический материал, который обрабатывается обычными
методами математической статистики.
Рассмотрим механизм решения задачи, используя следующие данные о
распределении элементом по времени их службы:
19
Таблица 3.1 Исходные данные для расчетов
Элементы
Часы
Количество
Кумулятивное
Кумулятивный
количество
процент
0—299
2
2
0,4
300—349
6
8
1,6
350—399
10
18
3,6
400—449
32
50
10,0
450—499
58
108
21,6
500—549
72
180
36,0
550—599
96
276
55,2
600—649
103
397
79,4
650—699
121
500
100,0
Всего
500
—
—
Во второй графе таблицы данные сгруппированы на основании учета
продолжительности службы выбывших из строя элементов.
В третьей графе определено накопительное количество выбывших из строя
элементов путем суммирования.
Эти данные использованы затем для определения показателей четвертой
графы — кумулятивного (накопительного) процента испорченных элементов.
Модель возможного выхода из строя элементов строится в виде
следующей таблицы:
20
Таблица 3.2 Расчетные данные примера
Элемент 1
Случай
Элемент 2
Время Кумулятив
Случай
Элемент 3
Время Кумуляти
Случай
Время Кумуляти
ное
выбыт
ное время
ное
выбыт
вное
ное
выбыт
вное
число
ия
выбытия
число
ия
время
число
ия
время
выбытия
выбытия
78
630
630
15
450
450
12
435
435
25
490
1120
18
465
915
29
510
945
56
580
1700
78
630
1545
98
670
1615
92
660
2360
56
580
2125
29
510
2125
90
655
3015
44
550
2675
71
610
2735
Случайные числа, выбираются из таблицы случайных чисел (П9) и
означают кумулятивный процент. Используя график (рис.3.1), построенный на
основе данных таблицы (3.1), устанавливаем значение срока службы (время
выбытия) для каждого случайного числа. После этого подсчитывается
кумулятивный срок службы.
Кривая распределения частоты выхода элементов из строя
100
90
Кумулятивный процент
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0-299
300-349
350-399
400-449
450-499
500-549
550-599
600-649
650-699
Продолжительность службы, ч.
Рисунок 3.1 Кривая распределения выбытия элементов
21
Строим графики (рис. 3.2) замены элементов по каждому варианту.
0 300 600 900
1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
0 300 600 900
1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
1–ый вариант
(замена только
выбывшего из
строя элемента)
2–ой вариант
(замена
всех
элементов,
если один
выходит из строя)
Рис. 3.2 Графики замены элементов по 2-м вариантам
Графики составлены в пределах 3000 часов работы аппарата. Точки на
линии означают время замены элементов.
1–ый вариант:
Первое
выбытие
элемента
1
происходит
после
630
ч
работы,
соответственно первая точка ставятся на прямой в пределах значения 600—900
ч. Следующее выбытие происходит через 490 ч, кумулятивное время составляет
1120 ч. Соответственно вторая точка расположена в пределах 900—1200 ч и т.п.
22
Имея данные о выбытии элементов, мы можем подсчитать затраты средств
на замену элементов.
1. Стоимость новых элементов:14 элементов х 5000,0 =70000,0 д.е.
2. Заработная плата механику за замену элементов:
14 замен х 6 мин = 84 мин (1,4 ч.) 1,4 х 4000,0 = 5600,0 д.е.
3. Потери от простоя аппарата: 1,4 х 6000,0 = 8400,0 д.е.
Итого: 84000,0 д.е.
2–ой вариант:
Если ориентироваться на минимальный срок службы элемента 3 (435 ч), то
нужно сменить все элементы через 435 ч. После первой замены быстрей всех
выйдет из строя элемент 2 (465 ч.). Минимальная продолжительность работы
элементов составит 900 ч (435+465). После второй замены быстрей всех выйдет
из строя элемент 1 (580 ч.). Кумулятивное время равно 1480 ч. и т.д.
Подсчитаем затраты средств на замену элементов.
1. Стоимость новых элементов:15 элементов х 5000,0 =75000,0 д.е.
2. Заработная плата механику за замену элементов:
5 замен х 9 мин = 45 мин (0,75 ч.) 0,75 х 4000,0 = 3000,0 д.е.
3. Потери от простоя аппарата: 0,75 х 6000,0 = 4500,0 д.е.
Итого: 82500,0 д.е.
Результаты моделирования вариантов по затратам таковы: по 1–му
варианту — 84000,0 д.е.; по 2–му варианту — 82500,0 д.е.
1–ый вариант замены выбывающих элементов приводит к наибольшим
затратам. 2–ой вариант позволяет снизить эксплуатационные расходы на 1500,0
д.е.
23
ЗАДАНИЕ 6. Решение задач данного класса удобно проводить методом
динамического программирования, который предполагает разбиение процесса
принятия решения на отдельные этапы (шаги).
В качестве системы рассматривается станок. Единственный параметр —
возраст станка — может меняться. В качестве возможных управлений
рассматриваются два — решение о сохранении имеющегося станка и решение о
замене имеющегося станка на новый. Решения принимаются в моменты
времени n =1,2,…,N-1,N (N — продолжительность планового периода в годах,
n — количество лет до конца планового периода).
Начало
Текущее время
Конец
планового
планового 0
периода
n
1
2
N–1
N
1
0
n–1 n–2
периода
направление роста n
Анализ задачи динамического программирования проведем с помощью
функций Беллмана — F1(t), F2(t),…,FN(t), учитывающих вклад последующих
шагов в общий эффект. Для этого надо рассматривать процесс планирования с
последнего года планового периода.
Рассмотрим процесс решения задачи при следующих исходных данных:
Таблица 3.4 Исходные данные для расчетов
T
0
1
2
3
4
5
6
7
8
R(t)
40
38
38
36
35
33
33
31
30
U(t)
20
22
24
24
25
25
27
29
30
R(t)-u(t)
20
16
14
12
10
8
6
2
0
24
Предположим, что к началу последнего года (n=1) планового периода
имеется станок возраста t. Имеются две возможности:
а) сохранить станок и, следовательно, получить за последний год прибыль
r(t)-u(t);
б) продать имеющийся станок и купить новый, что обеспечит в последний
год прибыль S(t)-P+r(0)-u(0).
Прибыль за последний год планового периода равна максимальному из
выражений и записывается следующим образом:
rt   ut   сох р анение станка

