Основы статистической теории ЭМС РЭС

5 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭМС РЭС
5.1
Статистические модели электромагнитной обстановки
5.1.1
Оценка влияния непреднамеренных радиопомех на работу РЭС –
статистическая задача
Ранее рассмотренные детерминированные модели радиоканалов нашли
своё применение лишь в некоторых простейших ситуациях. В реальной
электромагнитной обстановке РЭС подвергаются воздействию НРП, идущих от
многих источников, или, с другой стороны РЭС как источник НРП может
создавать помехи множеству других средств. Поэтому требуется более
адекватное представление условий работы РЭС при их массовом применении.
Для описания НРП от многих РЭС наилучшим образом должны подойти
методы и средства математической статистики; соответственно модели ЭМО
должны быть статистическими.
Отвлекаясь от темы, отметим, что математическая статистика в
радиотехнике применяется уже давно для решения разнообразных задач,
которые не могут решаться детерминистскими методами. Так, анализ влияния
флюктуаций напряжений (или токов) на работу приёмно-усилительных
устройств нашёл широкое применение в теории помехоустойчивости; одной из
вершин достижений в этом направлении является статистическая теория
радиоприема, в которой почетное место занимает теория потенциальной
помехоустойчивости.
Математическая статистика широко применяется при анализе ошибок
измерений,
при
обработке
результатов
эксперимента,
при
разработке
технологических процессов и т.п. Внедряется методика статистических расчетов
электрических и радиотехнических цепей с учетом случайных параметров
деталей.
При изучении межсистемной ЭМС имеют дело не с электрическими
цепями или устройствами, а с применением РТС, когда ЭМО формируется
некоторой совокупностью источников или рецепторов, случайным образом
расположенных
на
больших
пространствах,
обладающих
случайными
параметрами в силу различных функциональных назначений и принципов
136
действия РТС, к которым эти источники или рецепторы относятся.
Статистические методы в теории и технике ЭМС, на наш взгляд, должны
найти свое применение в описаниях ЭМО. Сама же РТС в модели может
рассматриваться как детерминированный объект, известный с достаточной для
решения задач ЭМС подробностью. Однако ограничиться только такими
моделями не удастся. Например, при решении задач улучшения ЭМС за счет
адаптации описания РТС и ЭМО оказываются взаимно зависимыми: модели РТС
становятся случайными, поскольку отдельные параметры РТС изменяются
случайно. В нашем курсе в дальнейшем предстоит близко познакомиться с
задачами внешней статистики, в которой ЭМО моделируется как элемент со
случайными параметрами. Задачи внешней статистики часто используются в
радиолокации и радионавигации при оценке точности измерений координат, в
радиосвязи при изучении условий распространения радиоволн и в других
подобных случаях. Однако характер этих задач существенно иной, чем в
статистической теории ЭМС. По методологии применения статистики задачи,
решаемые в науке, известной под названием «Исследование операций», ближе
на наш взгляд к задачам ЭМС, чем вышеназванные задачи связи, радиолокации и
радионавигации, хотя и прилагаются к существенно иным объектам. Поэтому
речь может идти об изучении в радиотехнике существенно новой статистической
теории. К настоящему времени вариант такой теории разработан в БГУИР и
опубликован в монографии [6] и ряде научных статей и учебных пособий [12].
Идет процесс широкого внедрения статистической теории в учебный процесс и
практику.
В помощь изучающим статистическую теорию ЭМС РЭС можно
рекомендовать
многочисленные
учебники
по
теории
вероятностей
и
математической статистике. По некоторым соображениям, о которых будет
сообщено позже, в список литературы включена книга [13].
Воздействие НРП на работу РПрУ РТС можно оценивать как при приеме
полезного сигнала, так и без него (в паузе), как путем нахождения числа
проникающих через фильтры РПрУ помех, так и расчетом мощности НРП на
выходе РПрУ. Важнейшим этапом в такой оценке является расчет влияния НРП
на ТТХ РТС.
137
5.1.2
Первичная модель приемной ветви статистической теории ЭМС
В любой теории первоосновной является модель, под которой будем
понимать совокупность описательных средств, характеризующих предмет
предстоящего исследования. Отправным моментом при построении моделей
примем известное [1] определение ЭМС, рассматриваемой как способность РЭС
одновременно
функционировать
в
реальных
условиях
эксплуатации
с
требуемым качеством при воздействии на них НРП и не создавать недопустимых
радиопомех другим РЭС. Обеспечение ЭМС, таким образом, распределяется на
РПрУ и РПдУ. Для двухстороннего процесса за обеспечение которого
«ответственны» два основных устройства РТС, характеризующихся существенно
разной физической природой, нецелесообразно пытаться строить общую модель.
Напрашивается решение строить две первичные модели, а на базе их построить
приемную и передающую ветви статистической теории ЭМС. В случае успеха
можно поставить и решить некоторые задачи, объединяющие обе ветви.
Упрощая задачу построения двух ветвей статистической теории ЭМС,
будем ориентироваться на так называемые элементарные РТС, представление о
которых у читателя уже имеется из материалов 1 и 4 глав нашего пособия.
К настоящему времени лучше разработана приемная ветвь статистической
теории ЭМС [6]. Представление о первичной модели приемной ветви можно
получить из рис.5.1. В центре фигуры располагается РПрУ нашей элементарной
РТС. РПдУ находится на переферии, на расстоянии связи D св от центра,
близком по значению к дальности действия D max РТС. Дальности R max и
R min
ограничивают площадь расположения совокупности радиосредств;
источники излучений показаны точками. Предполагаем, что число таких
источников N может быть определено. Важнейшим параметром, от которого
зависит интенсивность излучения, достигающего РПрУ, наряду с числом
источников N является случайная дальность R. Важно знать распределение
вероятностей дальностей w R  . Большую роль в создании НРП играют также
случайные параметры, такие, как углы, определяющие ориентирование антенн,
мощность излучения, КНД, значения частоты, временные соотношения и т.д.
138
Параметры
излучений
можно
подразделить
на
энергетические
и
неэнергетические; все они будут случайными величинами и характеризоваться
своими вероятностными распределениями.
5.1.3
Вероятностные характеристики размещения источников НРП
Можно рассматривать в общем случае расположение источников НРП в
трехмерном пространстве. Такими источниками могли бы стать звезды и
планеты. Однако более привычно изучать расположение РЭС на поверхности, в
частности, на сферической и даже на плоской, которой можно при известных
условиях представлять поверхность Земли. В некоторых случаях уместно
считать источники НРП, расположенными по прямой, кривой линии или даже в
точке. Надо учитывать, что на расстановку РЭС на поверхности Земли влияют
две противоположные тенденции. Тенденция сосредоточения возникла из
желания насытить отдельные малые объекты разнообразными средствами
локации, связи, навигации и т.п. или сгруппировать РЭС из-за удобства
обслуживания, управления и т.д. Другая тенденция направлена на широкий, по
возможности равномерный, охват территории средствами связи, радиовещания,
радиолокационного наблюдения и т.д.
При расположении РЭС на явно неоднородной поверхности Земли
существенные коррективы вносит географический фактор. В результате
действия этих двух тенденций с учетом географического фактора формируется
сложное расположение РЭС, плотность РТС в общем случае является
переменной величиной x, y  , зависящей от координат x и y центра той
площади ΔS, для которой она определена. Совокупность приведенных
соображений достаточна, чтобы считать расположение каждой РТС на
поверхности
Земли
случайным.
Поэтому
модели
территориального
их
расположения должны быть, как и модели параметров, статистическими. Во
многих случаях на значительных пространствах плотность размещения можно
рассматривать как постоянную величину. Если для некоторой площади S имеет
139
место пуассоновское распределение точек расположения источников НРП, то
для части этой площади S S можно рассчитать вероятность того, что на этой
части будет находиться ровно к источников, по формуле Пуассона
 к (S) 
1
exp( S)(S) к
к!
(5.1)
С помощью формулы (5.1) можно рассчитать ряд важных с практической
точки зрения вероятностей.
Пример 5.1 На самолете установлен радиовысотомер больших высот,
имеющий осесимметричную ДН антенны, направленную вниз. Известно, что на
поверхности Земли имеются распределенные равномерно радиосредства. Их
плотность равна 10-4 единиц на 1 км2.
Наибольшая высота полета самолета
Н=20 км.
Рассчитать, какой должна быть допустимая ширина E доп диаграммы
направленности антенны высотомера, чтобы заданная вероятность того, что в
главный лепесток диаграммы направленности не попадает ни один из
источников помех, была не ниже  03  0,9999 .
Решение. При к=0 из формулы
(5.1)
получим
уравнение
0.3 (Sдоп )  0,9999  exp(Sдоп ) . Для малых аргументов S можно
воспользоваться двумя членами разложения экспоненциальной функции:
exp( x)  1  x . В нашем случае Sдоп  10 4 , а Sдоп  1км 2 . Диаметр
этой площади d доп  1,1км , а угол
E доп  d доп / Н  0,055рад  3,15о
К числу одной из важнейших характеристик пространственной модели
ЭМО следует отнести минимальное расстояние R min от места установки РПрУ
до ближайшего источника НРП. Наиболее близкие средства могут создавать
наибольшие уровни помех, иногда превосходящие допустимые. Так как
положение источников помех на территории случайно, то и величина R min
случайная. При
невысокой требуемой точности нахождения R min можно
использовать
два
простейших
способа.
Если
известна
 , то можно
воспользоваться очевидным соотношением
R min  1 / 
(5.2)
Или при другом способе, если задано постоянное значение  (равномерное в
140
статистическом смысле распределение средств на территории), то можно
использовать приведенную ниже методику расчета R min при опрделенных
вероятностных условиях.
Вначале рассчитаем такое минимальное значение площади S min , на
которой появление источников НРП происходило бы с некоторой определенной
(малой с практической точки зрения) заданной вероятностью  з  1 .
Известно, что сумма всех вероятностей, рассчитанных по формуле (5.1),
равна единице, т.е.

