семинар Решение тригонометрических уравнений с параметром.

• Лицей научно-инженерного профиля
• г. Королёв
• Алгебра. Начала математического анализа
• 10 класс. М.И.Шабунин А.А.Прокофьев и др.
• Учитель математики:
• Логачёва Елена Александровна
Цель:
Рассмотреть решение тригонометрических уравнений с
параметром.
Задачи:
Рассмотреть основные типы тригонометрических уравнений с
параметром;
Усвоить общие подходы при решении определенных типов
тригонометрических уравнений с параметрами;
Формировать у учащихся умения и навыки по решению уравнений с
параметрами для подготовки к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе;
Развивать исследовательскую и познавательную деятельность
учащихся.
формирования знаний - организация работы по усвоению ими
понятий, научных фактов, предусмотренных учебной программой.
Форма урока:
урок-лекция;
Методы:
Объяснительно- иллюстративный;
Проблемный;
Исследовательский;
Технологии:
 технология дифференциального обучения ;
 проблемное обучение ;
технология применения средств ИКТ;
Структура урока :
организационный, постановки цели, актуализации знаний, введения знаний,
обобщения первичного закрепления и систематизации знаний, подведения
итогов обучения, определения домашнего задания и инструктажа по его
выполнению.
Определение.
Решить уравнение, содержащее параметры, это значит,
для каждой допустимой системы значений параметров
найти множество всех решений данного уравнения.
Иными словами, уравнение с параметром является фактически
семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении
параметра.
Основные типы задач с параметрами
Тип 1.
Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра
или для значений параметра из заданного промежутка.
Пример
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Основные типы задач с параметрами
Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в
зависимости от значения параметра.
Пример
Основные типы задач с параметрами
Пример
sin 
1
1

1
2
4
3
0
1
2
1

1

3
cos 
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Основные типы задач с параметрами
Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при
которых задача имеет заданное количество решений.
Пример
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Основные типы задач с параметрами
Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения
параметра, при которых множество решений удовлетворяет
заданным условиям.
Пример
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Основные типы задач с параметрами
Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений
параметра или для значений параметра из заданного
промежутка.
Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в
зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при
которых задача имеет заданное количество решений.
Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения
параметра, при которых множество решений удовлетворяет
заданным условиям.
Виды уравнений
1
2
2


1

a

tg
x

 1  3a  0
F (cos x , tg x , ctg x , a   0
cos x
2
2
2


1

a

сtg
x

 1  3a  0
F (sin x , tg x , ctg x , a   0
sin x
3
F(sin x,сos x,tg x, ctg x,a  0
4
F( a sin x  b сos x , a   0
2
2
2
2
sin x  tgx  cos x 
a
cos x
a cos x  sin x  3
Виды уравнений
F (cos x , tg 2 x , ctg 2 x , a   0
1
cos x  t
1 t
tg x  2
t
2
t
2
ctg x 
2
1 t
2
Вводим дополнительную переменную
t  cos x
tg 2  1 


2
1
,
2
cos 
 
1
ctg   1  2 ,
sin 
  
2
и получаем следующие подстановки
2
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Виды уравнений
2
F (sin x , tg 2 x , ctg 2 x , a   0
Вводим дополнительную переменную
t  sin x
2
sin
x
2
tg x 
1 sin 2 x
2
1
sin
x
2
ctg x 
sin 2 x
и получаем следующие подстановки
sin x  t
2
t
tg x 
2
1 t
2
1 t
2
ctg x  2
t
2
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Виды уравнений
3
F(sin x,сos x,tg x, ctg x,a  0
Вводим дополнительную переменную
x
t  tg
2
sin x 
2tg
x
2
x
1  tg
2
2
x
2
cos x 
x
1  tg 2
2
1  tg 2
tg x 
2tg
x
2
1  tg 2
x
2
ctg x 
x
2tg 2
2
1  tg
x
2
Следует учесть , что замена sin x и cos x (универсальная
тригонометрическая подстановка) ведет к сужению области
определения уравнения, поскольку из рассмотрения исключаются
x
значения х, при которых cos  0 , т. е. x    2n.
2
2t
sin x 
2
1 t
1 t2
cos x 
2
1 t
2t
tg x 
2
1 t
2
1 t
ctg x 
2t
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Виды уравнений
4
F( a sin x  b сos x,a   0
Вводим дополнительную переменную 
sin  
b
a 2  b2
cos  
a
a 2  b2
и получаем следующие подстановки
a sin x  b сos x  a 2  b 2 sin x   
• Решение тригонометрических уравнений
Метод введения вспомогательного угла
Линейное уравнение
a sin x  b cos x  c
b cos x  c ,
a0
a sin x  c ,
b0
a sin x  b cos x  0,
c  0, однородное уравнение
a sin x  b cos x  c ,
a bc  0
• Решение тригонометрических уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения
 x  arcsin   2n ,
 x    arcsin   2n , n  Z