F 1 t   max 
st   p  r0   u0   замена станка

(3.1)
Задача будет решена, если будет установлена связь между выражениями
для Fn+1 и Fn .Последовательно, двигаясь с конца, где n=1, и зная F1(t), можем
найти F2,F3,…,FN.
Оптимальная политика за последние n+1 лет при условии, что в начале
этого периода из n+1 лет имеется станок возраста t, есть политика,
обеспечивающая за последние n+1 лет максимальную прибыль, равную
наибольшему из выражений:
rt   ut   F n t  1  сох р анение станка

F n  1 t   max 
st   p  r0   u0   F n 1  замена станка

(3.2)
Станок возраста 8 лет невыгоден. Поэтому, если к началу n+1 года до
конца планового периода имеется станок 8 лет, то оптимальной политикой
всегда является замена. Используя выражения (3.1) и (3.2), рассчитаем значения
F при различных значениях n и t:
25
n=1:
40  20  20
 20  сох р анение
F 1 0   max 
18

30

40

20

8



38  22  16
 16  сох р анение
F 1 1  max 
16

30

40

20

6



38  24  14
 14  сох р анение
F 1  2  max 
14  30  40  20   4
Нетрудно заметить, что значение (-p+r(0)-u(0)) в выражении (3.1) не
изменяется с изменением t. Поэтому значение прибыли при сохранении станка
будет всегда больше, чем при замене и первая строка в таблице 3.5 совпадает с
последней строкой таблицы 3.4.
n=2:

40  20  16  36
r0   u0   F 1 1
 max
 36  сох р анение
F 2 0   max
18

30

40

20

16

24
s
0

p

r
0

u
0

1









F

1

r1  u1  F 1  2
38  22  14  30
 max
 30  сох р анение
F 2 1  max
s1  p  r0   u0   F 1 1
16  30  40  20  16  22