 к S  1 .
(5.3)
к 0
Появление источников НРП можно характеризовать суммой (5.3) без учета
 0 – вероятности отсутствия источников помех. Другими словами

 з    к S min 
(5.4)
к 1
Сопоставляя (5.3) и (5.4), нетрудно установить тождество
 з  1   оз ,
(5.5)
где под  оз понимается вероятность того, что на площадке S min будут
отсутствовать источники НРП;  з – некоторая малая величина (сходная с
вероятностью ложных тревог в радиолокации), определяемая из практических
соображений недопустимости слишком близких РТС, сигналы которых могут
как-то повредить РПрУ или временно привести его в нерабочее состояние.
Поэтому  оз будет, как следует из (5.5), числом, близким к единице. С учетом
сказанного можно считать верным соотношение
 оз  1  S min
(5.6)
Сопоставление (5.5) и (5.6) дает основание записать равенство:
 з  S min ,
(5.7)
Откуда можно считать, что при равномерном расположении источников
НРП на территории
Искомое значение
S min   оз / 
R min  S min  оз /  
1   з  / 
(5.8)
141
Нетрудно путем сравнения (5.2)
и (5.8) убедиться в незначительном
расхождении результатов расчета по обеим формулам, полученным при
детерминированном и статическом подходах.
Также важнейшим параметром модели пространственного размещения
источников НРП является максимальная дальность R max , которая определяется
в основном, дальностью действия РТС, соответственно условиями
распространения,
чувствительностью
радиоприемника,
мощностью
радиопередатчиков НРП и т.д.
Приведенная модель размещения РТС является плоской. Однако более
общей следует считать трехмерную модель расположения НРП в пространстве.
В некоторых случаях она может вырождаться до одномерной, при которой все
источники НРП могут располагаться по линии. Рассмотрим соответствующие
примеры.
Пример 5.2. Определить вероятностное распределение дальностей w R 
до самолета, несущего радиоприемник, если источник излучения находится на
Земле. Самолет летит на малой высоте по прямой с постоянной скоростью от
точки с расстоянием R min до точки R max от источника НРП.
Решение. Считаем, что самолет может оказаться в данный момент в любой
точке, случайная дальность R которой лежит в диапазоне DR  R max  R min .
Вероятность одинакова для любой точки, т.е. вероятность дальности R
распределена равномерно, что можно записать в форме
w R   1 /(DR )
w R   0
R min  R  R max ,
R  R min , R  R max .
(5.9)
В дальнейшем часто будут употребляться подобные (5.9) записи для
плотностей вероятностей w x  , существующих в ограниченных диапазонах
значений параметра x. С целью сокращения записей условимся не писать вторую
строчку, если по каким-либо другим причинам не возникает потребность в
обратном.
Пример 5.3. Найти w R  до источников НРП на поверхности Земли, если
РПрУ нашей РТС расположено на Луне.
что
R min  R max .
Распределение как бы стянется к одной точке, дальность от
которой равно
Решение.
Можно
принять
в
этом
случае,
142
дальности до Луны R Л .
Получим
w R   R л 
Rmin
 R л  Rmax 
(5.10)
Распределение (5.10) получило наименование дельта-распределения.
Пример 5.4. Источники радиоизлучений расположены равномерно с
 единиц на 1 км2 на плоской территории,
ограниченной радиусами R min и R max . Найти w R  , если приемник находится
постоянной плотностью
в центре.
Решение. Изобразим рис. 5.2, соответствующий заданному условию. Для
некоторой произвольной дальности R i и для некоторого малого интервала R
построим кольцо, толщиной R . Площадь кольца S  2R i R . На этой
площади разместится в среднем N  2R i R источников помех. Далее
поступаем
по
правилам,
принятым
при
построении
вероятностных
распределений. Если диапазон дальностей DR  R max  R min
разбить на
равные интервалы, число которых h  DR /(R ) , то плотность вероятностей
найдем как предел
w (R )  lim 1N /(R )   2 R ,
( R  0 )
(5.11)
где  – нормирующий множитель, который можно вычислить из
соотношения
R max
R max
 w (R )dR    RdR  1
R min
(5.12)
R min
После нормировки получим

wR   2R / R 2 max  R 2 min

Rmin
 R  Rmax 
(5.13)
Пример 5.5. Найти вероятностное распределение дальностей w (R ) от N
источников излучения, равномерно заполняющих пространство, ограниченное
сферами, радиусы которых R min
пространства.
Решение.
Ситуация
и R max
аналогичная
до центра рассматриваемого
предыдущей.
Все
графические
построения и рассуждения могут быть перенесены из примера 5.4, если их
выполнить в трехмерном пространстве. Получим результат

wR   3R 2 / R 3 max  R 3 min

R min
 R  R max 
(5.14)
143
Полученные в примерах вероятностные распределения (5.9), (5.10),(5.13), и
(5.14) относятся к разряду простейших, в них относительно жестки ограничения
на исходные данные. Одним из таких ограничений является равномерность
распределения источников вдоль линии, на плоскости или в пространстве. В
более сложных случаях возможны другие аппроксимации. Приведем еще один
пример.
Пример 5.6. Получить хорошее приближение к реальности для описания
распределения источников НРП в приземных условиях.
Решение. При поставленных условиях можно использовать распределение
Релея, которое для дальностей R от источников НРП до РПрУ нашей РТС имеет
вид
w R  
R
R 20
 R2 

exp  
2 
 2R 0 
(0  R  )
(5.15)
Параметр R 0 в формуле (5.15) соответствует дальности, при которой
плотность вероятности w R  достигает
максимума. Отметим, что для
относительно малых дальностей R  R 0 кривая ведет себя аналогично (5.13); для
больших дальностей, когда R  R 0 падение кривой можно объяснить
уменьшением числа источников за счет ослабления их действия из-за линии
горизонта
(остаются главным образом источники, поднятые над Землей на
самолетах и спутниках; их число быстро убывает по мере увеличения расстояния
R ).
В общем, при выборе функции w R  полезно дать рекомендацию:
выбирать ее исходя из конкретных условий, заботясь о максимальном
приближении к реальности, но не усложнять выбор настолько, что задача при
этом останется нерешенной.
5.1.4. Модели энергетических параметров НРП
Одним из энергетических показателей НРП является плотность потока
мощности П, которой удобно описывать радиообстановку в точке расположения
рецептора (РПрУ). В радиоцепях же удобней пользоваться мощностью P , а в
144
некоторых случаях и другими энергетическими параметрами. В свободном
пространстве для плотности потока мощности в точке приема можно записать
выражение
П  Pизл G изл y,  /(4R 2 )
(5.16)
НРП; G изл – КНД
излучающей антенны; y,   – нормированная, снятая по мощности диаграмма
где Pизл – мощность излучения источника
направленности этой антенны.
Формулу
(5.16)
перепишем
в
виде
П  APэ / R 2 ,
где
Pэ  Pизл G изл y,   – эквивалентная мощность излучения источника НРП;
A  1/ 4 . Можно записать еще короче: П  xy , где x  APэ , y  1 / R 2 .
Для нахождения вероятностного распределения случайной величины П
надо знать w x  и w  y  . Вначале рассмотрим два упрощенных случая.
Случай 1. Предположим, что все источники НРП имеют одинаковую
эквивалентную мощность Pэ  const  и распределены равномерно в пределах
плоского
кольца,
ограниченного
R min
радиусами
и
R max . Найдем
распределение w П  плотности потока мощности. При наших условиях это
распределение зависит только от дальности R ; распределение w (R ) нами было
найдено в примере 5.4, формула (5.13). Из теории вероятностей известно
соотношение
w П   1w R  /
dП
.
dR
3
Производную dП / dR можно рассчитать. Получим dП / dR   2 / R .
Здесь 1 и  2 – нормирующие множители.
После соответствующих подстановок, преобразований и нормировки
получим
w П  
П max П min 1
П max  П min П 2
П min
 П  П max  .
(5.17)
Обычно П max  П min , тогда соотношение (5.17) превратится в изящное
выражение – гиперболу второй степени
w П   П min / П 2
П min
 П  П max  .
(5.18)
В электрических цепях, стоящих на выходе антенны, удобнее вместо
145
плотности потока мощности П пользоваться мощностью Р сигнала. Тогда (5.18)
можно переписать в виде
w P   Pmin / P 2
Pmin
 P  Pmax 
(5.19)
Случай 2. Предположим, что имеет место распределение дальностей,
аналогичное (5.10) (например, в случае, если источники НРП расположены по
окружности, в центре которой стоит рецептор). Тогда распределение w П 
будет определяться только распределением эквивалентных мощностей w Pэ  .
Известно, что эквивалентная мощность относится к разряду величин с большим
динамическим диапазоном, для которых отношение Pэ max / Pэ min выражается
величинами порядка 103 …1012. Для подобных диапазонов часто постулируют
равномерно-логарифмическое вероятностное распределение, носящее название
закона Шеннона.
В наших обозначениях запишем
wП  
1
П min
П lnП max / П min 
 П  П max 
(5.20)
В общем же случае, применяя формулу вида П=xy при известных w x  и
wy  можно рассчитать wП по известной из теории вероятностей формуле

w П    w x w П / x 
0
dx
x
(5.21)
Вычисления по формуле (5.21) встречают ряд трудностей в определении
пределов интегрирования, если x и y заданы на ограниченных интервалах
(примеры вычислений w П  имеются в книге [6]).
При изучении энергетических параметров мы часто сталкиваемся с
вероятностными
распределениями
одного
класса,
которые
называются
гиперболическими. В общем виде распределения для этого класса можно
записать
w x    / x m
x min
 x  x max ; x min  0, m  0,
(5.22)
где
146
 1 m
 x1 m  x1 m