sin(  )   sin  ,
arcsin(  )   arcsin 
 x  arccos   2n ,
 x   arccos   2n , n  Z .

cos(  )  cos  ,
arccos(  )  arccos 
• Решение тригонометрических уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения
tg(  )  tg ,
arctg(  )  arctg
сtg(  )  сtg ,
arcсrc(  )  arcсrc
• Решение тригонометрических уравнений
Метод введения вспомогательного угла
a sin x  b cos x  c
1. Разделим обе части уравнения на
a
a b
2
2
a
a b
2
2
b
a b
2
2
sin x 
 cos 
 sin 
b
a b
2
2
cos x 
c
a b
2
2
,
a 2  b2

a
т.к . 
2
2
 a b
2
 
b
 
  2
2
  a b
sin  x     sin x  cos   cos x  sin  
sin  x    
c
a 2  b2
уравнение имеет решение при
c
a b
2
2
1
2

 1


c
a 2  b2
• Решение тригонометрических уравнений
Метод введения вспомогательного угла
a sin x  b cos x  c
1. Разделим обе части уравнения на
a
a b
2
2
a
a b
2
2
b
a b
2
2
sin x 
 cos 
 sin 
b
a b
2
2
cos x 
c
a b
2
2
,
a 2  b2

a
т.к . 
2
2
 a b
2
 
b
 
  2
2
  a b
sin x     sin x  cos   cos x  sin  
sin  x    
c
a 2  b2
уравнение имеет решение при
c
a b
2
2
1
2

 1


c
a 2  b2
• Решение тригонометрических уравнений
Метод введения вспомогательного угла
a sin x  b cos x  c
1. Разделим обе части уравнения на
a
a b
2
2
a
a b
2
2
b
a b
2
2
sin x 
 sin 1
 cos 1
b
a b
2
2
cos x 
c
a b
2
2
,
a 2  b2

a
т.к . 
2
2
 a b
2
 
b
 
  2
2
  a b
cos x  1   sin x  sin 1  cos x  cos 1 
сos x  1  
c
a2  b2
уравнение имеет решение при
c
a b
2
2
1
2

 1


c
a2  b2
• Решение тригонометрических уравнений
Метод введения вспомогательного угла
a sin x  b cos x  c
1. Разделим обе части уравнения на
a
a b
2
2
a
a b
2
2
b
a b
2
2
sin x 
 sin 1
 cos 1
b
a b
2
2
cos x 
c
a b
2
2
,
a 2  b2

a
т.к . 
2
2
 a b
2
 
b
 
  2
2
  a b
cos x  1   sin x  sin 1  cos x  cos 1 
сos x  1  
c
a2  b2
уравнение имеет решение при
c
a b
2
2
1
2

 1


c
a2  b2
• Решение тригонометрических уравнений
Метод введения вспомогательного угла
sin x    
a sin x  b cos x  c
a sin x  b cos x  c
сos x  1  
sin x    
сos x  1  
уравнение имеет решение при
c
a b
2
2
1
c
a 2  b2
c
a2  b2
c
a 2  b2
c
a2  b2

где    1
2
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
4
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
4
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
4
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Задания для домашней работы
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Задания для домашней работы
ЕГЭ 2011 год
а) решите уравнение
2 sin 3 x  2 sin x  cos 2 x  0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
 5


;


отрезку 

 2
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания
• Решение тригонометрических уравнений с параметром
Проверка домашнего задания