Document 5044652

Ребята, мы с вами изучили показательные функций, узнали их
свойства и построили график, разобрали пару примеров уравнений, в
которых встречались показательные функции. Сегодня мы займемся
более подробным изучением уравнений и неравенств.
Определение. Уравнения вида:
называются показательными уравнениями.
Вспомнив теоремы, которые нам встретились на прошлом уроке,
можно ввести новую теорему:
Теорема. Показательное уравнение
равносильно уравнению f(x)=g(x).
Определение.
Пусть
а>1
и
α=а,а1а2а3а4…аn…
положительное
иррациональное число (бесконечная десятичная не периодичная дробь).
Тогда последовательность десятичных приближений числа α вот такая:
α1= а,а1;
α2= а,а1a2;
α3= а,а1a2a3…
αn= а,а1a2a3…an
Тогда предел последовательности
обозначают как - степень с иррациональным показателем.
Если а>1и α<0 – иррациональное число, то
Если 0<a<1, то
.
Пример. Решить уравнение:
а)
б)
в)
Решение.
а) Мы хорошо знаем
Перепишем наше уравнение:
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение
сводится к уравнению 3х-3=3, решив это уравнение, получим х=2
Ответ: х=2.
б)
Тогда наше уравнение можно переписать:
2х+0,2=0,2
х=0
Ответ: х=0
в) Исходное уравнение равносильно уравнению:
Ответ:
Пример. Решить уравнение:
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части
нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части
1.
2.
3.
Перейдем к правой части
4.
5.
6.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
Ответ: х=0
Пример. Решить уравнение
Решение:
Перепишем наше уравнение:
Давайте сделаем замену переменных пусть
В новых переменных уравнение примет вид:
Выполним обратную замену переменных:
Первое уравнение не имеет решений, так как на прошлом уроке
мы узнали, что показательные выражения могут принимать только
положительные значения, вспомните график. Во втором уравнении у нас
одно решение х=1.
Ответ: х=1.
Давайте
составим
памятку
способов
решения
показательных уравнений:
1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде
функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков.
(Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей. Принцип основан на том, что два
выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда
когда равны степени (показатели) этих оснований.
3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять когда
уравнение при замене переменных упрощает свой вид, и его становится
гораздо легче решить.
Пример. Решить систему уравнений:
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
Рассмотрим второе уравнение:
Воспользуемся методом замены переменных, пусть
Тогда уравнение примет вид:
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения
получаем x+y=2. Второе уравнение не имеет решений.
Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе:
Вычтем из первого уравнения второе
Ответ: (3;-1).
Перейдем к неравенствам, при решение неравенств стоит
обратить особое внимание на основание степени, тут возможны
два варианта развития событий при решении неравенства.
Теорема.
Если а>1, то показательное неравенство
равносильно неравенству f(x)>g(x).
Если 0<a<1, то показательное неравенство
равносильно неравенству
меняется на противоположный).
f(x)<g(x).
(Знак
неравенства
Пример. Решить неравенство:
а)
б)
в)
Решение.
а)
Наше неравенство равносильно неравенству:
Ответ: x>0.5
б)
Основание при степени, в нашем уравнении, меньше единицы,
тогда при замене неравенства на эквивалентное надо не забыть
поменять знак.
Ответ: x>3
В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: (-∞;-5]U[3;+∞)
Пример. Решить неравенство:
Решение.
Введем новую переменную
Решение неравенства будет промежуток 1/3<y<9
Введя обратную замену:
Ответ: -1<x<2.
Задачи для самостоятельного решения.
1.Решить уравнение
а)
б)
в)
2. Решить уравнение:
3. Решить уравнение
4. Решить систему уравнений:
5. Решить неравенство:
а)
б)
6. Решить неравенство:
в)