min
   max
1

 ln x max  ln x min
(m  1);
( m  1).
С учетом нормирования выражения (5.22) перепишем в виде
w x  
1 m
x
w x  
m
m
( x1max
x min
m
 x1min
)
1
xln x max  ln x min

 x  x max , m  1 ; (5.23)
x min
 x  x max , m  1 .
(5.24)
Формула (5.24) уже применялась в виде (5.20). Соотношение (5.23) легко
превращается в равномерное распределение при m=0 (встречалось в виде (5.9)), а
при x min  x max в дельта-распределение (5.10)). Гиперболический закон
удобен потому, что для его использования требуется знать только три
константы: показатель степени m и границы диапазона x min и x max .
Гиперболические распределения соответствуют нашим представлениям о
реальных условиях построения вероятностного распределения энергетических
параметров НРП. Действительно, кажется правильным утверждение, что чем
выше интенсивность помехи, тем меньше ее вероятность. Подбором границ
распределения x min и x max и степени m гиперболы можно с достаточной
точностью аппроксимировать реальные условия работы РТС.
Наряду с гиперболическим могут применяться и другие вероятностные
распределения в зависимости от конкретных условий формирования ЭМО.
Важнейшей
энергетической
характеристикой
НРП
является
уже
упоминавшийся динамический диапазон, под которым понимают интервал
интенсивностей, в который укладываются все их значения. Динамический
диапазон может выражаться интервалом энергий, мощностей, плотностей потока
мощности и других величин. Например, динамический диапазон плотностей
потока мощности может выражаться как разность ее максимального П max и
П min
минимального
значений.
Для
мощности
соответственно
DP  Pmax  Pmin ; для напряжений DV  Vmax  Vmin и т.п.
147
Обычно динамические диапазоны относительно велики и их выражают
через отношения, например, Pmax / Pmin . Удобно эти отношения, как всякие
величины с большим диапазоном, выражать в децибелах. На практике
оперируют величинами от 60 до 120 (и даже до 180) дБ.
Нижние границы динамического диапазона в одних случаях определяют на
уровне шума рецептора НРП или измерительного радиоприемника, в других
случаях за нижнюю границу принимается их пороговый уровень. Оценка
верхней границы также разнообразна. В одних случаях считают верхней
границей наибольшее значение соответствующего энергетического параметра.
Целесообразно определять эти наибольшие значения с учетом вероятностей их
появления.
Реальные
вероятностные
распределения
задаются
в
пределах
динамического диапазона, поскольку в этом случае условия характеризуются
границами интенсивностей НРП как снизу, так и сверху. При этом заметим, что
практически при всех способах аппроксимации (при малом числе исключений)
распределений,
чем выше уровень интенсивности, тем меньше плотность
вероятностей.
Опираясь
на
такую
закономерность,
можно
пренебречь
редко
встречающимися НРП, если вероятность их появлений мала с практической
точки зрения. Для обоснования такой возможности обратимся к известному в
теории вероятностей принципу практической уверенности. Все явления в жизни
происходят с определенной вероятностью. Однако есть события, о которых
можно с уверенностью говорить, как о достоверных, и события, которые можно
считать невозможными. Все зависит от того, с какой вероятностью они
происходят. В теории вероятностей наиболее четко принцип практической
уверенности сформулирован в книге [13] следующим образом: если в
определенных условиях вероятность события мала, то при однократном их
выполненении можно быть уверенным в том, что это событие не произойдет, и в
практической деятельности поступать так, как будто оно является невозможным.
В практической деятельности надо условиться, что понимать под
словосочетанием «вероятность события очень мала». Вероятность, которой в
данном случае решено пренебрегать, называют уровнем значимости, а
148
соответствующую ей область больших отклонений называют критической
областью. Например, пользуясь «правилом трех сигм», в теории вероятностей
уровень значимости равен примерно 2,7х10-3. Не всегда можно принять такой
уровень значимости, в частности, в радиолокации уровень значимости
(вероятность ложных тревог по критерию Неймана-Пирсона) выбирают порядка
10-6…10-8. В обоих случаях имеют дело с нормальным вероятностным
распределением напряжений. При статистической оценке динамического
диапазона оценивают вероятностное распределение интенсивностей НРП,
задаются определенным из практических соображений уровнем значимости
Bдоп и рассчитывают некоторое новое максимальное значение интенсивности
(например – граничное значение мощности Pгр , соответствующее заданному
уровню значимостиm Bдоп ). Если известно, например, распределение мощности
w P , то связь Pгр и Bдоп можно установить с помощью уравнения
B доп 
Р max
 w P dP .
(5.25)
Pгр
Описанные здесь процессы иллюстрируются рис.5.3, на котором показано
вероятностное распределение мощности w P  ( P0  P  Pmax ), составленное
для N мешающих сигналов: заштрихована площадь, соответствующая уровню
значимости Bдоп , отмечено значение критического граничного параметра Pгр и
критическая область от Pгр до Pmax .
Динамический диапазон радиосигналов может оцениваться отношением
Pmax / P0 . Отбрасывая все сигналы, соответствующие вероятности Bдоп , мы
получим динамический диапазон, определяемый уже отношением Pгр / P0 ,
который назовем вероятным динамическим диапазоном НРП. Диапазон как бы
сжался в
  Pmax / Pгр
(5.26)
раз. О масштабах «сжатия» можно получить представление с помощью
примеров.
149
Пример 5.7. Рассчитать с помощью формулы (5.26) число  для
распределения
вида
(5.19),
если
В доп  10 4 , а исходный диапазон
Pmax / P0  1012 .
Решение. Сначала найдем значение Pгр с помощью формулы (5.25).
Получим уравнение B доп  P0
уравнение примет вид B доп 
Pгр
P0

1
B доп
Pmax

Pгр
dP
P
2
. В результате преобразований это
P0
P
 0 . Если принять Pmax  Pгр ,то
Pгр Pmax
8
; подставив числа в формулу (5.26), найдем   10 . Пример
показывает, что имеет смысл заниматься расчетом  в ожидании существенных
практических результатов.
5.1.5 Модели неэнергетических параметров НРП
Любой радиосигнал или радиопомеху можно характеризовать набором
параметров x1 , x 2 ,..., x n , каждый из которых принимает случайные значения в
соответствующих диапазонах Dx 1 , Dx 2 ,..., Dx n . Можно вообразить себе
некоторый прямоугольный n-мерный параллелепипед, ребра (измерения)
которого равны диапазонам, а каждый сигнал – точка в таком параллелепипеде с
координатами ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Если ЭМО в данной точке пространства
характеризуется числом N источников НРП с параметрами, лежащими в
указанных диапазонах, то в параллелепипеде будет N точек, каждая из которых
имеет свои координаты. Итак, множество из N точек заполняет n-мерный
прямоугольный параллелепипед; заполнение будет случайным и в общем случае
неравномерным. Неравномерность заполнения требуется отобразить в такой
модели. С этой целью приведем в однозначное соответствие с плотностью
заполнения
объема
точками,
обозначающими
сигналы,
n-мерный
150
дифференциальный
закон
распределения
сигналов (помех) w n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .
Для большинства практических
вероятностей
случаев
параметров
этих
x1 , x 2 ,..., x n
параметры
независимы друг от друга. Это объясняется двумя основными причинами: 1) как
правило, такие параметры, как несущая частота, направление прихода,
поляризация
и
другие
неэнергетические
параметры
имеют
различную
физическую природу; формирование сигналов по этим параметрам ведется
различными цепями и устройствами; то же относится и к обработке сигналов; 2)
диапазоны
практически
для
всех
параметров
можно
считать
узкими
(Dx i  x i ) , что существенно снижает связи между параметрами, если они и
существуют (например, связь между длительностью импульса  и частотой f в
общем имеется, но в тех диапазонах D и Df , которые чаще всего встречаются
в конкретных устройствах, такая связь несущественна). Для независимых
параметров верно соотношение
n
w n x1 , x 2 ,..., x n   w x1 w x 2 ...w x n    w ( x i ),
(5.27)
i 1
где w x i  – одномерные вероятностные распределения параметров.
Соотношение (5.27) облегчает решение задач построения и использования
вероятностных распределений; теперь статистикой можно заниматься для
каждого параметра в отдельности.
В
n-мерном
параллелепипеде,
общий
объем
которого
n
V  Dx 1Dx 2 ...Dx n   Dx i , можно выделить некоторый относительно
i 1
малый объем V  V , охватывающий точку
x1/ , x 2/ ,...x n/ .
Ребра этого
/
малого объема по каждой из осей имеют измерения  i ; так что сам объем
/
определяется произведением V 
1/  2/ ... n/
n
   i/ . Этот объем
i 1
можно трактовать как некоторую обобщенную полосу пропускания n-мерного
фильтра, состоящего из n фильтров по отдельным параметрам, с полосой

пропускания  i . Если считать фильтры по каждому из параметров
идеальными (с прямоугольными характеристиками избирательности), то для
описания
вероятностного
режима
в
обобщенной
полосе
V /
можно
151
использовать распределение Пуассона (см. формулу (5.1)), которое для нашего
случая можно записать в виде
к 
1 z к
e z ,
к!
(5.28)
/
где Z –среднее число НРП в объеме V . В нашем случае


z  NV / w n x 1/ , x 2/ ,..., x n/ .
В развернутом виде

(5.29)
 


1
exp  NV / n x1/ , x2/ ,..., xn/ NV / n x1/ , x2/ ,..., xn/
к!
к

n
n
1


/
/
/
/
 exp  (  N  X i  xi )  N   i  xi  .