38  24  12  26
r 2  u 2  F 1 3
 max
 26  сох р анение
F 2  2  max

14  30  40  20  16  20
s 2  p  r0   u0   F 1 1
26
r 3   u 3   F  4 
F  3   maxs 3   p  r0   u0  
1
2

36  24  10  22
 max 
 22  сох ранение
12

30

40

20

16

18


1

F1
r4   u4   F 1 5 
35  25  8  18
 max
 18  сох р анение
10

30

40

20

16

16
s
4

p

r
0

u
0

1









F

1


F 2 4   max

33  25  6  14
r5   u5   F 1 6 
 max
 14  сох р анение
F 2 5   max
s5   p  r0   u0   F 1 1
8  30  40  20  16  14

r6   u6   F 1 7 
33  27  2  8
 max
 12  замена
F 2 6   max
s6   p  r0   u0   F 1 1
6  30  40  20  16  12
r7   u7   F 1 8 
31  29  0  2
 max
 10  замена
F 2 7   max
s7   p  r0   u0   F 1 1
4  30  40  20  16  10
F 2 8  s8  p  r0  u0  F 11  2  30  40  20  16  8  замена
n=3:

40  20  30  50
r0   u0   F 2 1
 max
 50  сох р анение
F 3 0   max
18

30

40

20

30

38
s
0

p

r
0

u
0

1









F

2

27

38  22  26  42
r1  u1  F 2  2
 max
 42  сох р анение
F 3 1  max
16

30

40

20

30

36
s
1

p

r
0

u
0

1









F

2


36  24  18  30
r3  u3  F 2 4 
 max
 32  замена
F 3 3  max
12

30

40

20

30

32
s
3

p

r
0

u
0

1









F

2

r4   u4   F 2 5 
35  25  14  24
 max
 30  замена
F 3 4   max
s4   p  r0   u0   F 2 1
10  30  40  20  30  30

33  25  12  20
r5   u5   F 2 6 
 max
 28  замена
F 3 5   max

8  30  40  20  30  28
s5   p  r0   u0   F 2 1
r6   u6   F 2 7 
33  27  10  16
 max
 26  замена
6

30

40

20

30

26
s
6

p

r
0

u
0

1









F

2


F 3 6   max

31  29  8  10
r7   u7   F 2 8 
 max
 24  замена
F 3 7   max
s7   p  r0   u0   F 2 1
4  30  40  20  30  24

