Решение задач методом рассуждений и средствами алгебры

Решение задач методом
рассуждений и средствами
алгебры логики
Решение логических задач
методом рассуждений
Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали
следующие предположения по поводу своих кумиров:
• А) Макс победит, Билл – второй;
• В) Билл – третий, Ник – первый;
•
С) Макс – последний, а первый – Джон.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из
болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.
Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?
(В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в
указанном порядке имен.)
Решение произведем методом
рассуждений.
А) Макс победит – истина, тогда Билл второй – ложь.
С) Макс последний – ложь, значит Джон первый – истина –
противоречие высказыванию - «А) Макс победит – истина».
• Другой вариант. А) Макс победит – ложь, тогда Билл второй –
истина. В) Билл – третий – ложь, Ник – первый – истина. С)
Макс – последний – истина, а Джон – первый – ложь.
Противоречия нет.
• Вывод: Ник – первый, Билл – второй, Джон – третий, Макс –
последний.
Ответ: 2314.
Метод рассуждений
При составлении расписания на понедельник в
IX классе преподаватели высказали просьбу
завучу.
1. Учитель математики: «Желаю иметь первый
или второй урок».
2. Учитель истории: «Желаю иметь первый или
третий урок».
3. Учитель литературы: «Желаю иметь второй
или третий урок».
Какое расписание будет составлено, если по
каждому предмету может быть только один
урок?
Решение логической задачи методом рассуждений
• Пусть в просьбе математика первое высказывание истинно,
а второе – ложно.
«Желаю иметь первый или второй урок».
1
0
Т.е. первым будет урок математики.
• Тогда в просьбе учителя истории первое высказывание ложно,
а второе истинно, т.е. третьим будет урок истории.
«Желаю иметь первый или третий урок».
0
1
• Значит, в пожелании учителя литературы окажется
истинной первая часть, т.е. урок литературы будет
вторым.
«Желаю иметь второй или третий урок».
1
Итак:
0
I урок – математика,
II урок – литература,
III урок – история.
 Предположим, что в высказывании учителя математики
первое высказывание ложно, а второе истинно.
«Желаю иметь второй или второй урок».
0
1
Т.е. вторым будет урок математики.
 Тогда в просьбе учителя литературы первое высказывание
ложно, а второе истинно, т.е. третьим будет урок
литературы.
«Желаю иметь второй или третий урок».
0
1
 А в пожелании учителя истории окажется истинной первая
часть, т.е. урок истории будет первым.
«Желаю иметь первый или третий урок».
1
 Итак:
0
I урок - история
II урок - математика
III урок – литература.
Задача 2. Решение средствами алгебры логики
Три грибника, рассматривая найденный гриб,
высказали свои предположения.
Первый грибник сказал: «Не верно, что если это не
опёнок, то этот гриб съедобный».
Второй грибник сказал: «Не верно, что этот гриб
или ядовитый, или опёнок, или не сыроежка».
А третий добавил: «Это гриб не ядовитый, и я
отрицаю, что если это сыроежка, то она
съедобна».
В итоге оказалось, что все три грибника были
правы, и их суждения истинны. Какой гриб
нашли грибники?
Обозначим: А – «Гриб опёнок», В – «Гриб сыроежка», С – «Гриб
съедобный», D – «Гриб ядовитый».
Тогда высказывание I грибника («Не верно, что если это не
опёнок, то этот гриб съедобный») запишем как:
Высказывание II грибника («Не верно, что этот гриб или
ядовитый, или опёнок, или не сыроежка») запишем в виде:
Высказывание третьего грибника: («Это гриб не ядовитый, и я
отрицаю, что если это сыроежка, то она съедобна») запишем в
виде:
Т.к. высказывания всех грибников истинны, то итоговая функция
равна их конъюнкции:
F=
=
Функция F принимает единичное значение только при одном
наборе значений аргументов, в котором А=0, В=1, С=0, D=0, т.е.
найденный гриб – сыроежка.
Задача 3. Решение средствами алгебры логики
Трое болельщиков автогонок «Формула 1» спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
Джон сказал: «Монтойя не придет первым, будет первый Кулхард».
Ник сказал: «нет, победителем будет Монтойя, а вот Шумахер не будет первым».
Питер сказал: «Кулхарду не видать первого места, а вот Шумахер пилотирует самую мощную
машину»
В результате гонок оказалось, что оба предложения двоих болельщиков подтвердились, а оба
предложения третьего оказались неверны. Кто выиграл гонку?
Решение.
Введем обозначения:
 M ={победит Монтойя},
 C={победит Кулхард},
 S={ победит Шумахер}.
Запишем высказывания каждого:
 Джон: М  S
 Ник: М  С
 Питер: C
Учитывая, что высказывания двоих верны, а третьего нет, получим формулу:
Преобразуем последовательно выражения 1,2,3.
Это высказывание может быть истинным, если все три операнда истины.
Следовательно, победил Монтойя.