к!
 i 1
 
i 1

к 
 
к 
 
(5.30)
Как известно, формула (5.28) применима к системе точек, имеющей
определенные свойства, хорошо известные из теории вероятностей. С помощью
(5.30) можно находить вероятность  к того, что в обобщенной полосе V
будет ровно к точек, где к=0,1,… В частности можно найти:
/
/
вероятность того, что в объеме V не будет ни одной НРП:



0  exp  NV / w n x1/ , x 2/ ,..., x n/ ;
/
вероятность того, что в объеме V будет только одна точка:
1  exp  NV / w n x1/ , x 2/ ,..., x n/ NV / w n x1/ , x 2/ ,..., x n/




(5.31)
 (5.32)
и другие практически важные вероятности.
Соотношения (5.27)…(5.32) можно применить не только к идеальным
прямоугольным характеристикам избирательности, а к идеализированным
характеристикам, ширина которых равна эквивалентной полосе пропускания.
Рассмотрим одномерный случай построения и использования построенной
модели для описания фильтрации помехи по несущей частоте. Пусть известно
полученное при каких-то условиях вероятностное распределение частот w f  в
диапазоне Df , построенное для N источников помех (рис.5.4). Вероятность, с
которой сигналы будут находиться в полосе F , если F  Df , и кривая
 
w (f ) - гладкая кривая, может быть рассчитана как произведение Fw f / .
/
Тогда среднее число N мешающих сигналов в полосе F найдем по формуле
N /  Nw ( f ) F . Можно, например, рассчитать с помощью формулы (5.30)
152

/

/
вероятность  1 F, f
того, что в полосе F , охватывающей частоту f
будет не больше одного сигнала, по формуле



 
 
1 F, f /  exp  NFw f / 1  NFw f / .
(5.33)
Произведенные выше операции относятся к анализу. Однако с помощью
полученных соотношений возможен и синтез. Пусть нам задана допустимая по
каким-то
практическим
соображениям
вероятность
1 зад . Тогда из
трансцендентного выражения (5.33) можно рассчитать допустимое значение

/
 / доп , а затем найти допустимое значение Fдоп
числа N доп  NFдоп w f
полосы пропускания приемника. Так, на базе оценки ЭМО можно ставить задачи
по проектированию.
5.2 Вероятностная оценка воздействия НРП на РПрУ
5.2.1 Среднее число помех на выходе системы линейных фильтров
Существенным недостатком расчетов, приведенных выше, является их
упрощенность;
нетрудно
видеть,
что
характеристики
избирательности
идеализированы, принимаются все сигналы, которые попадают в полосу,
независимо
от
их
интенсивности.
Попытаемся
отклониться
от
таких
идеализаций. Для начала произведем расчет среднего числа НРП, проникающих
через одиночный линейный фильтр.
Пусть в результате анализа ЭМО стало известно N источников НРП,
определен диапазон Dx некоторого параметра x, известно вероятностное
распределение w x  источников по этому параметру. Пусть также известно, что
эти N сигналов распределены по мощности по закону w P , заданному в
динамическом диапазоне от P0 до Pmax , при этом P0 соответствует пороговому
уровню РПрУ, в котором работает рассматриваемый фильтр. При таких
априорных данных об ЭМО требуется определить реакцию одиночного фильтра
по параметру x. Модель фильтра представляется его передаточной функцией
к( x ) , нормированной, снятой по мощности, являющейся характеристикой
избирательности по параметру x.
153
Графики функций к( x ) , w P  и w x  представлены на рис.5.5.
Произвольно на оси x в пределах Dx выделим полоску шириной dx, так, что
 /
/
вероятность попадания в эту полоску – B(dx )  w x dx , где x – значение
параметра внутри dx, при котором верно приведенное выражение. Среднее число
сигналов, приходящихся на полоску dx, на входе фильтра определим как
произведение
 
dN вх  Nw x / dx .
(5.34)
Но не все мешающие сигналы в этой полоске смогут пройти на выход
фильтра; сигналы, мощность которых близка к пороговой на склонах
характеристики избирательности, не пройдут. После их ослабления фильтром
они могут оказаться под порогом приема. Будем учитывать только те помехи,
которые с учетом их ослабления фильтром будут на уровне или превзойдут по
мощности порог P0 . Другими словами, для НРП, которые могут быть ослаблены
/
в фильтре, порог как бы поднялся до уровня P0 / к( x ) . Теперь можно
подсчитать число НРП dN вых , прошедших через фильтр в полоске dx. Получим
с учетом (5.34)
 
Pmax
/
dN вых  Nw x dx
В формуле
(5.35) интеграл
 w P dP
.
(5.35)
P0 / к ( x / )
Pmax
 w P dP
определяет вероятность
P0 / к ( x / )
превышения НРП нового порога, образовавшегося за счет ослабления фильтром
сигналов в соответствии с к( x ) . На рис.5.5 это обстоятельство учтено
увеличением порога до значения P0 / к( x ) .
Общее число НРП N вых на выходе фильтра можно рассчитать по формуле
N вых  N  w x 
( Dx )
Pmax
 w (P)dx .
(5.36)
P0 / к ( x )
Во многих случаях, как это было показано ранее, удобно использовать
упрощенное изучение вопросов прохождения НРП через одиночный фильтр с
использованием понятия «эквивалентная по числу проникающих помех полоса
154
пропускания
 э , под которой следует понимать ширину
фильтра»
прямоугольной характеристики избирательности, через которую пройдет такое
же
число
НРП,
как
и
через
реальный
фильтр.
Для
прямоугольной
характеристики к(x) можно, очевидно, записать
N вых  N  w( x )dx.
(5.37)
X э
Соотношение (5.37) можно упростить, если считать, что внутри полосы
 э можно найти такое значение x // параметра, для которого верно
 
N вых  Nw x //  э .
(5.38)
Тогда, приравняв соотношения (5.36) и (5.38), найдем
 э   w x dx
( Dx )
Pmax
 // .
 w P dPdx / w x
(5.39)
P0 / к ( x )
Соотношения (5.36) и (5.39) позволяют единообразно оценивать фильтры
различной физической природы и рассматривать РПрУ как единое целое,
состоящее из последовательности фильтров по отдельным параметрам.
Изучая прохождение НРП в тракте РПрУ в различных сечениях от фильтра
к фильтру, можно получить представление о движении помех через РПрУ в
целом. Так для РПрУ, состоящего из последовательности линейных фильтров по
 , углу места  поляризации  , частоте f, работающих в
соответствующих диапазонах Dф, D, D, Df , можно рассчитать число
азимуту
проникающих помех по формуле
Pmax
N вых  N  w(  )  w    w    w f   w PdPdfddd ,
D 
где
D 
D 
к  к()к()к()к(f )
Df 
–
(5.40)
P0 / к
многомерная
функция
передачи
последовательности фильтров.
При такой оценке можно видеть «вклад» каждого из фильтров в общее
дело «отбрасывания» НРП от полезного сигнала, принимаемого РПрУ. Можно
155
РПрУ рассматривать как n-мерный фильтр,
имеющий n-мерную полосу
/
пропускания (n-мерный объем V ).
n
V /  X1X 2 ...X n   X i
(5.41)
i 1
Формула (5.41) уже применялась для идеальных условий при строго
прямоугольных характеристиках избирательности.
Под  i можно понимать эквивалентные полосы пропускания фильтров,
/
входящих в РПрУ. Тогда V получает смысл эквивалентной n-мерной полосы
пропускания РПрУ или, иными словами, обобщенной эквивалентной полосы
пропускания РПрУ.
5.2.2 Распределение параметра на выходе одиночного фильтра
Для оценки прохождения НРП через одиночный фильтр использовались
характеристики и параметры на входе: число сигналов N, вероятностное
распределение параметра w x  , заданное в диапазоне Dx , вероятностное
распоеделение мощности w P , заданное в динамическом диапазоне DP . Если
далее расположен новый фильтр, то он нуждается в подобных же входных
характеристиках и параметрах НРП, так чтобы решать задачу прохождения
помех через новый фильтр аналогичным образом. Во многих случаях такой
переход от фильтра к фильтру (от одного сечения радиоприемника к другому)
имеет большое практическое значение особенно тогда, когда изучаются
комбинационные помехи.
Для оценки распределения параметра на выходе фильтра можно опереться
на модели, использованные при выводе формулы для расчета среднего числа
помех, проходящих через фильтр и графической иллюстрацией этой модели,
представленной на рис. 5.5.
Обратим внимание на формулу (5.35). Если весь диапазон параметра Dx
разбить на равные относительно узкие полоски x , то получим в каждой из них
определенное число НРП N вых подобно тому, как определялось число dN вых
в полоске dx. В соответствии с этим замечанием перепишем (5.35) в конечных
разностях. Получим
156
N вых  Nw x x
Pmax
 wP dP
(5.42)
Pо / к ( x )
Плотность вероятностей параметра x на выходе фильтра u ( x ) определим
следующим образом:
Pmax
N вых
 Nw x   wP dP
u(x)= 
x
Pо / к ( x )
x  0
,
(5.43)
где  – нормирующий множитель.
Выражение (5.43) составлено по правилам, принятым в математической
статистике при построении кривых плотностей вероятностей. После нормировки
запишем
w x 
Pmax
 w P dP
x  Dx  .
P0 / к ( x )
Pmax
u(x) 
(5.44)
 w x   w P dPdx
Dx 
P0 / к ( x )
При равномерном распределении параметра на входе фильтра с учетом
(5.39) (если w x   const ) формула (5.44) упрощается.
Получим
1
u(x) 
X э
Pmax
 w P dP
x  Dx  .
.
(5.45)
P0 / к ( x )
Пример 5.8. Определить распределение u(x), если фильтром является
одиночный
колебательный
контур
RLC
емкость). Исходные данные:
1) w f   1 /(Df )
2) wP   P0 / P
f  Df ;
 4(f  f 0 ) 
3) к (f )  1 / 1 