F 3 8  s8  p  r0  u0  F 2 1  2  30  40  20  30  22  замена
И так далее при n=4…8.
Результаты расчетов F(t) при n=1…8 приведены в табл.3.5.
28
Таблица 3.5 Расчетные показатели
Возраст станка t, лет
Fn(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
F1(t)
20
16
14
12
10
8
6
2
0
F2(t)
36
30
26
22
18
14
12
10
8
F3(t)
50
42
36
32
30
28
26
24
22
F4(t)
62
52
46
44
42
40
38
36
34
F5(t)
72
62
58
54
52
50
48
46
44
F6(t)
82
74
68
64
62
60
58
56
54
F7(t)
94
84
78
76
74
72
70
68
66
F8(t)
104
94
90
86
84
82
80
78
76
Выделенные цифры соответствуют политике замены станка. Таблица
содержит много информации и позволяет решить целый ряд задач.
Пусть имеется станок возраста 5 лет. Какова должна быть оптимальная
политика действий для получения максимальной прибыли за 8 лет, равной
согласно расчетам 82 д.е.? Данная величина прибыли записана в таблицу
выделенным шрифтом, что означает: для достижения её необходимо заменить
станок на новый в первый же год планового периода. Через год будем иметь
станок возраста 1 год. Значение прибыли, соответствующее этому возрасту
записано
в
таблицу
невыделенным
шрифтом,
что
означает:
станок
целесообразно сохранить. То же самое касается и станка возраста 2 и 3 года. На
4–ом году до конца планового периода, когда станку 4 года, его следует
заменить на новый. К началу 3–го года имеется станок возраста 1 год и в
оставшиеся 3 года оптимальная политика — сохранение станка.
29
ЛИТЕРАТУРА
1. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели
исследования операций: Учебник. М.: Издательско-торговая корпорация,
«Дашков и К», 2004.
2. Математические методы: учебник. 2 –е издание, испр. и доп.-
М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007.- 464с.: ил.
3. Исследование
операций
в
экономике./
под
ред.
профессора
Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1997, 408с.
4. М. Эддоус, Р. Стэнсфилд. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ,
1997, 592с.
5. Методические указания к решению задач по курсу "Математическое
моделирование экономических процессов на транспорте". – Новосибирск,
НИИЖТ, 1978.
6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000. -688 с.
7. Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь.
М.:
Издательство «АВF», 1996. -704 с.
30
1
2
3
4
5
6
7
8
Приложение П1
Вариант
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Объём
реализации
в месяц N,
штук
48
56 64 72 80 88 96 104 112 120 38 46 54 62 70 78 86 94 102 110 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100
Закупочная
цена Цз, д.е.
10
15 20 25 30 35 40 45 50 55 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
25
38 50 63 75 88 100 113 125 138 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 35 53 70 88 105 123 140 158 175 193
15
14 13 12 11 10 15 14 13 12 11 10 15 14 13 12 11 10 15 14 13 12 11 10 15 14 13 12 11 10
Стоимость
подачи
заказа
Спод., д.е
Время
доставки
заказа, t,
дней
Величина
скидки S, %
Число
деталей
0
1
3
4
5
6 и более
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
2
6
3
7
4
5
6
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
8
Приложение П2
Статистическая вероятность
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0,90 0,88 0,88 0,86 0,86 0,83 0,83 0,81 0,81 0,79 0,78 0,76 0,76 0,74 0,74 0,71 0,71 0,69 0,69 0,67 0,66 0,64 0,64 0,62 0,62 0,59 0,59 0,57 0,57 0,55
0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34
0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08
0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 0,02
0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Приложение П3
затраты
а
в
1
2
3 4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
300
500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 2700 2900 3100 250 550 850 1150 1450 1750 2050 2350 2650 2950 3250 3550 3850 4150 4450
10
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
31
1
2
3
4
Объём партии
телевизоров
N, единиц
100 110 120 130
Спрос на
телевизоры
популярной
марки Ds в год 600 660 720 780
Стоимость
организации
производстве
нного
процесса
4000 3840 3680 3520
Спр., д.е
Стоимость
хранения