2


F
2
(сопротивление,
f  Df ;
2
индуктивность,
P0  P  Pmax  ;
4) P0  Pmax .
Решение. С помощью (5.45) найдем
uf  
1
1
Fэ 1  4(f  f 0 ) 2 / F 2
f  Df .
.
(5.46)
157
Из выражения (5.44) следует, что вероятность прохождения сигналов на
выход фильтра неодинакова при различных x, если даже она и была
равномерной на входе. Пример 5.8 подтверждает это: если на входе было
w f   const , то на выходе уравнение кривой (5.46) во многом повторяет
кривую избирательности к(x) колебательного контура.
Изобразим кривую u(x) в соответствии с (5.44) на рис. 5.6. Если кривая
к(x), к примеру, имеет единственный максимум, то кривая u(x) будет также
иметь единственный максимум. За пределами эффективной полосы  э кривая
u(x) будет быстро убывать и достигнет нулевого уровня, как это видно из (5.45),
при равенстве Pmax  P0 / к( x ) , что соответствует граничным значениям x 1 и
x 2 . Будем считать разность x 2  x1 диапазоном Dx параметра на выходе
фильтра. Однако вблизи границ x 1 и x 2 значение функции u(x) близко к нулю.
Поэтому у этих границ можно отметить такие вероятности S1 и S 2 , которые
могут считаться несущественными с практической точки зрения. Остающийся
/
/
/
диапазон D x  x 2  x 1 может оказаться заметно меньше, чем Dx.
Пусть S1  S2  B доп – некоторое малое с практической точки зрения
x 1/ и x 2/ такими, чтобы
S1  S2  Bдоп / 2 . Тогда эти новые границы x 1/ и x 2/ можно рассчитать из
значение
вероятности.
Будем
считать
уравнений
x1/
x2
S 2   u ( x )dx  B доп / 2
S1   u ( x )dx  B доп / 2 ;
x 2/
x1
(5.47)
Практическая значимость такого «сжатия» диапазона параметра велика,
особенно при создании измерительной аппаратуры. Убедиться, что сжатие
существенно с количественной точки зрения, можно с помощью примера.
/
Пример 5.9. Найти отношение   Df / D f , характеризующее сжатие
диапазона параметра f на выходе фильтра для условий, принятых в примере 5.8.
Решение. Найдем границы диапазона из равенства Pmax  P0 / к( x ) ,
обращающего выражение (5.42) в нуль. Получим Df  f 2  f1  F Pmax / P0 .
158
Далее с помощью (5.45) и (5.47) при заданной вероятности Bдоп рассчитаем
D/f .
Получим
D / f  F 2 / B доп F.
  Df / D / f  Fэ B доп Pmax / P0 / F .
Если
Отношение
положить
Fэ  F
Pmax / P0  1012 , а B доп  10 3 , то   103 .Сжатие диапазона за счет учета
статистических особенностей оказывается весьма значительным и имеет
большое практическое значение.
5.2.3. Распределение мощности НРП на выходе одиночного фильтра
Следует оценить какой динамический диапазон сигналов получится на
выходе фильтра, если имеются нужные данные о сигналах на входе. Знание
распределения на выходе фильтра дает возможность изучать поведение
последующих фильтров, оценить роль и значение нелинейных процессов, если
они имеют место в последующих цепях. Распределение мощности НРП на
выходе фильтра u(Pвых ) найдем в предположении, что параметр x распределен
равномерно, а характеристика избирательности фильтра – к(x). В общем случае
Pвых  Pк( x ) . Если известно w х  и можно найти распределение случайной
величины к, являющейся функцией случайной величины x, то нетрудно по
формуле, аналогичной (5.21), рассчитать распределение u Pвых  . В простейшем
случае, если Р имеет дельта-распределение, то uPвых   w к , где  –
нормирующий множитель. Зная u Pвых  , оценим вероятность
B
Pmax
 u Pвых dPвых
(5.48)
Pвыхгр
Можно найти такое граничное значение Pвых гр , при котором BPвых 
становится малой с практической точки зрения вероятностью, которую можно
называть
иначе
вероятностью
сильных
помех.
Пользуясь
принципом
практической уверенности, установим с учетом последствий проникновения
сильных помех значение этой граничной мощности и оценим «сжатие»
159
диапазона на выходе фильтра.
Наглядно эти операции можно показать с
помощью примера.
Пример 5.10. Oпределить вероятный динамический диапазон НРП на
выходе одиночного колебательного контура типа RLC, если на его входе
действуют помехи с  –распределением мощности и задана допустимая
вероятность Bдоп сильных сигналов.
Решение. Для контура RLC найдем вероятностное распределение
коэффициентов передачи, являющихся случайными величинами. Получим
w к  
1 P0
2 Pmax
1
P0 / Pmax
к 1  к 
3
 к  1
(5.49)
Примерный график w к  приведен на рис. 5.7. связь между граничным
значением к гр и вероятностью Вдоп рассчитаем по известной формуле
1
В доп   w к dк
кгр
После чего получим
В доп  P0 / Pmax (1  к гр ) / к гр
Заштрихованная площадь на рис. 5.7. соответствует Вдоп . Расчеты
показывают, что к гр при приемлемых с практической точки зрения Вдоп


является величиной малой к гр  1 . Если на входе динамический диапазон
равен Pmax / P0 , то на выходе Pmax к гр / P0 . «Сжатие» таким образом равно
1 / к гр . В цифрах, если, например, В доп  10 9 , а Pmax / P0  1012 , то
  1 / к гр  10 6 .
«Открытие»
факта
«сжатия»
динамического
диапазона
является
следствием применения статистических методов исследования, т.е. новая
статистическая точка зрения привела к появлению новых знаний о давно
известных объектах.
160
Выбор малого значения Вдоп не исключает сильных помех, а лишь делает
его маловероятным. Поэтому важно в аппаратуре предусматривать меры борьбы
с сильными помехами, что в свою очередь, приведет к снижению требований
при выборе Вдоп , а это облегчит условия проектирования РПрУ, в частности,
будут ослаблены требования к линейности входа приемника.
5.3 Вероятностная оценка ЭМС РЭС
5.3.1 Вероятность электромагнитной совместимости
Вероятностно-статистический подход к проблеме ЭМС соответствует
особенностям
объекта
изучения. Развитие
такого
соответствия
требует
выработки адекватных количественных оценок – статистических критериев
ЭМС РЭС. Статистические модели НРП, если выражаться кратко, представлены
нами как система случайных точек, а РПрУ – как детерминированная система
фильтров с пороговым устройством. Воспользуемся такими моделями для
вероятностной оценки ЭМС элементарной РТС.
Вероятность попадания точек (мешающих сигналов) в n-мерный объем
V / (см. (5.41)), взятый внутри n-мерного прямоугольного параллелепипеда,
изображающего обобщенный диапазон параметров, может быть при известных
условиях рассчитана по формуле



B(V / )  V / w n x1/ , x 2/ ,..., x n/ ,
/
/
/

(5.50)
/
где x 1 , x 2 ,..., x n – координаты точки, взятой внутри объема V .
Ранее утверждалось, что координаты каждой из точек можно считать
независимыми случайными величинами. Тогда n-мерная плотность вероятностей
представляется как произведение одномерных плотностей вероятности w x i , а
объем
V /
может быть заменен произведением эквивалентных полос
пропускания  i фильтров по параметрам x1 , x 2 ,..., x n . С учетом этих
замечаний формулу (5.50) можно переписать в виде
 
/
n
 
B V    i w x i/
i 1
(5.51)
161
С помощью (5.51) рассчитаем среднее число N мс мешающих сигналов,
проходящих через n-мерный фильтр, который можно назвать обобщенным
фильтром РПрУ. Получим
 
/
 
/
n
 
N мс V  NB V  N B  i/
 /
i 1
(5.52)
где B  i – вероятность попадания сигналов в эквивалентную (по числу
проникающих НРП) полосу пропускания  i i-го фильтра, охватывающую
/
точку на оси x i с координатой x i .
Для описания вероятностного режима внутри обобщенной n-мерной
полосы V
/
воспользуемся формулами (5.28) и (5.30). И в первую очередь
/
n
/
найдем вероятность  0 того, что в обобщенной полосе V    i не будет
i 1
ни одного мешающего сигнала. Получим с учетом (5.52) выражение

 
n


 0  exp   N  i w x i   exp  N мс V / .


i 1
(5.53)
По смыслу эта вероятность является главной числовой характеристикой
ЭМС, определенной по поведению радиоприемного устройства. Ее значение
зависит от параметров ЭМО, параметров РПрУ и эффективности действия
помех; следовательно, вероятность  0 является характеристикой способности
РТС выполнять свои функции в условиях действия НРП.
Назовем
вероятность
0 ,
представленную
выражением
(5.53),
вероятностью ЭМС РЭС, характеризующей способность РЭС работать в
условиях действия НРП, оцененной по числу проникающих в тракт РПрУ НРП.
Вероятность  0 может быть определена без сигнала (в паузе), что
позволяет пользоваться этой характеристикой без учета отношения
сигнал/помеха, что в ряде случаев упрощает задачу количественной оценки
ЭМС.
Косвенно при этом учитывается и полезный сигнал, например, через
использование такой характеристики РПрУ как пороговый уровень приема.
Следует на примерах убедиться в относительной простоте и понятности
расчетов вероятности ЭМС РЭС по формуле (5.53).
162
Пример 5.11. В центре площади, имеющей форму круга, расположено
РПрУ. Радиус площадки R=15 км. Плотность источников НРП, ведущих
одновременную передачу, примерно одинакова для всей рассматриваемой
территории и равна   1км
2
. Диапазон частот Df  (200...300) МГц.
Определена эквивалентная по числу проникающих сигналов полоса пропускания
4
приемника РТС Fэч  10 Гц. Распределение источников помех по частоте
w f   1 / Df  10 8 Гц 1. Используется в РПрУ только частотная селекция.
Найти вероятность ЭМС для РПрУ как системы фильтров.
Решение. Находим общее число источников НРП N  R
2
 710 .
Среднее число проникающих через РПрУ мешающих сигналов рассчитаем по
N мс  NFэч / Df  7,1  102 .
формуле
С
помощью
(5.53)
получим
 0 Fэч   0,93 . Приемлема такая вероятность ЭМС или нет, можно судить
путем сопоставления полученного значения с заданной величиной  0 з , которая
определяется на основе изучения влияния НРП на качество функционирования
системы.
Другой пример относится к случаю применения РПрУ с двумерной
селекцией при заданном значении вероятности ЭМС.
Пример 5.12. На искусственном спутнике Земли, высота полета которого
Н=300
 min
км,
установлено
 2 см,  max  4см

РПрУ
трехсантиметрового
диапазона
с эквивалентной по числу проникающих помех
полосой пропускания частот Fэч  5МГц . Известно, что распределение НРП
по диапазону и распределение источников НРП по поверхности Земли
равномерные. Плотность станций на поверхности Земли   10
3
км 2 .
Необходимо найти вероятность ЭМС при отсутствии пространственной
селекции и установить, какой должна быть ширина осесимметричной диаграммы
направленности антенны РПрУ, ориентированной вертикально к Земле, чтобы
 0  0,95 .
163
Решение. Рассчитаем площадь на Земле, которая находится в "зоне
видимости" спутника с учетом огибания земной поверхности радиоволнами.
3
Зная плотность источников НРП, найдем число источников: N  12  10 . С
учетом
частотной
селекции
число
мешающих
сигналов
будет
равно
N мс  NFэч / Df  4,8 , откуда получаем ответ на первый вопрос:
0  e 4,8  8  102 . Это значит, что РПрУ будет с высокой вероятностью
находиться под действием НРП; нужны дополнительные средства селекции.
Определим такое число мешающих сигналов N
/
, при котором будет
мс
обеспечена заданная вероятность  0 з  0,95 . Необходимое для расчета


/
уравнение exp  N Fэч / Df  0,95 . Из него найдем N
заданной
плотности
R /  450км .
Для
это
число
выделения
должно
занимать
такой
площадки
/
мс
 750 . При
площадку
надо
радиусом
осуществить
пространственную селекцию с помощью диаграммы направленности антенны с
o
шириной луча E  117 . Таким образом, даже слабая направленность антенны
резко улучшает ЭМС.
5.3.2 Анализ вероятностных соотношений в обобщенной полосе РПрУ
Такой анализ проведем путем оценки разнообразных по практическому
значению вероятностей, содержащихся в распределении Пуассона, формула для
которого приведена в пособии под номером (5.28). Это распределение
приобретает физический смысл совместно с формулами (5.29) и (5.52) и их
возможными разновидностями. Формулу (5.28) представим в виде ряда:
0 z   e z
к  0 ;
2 (z)  1 (z)z / 2
(к  2) ;
1 (z)  0 (z)z
(к  1) ;
3 (z)   2 (z)z / 3 (к  3)
Изобразим эти вероятности в виде графиков на рис. 5.8. С позиций обеспечения
ЭМС интересна область больших значений вероятности ЭМС  0 ( z ) , когда эта
вероятность мало отличается от единицы. Нетрудно заметить, что при этом
164
аргумент z будет меньше или существенно меньше единицы. Как известно,

 к (z)  1. И если 0  1 , то нетрудно сообразить, что
к 0

0 (z)   к (z)
(5.54)
к 1
На таком же основании для области, где  0 (z)  1, верно соотношение

1 (z)   к (z)
(5.55)
к 2
Если известно некоторое заданное значение  0 з , являющееся заданной
вероятностью ЭМС РЭС, то для обеспечения ЭМС РЭС требуется обеспечить
0  0з . Значению  0 з соответствует некоторое граничное значение
аргумента z гр . Область, соответствующую z  z гр , назовем областью
обеспечения ЭМС. Для области обеспечения ЭМС по вероятностному критерию
0  1
выполняются соотношения (5.54) и (5.55). Из сказанного можно
сделать выводы, имеющие большое практическое значение.
Если ЭМС обеспечена  0   0 з  и верны соотношения (5.54) и
(5.55), то надо прежде всего учитывать помехи от одного источника, поскольку
1.
вероятность их появления существенно превышает вероятность помех от двух и
более источников.
2.Если верно (5.54) и задано  0 з , то для обеспечения ЭМС  0   0 з 
требуется обеспечить z  z гр . С использованием (5.52) можно данный вывод
представить в виде формулы
n
  
N BX i   arg 0 z гр  0з
i 1

(5.56)
В формуле (5.56) слева – среднее число сигналов, проходящих через nмерный фильтр, а справа – аргумент z гр , который равен аргументу  0 при
условии, что  0   0 з . По формуле (5.56) можно производить контрольный
расчет РПрУ при z    0 з .
3. Поскольку в области обеспечения ЭМС z  1, можно считать для этой
области верным
165
z гр  1  0з
Тогда также верно соотношение
 n

 N B i   1  oз
 i1
 гр
(5.57)
Формула (5.57) имеет справа конкретное число, а слева – произведение
вероятностей, определяемое качеством фильтров РПрУ. Это соотношение можно
выполнить при различных соотношениях между сомножителями. Возможно,
таким образом, отыскание
их
рационального
сочетания,
при
котором
достигается какая-то практическая цель. Возможна, таким образом, оптимизация
РПрУ по критериям ЭМС.
4.
Из
первого
вывода
можно
получить
следствие.
Если
при
обеспечении ЭМС использовать средства подавления одиночных НРП, то резко
облегчается решение задачи ЭМС, поскольку после этого вероятность
воздействия помех будет оцениваться вероятностью прохождения двух и более
помех, которая, как следует из (5.55), существенно меньше, чем вероятность
воздействия
одиночной
НРП.
Объясняется,
таким
образом,
высокая
эффективность режекторов, компенсаторов и других устройств.
5.4 Энергетическая оценка ЭМС РЭС
5.4.1 Эквивалентная мощность НРП
Электромагнитную обстановку образуют различные НРП, идущие от
множества источников. Воздействие на РПрУ каждой из помех даже при
одинаковой
соответствующей
энергетической
характеристике
будет
неодинаково. Например, широкополосные сигналы с частотной модуляцией,
импульсные или амплитудно-модулированные сигналы проникают как НРП в
несогласованный тракт
РПрУ по-разному. Поэтому полезно учитывать
различную степень мешающего воздействия помех при различной их структуре
по различным параметрам. Этот вопрос уже изучался ранее в разделе о
прохождении помех через РПрУ. При этом рассматривалось структурное
несходство двух сигналов, которое приводит к потере энергии НРП,
166
распространяющейся по несогласованному тракту. Отдельно это несходство
учитывалось по поляризации к пол , частоте к ч , пространству к  и к  , времени
к в и т.д.
Возможности селекции за счет различных структур сигналов при
мешающем взаимодействии РТС оценивались коэффициентом селекции к т по
типу РТС, который определялся как произведение коэффициентов селекции к i
n
по отдельным параметрам: к т   к i .
i 1
При изучении дуэльных ситуаций (гл.4) не должен составить особого
труда попарный перебор взаимодействия и определение к i . Этого нельзя сказать
в статистической теории, в которой рассматривается обстановка, образованная
большим числом РЭС.
Использование таких коэффициентов в статистической теории ЭМС
потребует перебирать большое число источников; в каждой новой обстановке
такой перебор надо делать заново. Возникает задача устранить, по возможности,
необходимость такого перебора. Это можно сделать, приняв один из видов
помех за эталонный,
а все другие виды эквивалентно привести к такому
эталону. Получим относительно небольшой список коэффициентов, число
позиций в котором равно числу типов РТС. Если за эталон принять шум, то
можно все разнообразие помех сопоставить по эффективности действия с ним.
Сопоставление рационально вести по действию НРП на тактико-тактические
характеристики (ТТХ) элементарной РТС. Не возникает также проблемы
определения, какую из ТТХ следует взять за основу, если элементарная РТС
должна иметь одну основную ТТХ. Таким образом, воздействие НРП будет
сводиться к снижению ТТХ РТС по сравнению с их потенциальными
значениями, определенными при учете только шума.
Шумовым эквивалентом мощности НРП будем называть такую ее
мощность, при которой действие данной НРП равноценно в определенном
смысле действию единицы мощности шумовой НРП. Количественно шумовой
эквивалент к шэ можно рассчитывать как отношение реальной мощности Pp
167
данной НРП к мощности шума Pш на выходе РПрУ, при котором их влияние на
ТТХ элементарной РТС одинаково. Запишем
к шэ  Pp / Pш
(5.58)
Использование к шэ требует уточнения исходных моделей ЭМО. Теперь в
этих моделях под мощностью Р надо понимать не реальную Pp , а ее
эквивалентное значение, оцениваемое эквивалентной мощностью шума. Иначе
говоря, P  Pp / к шэ . Аналогично следует поступать и с плотностью потока
мощности, а также с другими энергетическими характеристиками, которые
используются при описании ЭМО. Например, при построении w P  или w П 
надо иметь в виду, что все величины мощности в к шэ раз меньше реальных
значений; при использовании напряженностей поля, напряжений, токов и других
аналогичных величин пересчет производится через к шэ .
Можно
для
лучшего
уяснения
физического
содержания
таких
эквивалентных пересчетов провести мысленный эксперимент. На рис. 5.9
показан радиоприемник РПр, от качества выходного сигнала которого зависят
ТТХ РТС. На вход РПр подается НРП с реальной мощностью Pp . Выходной
сигнал будет искажен и критерий качества к будет снижен на величину к .
Снимаем НРП и подаем от источника шума помеху такой мощности Pш , в
результате действия которой качество выходного сигнала снизится на прежнюю
величину к . Теперь считаем, что мощности помехи Pp и шума Pш
эквивалентны. Вычисляем шумовой эквивалент к шэ  Pp / Pш .
Еще конкретнее. Пусть РЛС осуществляет обнаружение цели. За оценку
качества примем вероятность ложной тревоги F (если использовать, например,
критерий Неймана-Пирсона). Пусть под действием помехи вероятность F
/
увеличится на F , при этом мощность помехи равна Pp . При подаче шума,
/
мощность которого Pш , добиваемся такого же увеличения F . Получим
к шэ  Pp/ / P / .
ш
Как отклонение качества к могут использоваться любые показатели и
характеристики, например, изменение
точности измерения параметров
движения, отношения сигнал/шум на выходе РПрУ, вероятности искажения
информационных символов и т.д. Важно при этом, чтобы эти показатели или
характеристики были однозначно связаны с ТТХ РТС.
168
Нахождение шумовых эквивалентов, с одной стороны, затрудняет
использование
статистической
теории
на
практике,
требуется
какая-то
предварительная разбраковка НРП, возможно, экспериментальная
работа.
Однако, как было выяснено выше, это необходимо. Подобные приемы
встречаются во многих областях знаний. Например, в сопромате: прежде чем
произвести расчет конструкций, требуется на испытательном стенде определить
прочностные характеристики применяющихся материалов.
С другой стороны, наличие такого этапа экспериментальной проверки
действия
НРП
повышает
надежность
и
достоверность
теоретических
построений.
Первичные модели статистической теории строятся в предположении, что
полезный сигнал близок и пороговому уровню, когда дальность связи в РТС
близка к дальности действия. В конечном итоге на выходе РПрУ можно
рассматривать помехи, не намного превосходящие сигнал. Это дает основание
считать, что РПрУ при определении к шэ должно работать в линейном режиме, а
это в свою очередь, достаточное основание предполагать, что к шэ – величина
постоянная для данного РПрУ.
5.4.2. Средняя мощность НРП на выходе РПрУ
Среднюю мощность НРП на выходе линейного фильтра определим как
произведение средних величин:
Pвых  NPср к ср ,
где
(5.59)
Pmax
Pср   Pw P dP ;
(5.60)
P0
кср 
1
 кwк dк .
(5.61)
P0 / Pmax
Из (5.59) следует, что если средняя мощность на входе Pвх  NPср , то
Pвых / Pвх  к ср . Таким образом, при расчетах по формуле (5.59) требуется
169
знать
среднее
значение
к ср
коэффициента
передачи
мощности
рассматриваемого фильтра. Это непривычно, поэтому на этом вопросе следует
остановиться.
Коэффициенты передачи фильтров по частоте к(f ) , по поляризации к() ,
по направлению к(, ) , где  и  – соответственно азимут и угол места, и
другие являются случайными величинами, как всякие функции от случайных
аргументов. Нахождение, например, вероятностных распределений w к  от
таких функций в общем виде можно осуществлять в простейших случаях по
формуле
w к   w x 
dx
dк
 w x  /
dк
dx
(5.62)
Пример 5.13. Найти плотность вероятностей w к  коэффициента передачи
к  поляризационного фильтра, если известно, что к   cos 2 
0     / 2 при равномерном распределении угла рассогласования по
поляризации  .
Решение. Используя преобразование по формуле (5.62), получим