одного
телевизора
100 96 92 88
Схр, д.е
1
2
3
4
5
6
7
8
Приложение П4
Вариант
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
140 150 160 170 180 190 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
840
900
960 1020 1080 1140
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
400
440
480
520
560
600
640
680
720
760
3360 3200 3040 2880 2720 2560 2400 2240 2080 1920 1760 3000 2880 2760 2640 2520 2400 2280 2160 2040 1920 1800 1680 1560 1440 1320
84 80 76 72 68 64 60 56 52 48 44 100 96 92 88 84 80 76 72 68 64 60 56 52 48 44
5
6
7
8
Приложение П5
Вариант
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Объём
производства
деталей на
первом станке
Р, единиц в
месяц
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400
Использовани
е деталей на
втором станке
D в месяц
300 320 340 360 380 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440
Стоимость
организации
производстве
нного
процесса
500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Спр., д.е
Стоимость
производства
одной детали
К, д.
2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5
32
ПРИЛОЖЕНИЕ П6
часы
0-299
300-349
350-399
400-449
450-499
500-549
550-599
600-649
650-699
1
2
14
25
36
48
65
75
112
123
2
0
10
31
44
52
60
84
95
124
3
4
9
13
25
40
57
62
124
166
4
1
11
24
31
57
68
85
104
119
5
3
8
18
30
46
62
75
96
162
6
5
13
21
42
49
55
68
80
167
7
6
18
26
35
47
61
80
84
143
8
0
7
35
43
60
72
85
91
107
9
2
17
23
39
55
67
82
101
114
10
1
15
34
41
57
64
90
94
104
11
4
19
22
30
56
78
84
97
110
12
3
16
32
39
55
63
80
93
119
13
6
9
24
43
52
74
81
96
115
ВАРИАНТ
14 15 16 17
5 0 2 4
12 14 8 11
29 32 23 36
36 39 44 49
58 48 51 53
67 64 68 61
75 86 74 83
93 90 85 92
125 127 145 111
18
5
15
22
36
44
71
96
107
104
19
1
18
34
45
53
62
75
86
126
20
3
12
25
38
45
73
91
98
115
21
0
9
38
42
58
66
82
95
110
22
6
10
23
39
55
63
71
101
132
24
2
14
34
46
52
65
83
97
107
23
5
17
24
31
49
58
80
92
144
25
4
16
27
43
61
73
81
92
103
27
3
15
26
38
42
71
83
94
128
28
0
11
35
42
58
66
79
85
124
29
5
8
26
37
48
75
84
95
122
30
6
13
31
39
47
55
79
103
127
26
65
64
62
62
60
59
57
56
55
27
70
67
67
654
63
63
62
61
60
28
75
72
71
71
69
67
67
66
65
29
80
77
76
75
75
74
73
71
70
30
85
82
82
80
79
79
77
76
75
26
45
48
48
50
51
52
53
53
55
27
50
53
54
54
56
57
57
58
60
28
55
56
58
58
61
62
63
63
65
29
60
63
64
63
63
65
67
68
70
30
65
67
68
70
71
71
73
74
75
26
1
12
38
45
59
67
88
90
100
Приложение п7
Возраст
машины t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
40
39
38
38
36
35
33
31
30
2
45
43
43
41
40
38
37
36
35
3
50
47
46
46
44
43
42
42
40
4
55
54
52
50
49
49
48
47
45
5
60
58
57
56
56
54
52
51
50
Вариант
6 7 8
65 70 75
62 69 74
61 67 73
60 67 72
58 65 72
58 63 69
56 63 68
56 61 66
55 60 65
9
80
78
75
74
74
72
71
71
70
10
85
82
81
81
79
77
77
76
75
11
40
38
37
37
36
34
32
32
30
12
45
44
42
42
39
37
37
36
35
15
60
59
57
57
55
54
53
51
50
16
65
63
63
60
59
57
57
56
55
13
50
48
48
45
44
43
41
41
40
14
55
53
51
51
48
47
46
46
45
13
30
32
35
36
38
38
39
39
40
ВАРИАНТ
14 15 16
35 40 45
38 43 46
39 45 48
39 47 49
41 47 51
42 48 51
42 49 53
44 49 54
45 50 55
17
70
68
67
67
65
63
62
62
60
18
75
73
72
71
71
68
66
66
65
19
80
79
77
76
76
73
72
71
70
20
85
83
81
81
79
77
76
76
75
21
40
37
37
35
34
34
32
31
30
22
45
42
39
39
38
37
36
36
35
23
50
49
47
46
44
44
43
41
40
24
55
52
51
51
49
47
47
46
45
25
60
57
56
55
55
53
52
52
50
Приложение П8
Возраст
машины t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
20
21
23
23
25
27
28
29
30
2
25
27
27
29
31
32
33
33
35
3
30
33
34
36
36
37
37
39
40
4
35
36
36
38
40
40
42
44
45
5
40
41
43
43
45
46
48
49
50
6
45
47
49
50
50
52
53
54
55
7
50
51
53
53
56
57
57
58
60
8
55
57
56
58
58
61
63
64
65
9
60
61
61
64
66
67
67
69
70
10
65
68
69
71
71
73
73
74
75
11
20
22
22
25
26
28
28
29
30
12
25
26
28
28
30
31
31
33
35
17
50
52
53
53
55
58
59
59
60
18
55
58
59
61
61
63
64
64
65
19
60
62
65
66
67
67
68
68
70
20
65
66
66
69
71
73
73
77
75
21
20
23
24
24
26
27
27
29
30
22
25
28
29
31
31
32
34
34
35
23
30
31
33
36
36
37
38
38
40
24
35
37
37
39
41
42
42
44
45
25
40
42
43
45
45
46
48
48
50
33
34