w к   1 /  к1  к  0  к  1
(5.63)
График w к  , рассчитанный по формуле (5.63), приведен на рис. 5.10.
Значение w к  можно без труда рассчитывать подобным образом для
большинства фильтров, для которых существуют аналитические выражения
к x  .
При расчете энергетических соотношений полезно знать эквивалентную по
мощности полосу пропускания  э фильтра, под которой будем понимать
ширину прямоугольной по форме характеристики избирательности фильтра,
через который пройдет такая же мощность НРП, как и через реальный фильтр.
При известных априорных данных об ЭМО мощность НРП на выходе
реального фильтра определяется соотношением (5.59). Через идеальный фильтр
пройдет
 
Pвых  NPср w х /  э
(5.64)
170
 /
где Nw х  э – среднее число сигналов на выходе фильтра, приходящееся на
/
полосу  э ; х – значение параметра х внутри  э , при котором верно
равенство
 
/
 w х dx  w x  э .
э 
Приравняв (5.59) и (5.64), можно найти значение  э .
Получим
 
 э  к ср / w х /
(5.65)
Пример 5.24. Найти значение Fэ для одиночного колебательного контура
при следующих данных:
1) w f   1 / Df 
2)
3)
f  Df ;
wP  P0 / P P0  P  Pmax ;
кf   1 / 1  4f  f 0 2 / F 2  f  Df ;
2
4) P0  Pmax
Решение. Диапазон частот, занимаемый НРП, в данном случае найдем из
уравнения
Pmax
 w P dP  0 .
P0 / к ( f )
Получим Df  F Pmax / P0
Распределение w к  найдем из уравнения w к   w f 
df
dк
Получим выражение (5.49).
По формуле (5.61) рассчитаем к ср . Получим к ср 
 Pmax
. Далее по
2 P0
формуле (5.65) найдем Fэ  к ср D f  1,57F . Результат совпал со значением
эквивалентной по шуму полосы пропускания; на самом деле полоса может быть
иной при других исходных данных. Например, для двухконтурного фильтра,

уравнение которого к(f )  1 / 1  1,64f  f 0  / F
Fэ  1,22F .
2
2
 эквивалентная
полоса
171
РПрУ представляет собой многомерный фильтр, мощность на выходе
которого может быть рассчитана следующим образом. Для n –мерного фильтра
выражение (5.59) можно переписать по аналогии в виде
n
Pвых  NPср  к срi
(5.66)
i 1
Также аналогично можно трансформировать выражение (5.64). Получим
n
Pвых  NPср  w x /i  эi

i 1 
(5.67)
Мощности, определенные по формулам (5.66) и (5.67), могут быть пересчитаны
при необходимости по входу приемника.
5.4.3. Коэффициент непреднамеренных радиопомех
Большинство ТТХ РТС определены в зависимости от соотношения
сигнал/шум. Поэтому целесообразно увязать энергетическую оценку действия
НРП с этим отношением, что облегчит задачу количественной оценки влияния
НРП на ТТХ РТС. Напомним, что НРП по действию на РТС приведены к
шумовому эквиваленту и в дальнейших расчетах рекомендовано пользоваться
эквивалентными энергетическими показателями. Суммарную мощность помех,
пересчитанную по входу приемника, будем рассчитывать по формуле.
Pп  Pш  Pмс
(5.68)
где Pш – средняя мощность помех, образованная внешними и внутренними
шумами. Первое слагаемое – детерминированная величина, определенная по
отношению стационарного процесса, всегда присутствующего в РПрУ. Для
нормальной работы (без НРП) требуется превысить Pш по крайней мере в
некоторое число а раз. Полезный сигнал, мощность которого P0 превосходит
мощность шума Pш , в а раз, как известно, называется пороговым, т.е. P0  aPш .
Второе слагаемое представляет собой среднюю мощность мешающих сигналов
Pмс , полученную путем суммирования средних значений, многие из которых
существенно превышают P0 . Однако эти помехи действуют с малой
вероятностью; характер их воздействия существенно отличается от действия
шума, хотя приведен и конечный результат к шумовому эквиваленту.
Если
172
сильная НРП достоверно проникает через РПрУ, то это РПрУ достоверно не
работает; если НРП на выходе нет, то РПрУ работает при наличии только шума.
Поэтому конкретное значение вероятности проникновения помех может быть
определено только для ансамбля помех.
Вместе с тем аддитивность помех, обозначенная в (5.68) , в общей теории
ЭМС вполне допустима, если ее правильно понимать. При проектировании РТС
в условиях большой априорной неопределенности сумма (5.68) показывает, на
что в среднем следует рассчитать, с какими усредненными условиями
эксплуатации с учетом НРП придется работать в прогнозируемой ЭМО.
Считая верной формулу (5.68), можно говорить о том, что для
нормальной работы в условиях НРП (при широком усреднении по ансамблю) в
РПрУ надо обеспечить превышение полезного сигнала над помехой по крайней
/
мере в а раз, установив более высокий порог приема P0 .
Получим
P0/  a Pш  Pмс   P0  aPмс
(5.69)
Коэффициентом непреднамеренных помех назовем число
к нп , которое
показывает, во сколько раз в среднем надо повысить порог приема в условиях
действия НРП, чтобы сохранилось требуемое превышение над помехой таким
же, каким оно было без НРП. По определению с учетом (5.69) можно записать
к нп  P0/ / P0  1  Pмс / Pш
(5.70)
Воспользуемся соотношением (5.67); тогда (5.70) представится в виде
к нп  1  N
Pср
Pш
n
 w x i  эi
(5.71)
i 1
Выражение (5.71) можно конкретизировать для случая, когда мощность
помех распределена по гиперболическому закону второй степени (5.19). Тогда
Pср  P0 ln( Pmax / P0 ) и для этого случая получим
n
кнп  1  Na ln( Pmax / P0 )  w xi  эi
(5.72)
i 0
По смыслу, чем меньше к нп , тем лучше, поэтому надо стремиться к
уменьшению к нп . Анализируя (5.72), можно определить возможности
173
улучшения ЭМС, которые формально сводятся к уменьшению второго
слагаемого. Уменьшение N возможно за счет организационных мер, удачной
ориентировки радионаправлений и т.п.; возможно уменьшение N за счет отдания
предпочтения при использовании таким РТС, в которых применяются
преимущественно РПрУ (разнесенная радиолокация, пассивная радиолокация и
т.п.). Значительный результат дает улучшение избирательности за счет сужения
полос фильтров  эi и увеличения их числа n. Можно уменьшать число  эi
за счет применения сложных сигналов, улучшения индикации, обработки
сигналов и т.д. Заметный результат по уменьшению к нп можно ожидать от
сжатия динамического диапазона.
Этот общий перечень мер может вызвать отрицательную реакцию
специалистов почти по всем пунктам. Целесообразность использования тех или
иных мер по улучшению ЭМС должна определяться конкретно. Вместе с тем
наличие такого относительно длинного перечня мер позволяет надеяться на
положительный результат в обеспечении ЭМС для каждого конкретного случая.
5.4.4 Влияние НРП на ТТХ РТС
Большинство
ТТХ
рассчитывается
через
отношение
сигнал/шум.
Энергетический критерий к нп в форме (5.70) также опирается на такое
отношение. Поэтому следует ожидать, что влияние НРП на ТТХ РТС может
быть определено через к нп .
Влияние НРП на дальность обнаружения сигнала. Предположим, что для
оценки
качества радиоприема принят
критерий
Неймана-Пирсона,
при
применении которого используется вероятность ложной тревоги. Если не
учитывать НРП, то вероятность F ложной тревоги можно рассчитать по формуле

F   w u du
Uпор
Заданное значение Fз вероятности ложной тревоги обеспечивается
установлением напряжения порога приема U пор . При этом для нормального
174


шума Fз  1  Ф U пор , где Фu  – интеграл вероятностей, представляемый
обычно в таблицах. С учетом НРП общий уровень помех в соответствии с (5.68)
в среднем возрастет. Напряжение помех u (в данном случае) увеличивается.
Соответственно, чтобы при НРП обеспечить то же значение Fз , потребуется
/
увеличить порог приема до значения U пор (см. рис.5.11). При этом получим

 
 ).
Fз   w u / du /  1  Ф(U пор

U пор
Для табулированных функций Ф(u) аргументом является относительная


величина x  u  U ср / U эф , при этом для различных кривых при равных
Fз  Fз/
будут
равные
аргументы,
т.е.
/
/
/
(u  U ср ) / U эф  (u /  U ср
) / U эф
. Если U ср  U ср  0 , а u  U пор и
/
u /  U пор
, то верна пропорция
/
 .
U пор / U эф  U пор
/ U эф
(5.73)
Таким образом, чтобы восстановить качество работы РПрУ по критерию
Неймана-Пирсона при наличии НРП до того уровня, какое оно было без НРП,
/
/
надо выбрать порог приема U пор в соответствии с (5.70) Pпор  Pпор к нп .
Снижение чувствительности приемника в свою очередь ведет к
уменьшению дальности действия РТС в режиме обнаружения сигнала.
/
Дальность действия D с учетом НРП определяется по дальности действия D
этой же РТС без учета их по формуле:
D /  D / к нп
(5.74)
Для РЛС обнаружения целей, использующих пассивно отраженный сигнал,
формула для учета влияния НРП на дальность действия будет также простой:
/
D РЛС
 D РЛС / 4 к нп .
(5.75)
175
Влияние НРП на точность измерения дальности. Для дальномерных
элементарных РТС основной характеристикой является точность измерения
дальности, которую часто оценивают среднеквадратической ошибкой  D .
2
Дисперсия  D ошибки, характеризующая потенциальную точность измерения
(зависящую только от внутренних шумов радиоприемника), определяется
формулой
 2D
Eш с2

,
2
2E с 4Fсэ
(5.76)
где E ш / E с – отношение энергий шума и сигнала; с – скорость
распространения радиоволн в свободном пространстве; Fсэ – эффективная
ширина спектра сигнала.
Действие НРП будем рассматривать как некоторое эквивалентное
приращение шума; соответствующие этому приращению величины отметим
2/
штрихами в верхнем индексе. Получим новое значение  D дисперсии ошибки:
/
 2D
/
Eш
c2

.
2
2E с 4Fсэ
(5.77)
Разделив (5.77) на (5.76), получим пропорцию
/
 2D
 2D
/
P0/
Eш
.


E ш P0
Последнее равенство верно, потому что процессы, отображаемые этой
пропорцией, происходят в одних и тех же цепях РПрУ в одни и те же интервалы
времени. Предполагается также, что дисперсии ошибок определены для
пороговых уровней. Из последней пропорции получим
/
D
  D к нп .
(5.78)
Влияние НРП на скорость передачи информации. Для расчета скорости С
передачи информации в радиоканале применяют формулу Шеннона:
C  F log 2
Pc  Pш
,
Pш
(5.79)
где F – полоса пропускания приемника РТС.
176
Постулируя аддитивность НРП и шума, представим влияние помех в
следующем виде:
C /  F log
Pc  Pш к нп
,
Pш к нп
(5.80)
где мощность шума Pш заменена мощностью помехи, увеличенной в к нп
раз.
Зависимость С от F сложнее, чем это кажется из формул (5.79) и (5.80),
поскольку Pш также зависит от F . Устранить зависимость С от F можно для
максимальной
скорости
передачи
оптимального
значения
полосы
информации
C max , найденной для
Fopt . Для этого решим уравнение
dC / dF  0 , которое при предположении Pc  Pш и Pc  Pш к нп будет
иметь решение Fopt  Pc / Be . При наличии НРП Fopt  Pc / Ae . В
приведенных выражениях В и А – спектральные плотности, определенные
следующим образом: B  Pш / F ,
A  Pнс / F ; число е – основание
натурального логарифма. После подстановки оптимальных полос в (5.79) и
(5.80) получим
C max 
Pc
log 2 e;
B
/
C max

Pc
log 2 e .
AB
Сопоставим последние выраженя с помощью деления:
/
C max / C max
 (A  B) / B  1  Pмс / Pш  к нп .
В более удобном виде
/
C max
 C max / к нп .
(5.81)
Формулы (5.74), (5.75), (5.78) и (5.81) отображают изменения в ТТХ РТС,
которые происходят под действием НРП. Простота этих соотношений позволяет
сделать вывод об удачном выборе энергетического критерия оценки ЭМС –
коэффициента непреднамеренных помех.
5.5 Передающая ветвь статистической теории ЭМС РЭС
177
5.5.1 Первичная модель ЭМО
В первой части данного пособия рассматривалась эффективность
использования электромагнитного ресурса (ЭМР) с применением понятия
«радиопространство», которое было принято как мера использования ЭМР в
1978 году на Ассамблее Международного консультативного комитета по радио
(МККР). Радиопространство выражается произведением трех величин, короче,
W=VFT (см. раздел 1.5).
Эта формула, как уже отмечалось, имеет двойную трактовку:
как объем пространства, занятого электромагнитными излучениями РЭС,
способными мешать работе РПрУ нашей РТС;
как объем пространства, внутри которого рецепторы воспринимают
электромагнитные излучения НРП, создаваемых РПдУ нашей РТС.
Если сопоставить эти трактовки между собой, то происходит как бы
перестановка местоположений основных подсистем нашей РТС. Меняется в
соответствии с этим содержание понятия ЭМО. При изучении приемной ветви
статистической
теории
ЭМС
РПрУ
нашей
РТС
рассматривалось
как
детерминированный объект, работающий в случайной ЭМО. И наоборот, при
построении моделей передающей ветви статистической теории ЭМС в основу
кладут предположение, что детерминированное РПдУ нашей РТС работает в
окружении РПрУ других РЭС, параметры настройки которых случайны.
Такая двойная трактовка радиопространства может иметь и двойную
графическую интерпретацию. Один из вариантов таких интерпретаций показан
на рис. 5.1, использованный нами в качестве графического представления
приемной ветви статистической теории ЭМС РЭС.
По аналогии для передающей ветви можно изобразить рис. 5.12,
рассматривая
его
как
графическое
представление
первичной
модели
передающей ветви статистической теории ЭМС РЭС.
C такой
двойной трактовкой радиопространства хорошо согласуется
гостовское [1] определение ЭМС, из которого следует, что «ответственность за
ЭМС» возлагается в одинаковой мере на РПрУ и РПдУ РТС. Оценка
178
способности к совместной работе может быть полной только при учете роли
обоих устройств. Нельзя допустить, чтобы обеспечение ЭМС РЭС шло,
например, за счет увеличения мощности РПдУ и зарубления РПрУ. А такие
способы возможны, если смотреть на ЭМС только с одной стороны. Эти
соображения являются неотразимыми аргументами за актуальность проблемы
построения передающей ветви статистической теории ЭМС.
Вернемся к изучению рис. 5.12. В центре рисунка расположено РПдУ,
обеспечивающее связь с РПрУ, расположенном на переферии, на расстоянии
D св , значение которого близко к дальности действия D max РТС. Точками на
рисунке показаны местоположения РПрУ других РТС, являющихся возможными
рецепторами НРП, идущих от нашего РПдУ. Число
рецепторов N считаем
известным; расположены они на территории, ограниченной окружностями
радиусами R min и R max , центр которых расположен в месте нахождения
нашего РПдУ. Оценка ЭМС, таким образом, ведется в трудных условиях.
Действительно, если D св близко к D max , то уровень полезного сигнала нашей
РТС близок к пороговому. Вместе с тем большинство рецепторов расположено
на меньших расстояниях от РПдУ, что при прочих равных условиях дает НРП
энергетическое превышение над полезными сигналами.
Критерием оценки обеспечения ЭМС может быть число рецепторов N п ,
пораженных помехой нашего РПдУ. Теперь понятие ЭМО получает конкретный
смысл. Для ее описания в точке расположения РПдУ потребуется учитывать
способность рецепторов воспринимать помеху. Если в приемной ветви теории
детерминированное РПрУ подвергается действию случайных излучений, то в
передающей ветви детерминированные РПдУ создает НРП, которые действуют
на случайно настроенное РПрУ. Такая симметрия должна упростить изучение
передающей ветви по аналогии с приемной ветвью.
Параметры настройки приемников представляем как систему точек в n-
мерном пространстве. Координаты каждой из точек x1 , x 2 ,..., x n  меняются в
Dx 1 , Dx 2 ,..., Dx n . Необходимо учесть
соответствующих диапазонах
различную плотность точек в n-мерном пространстве. Будем считать, что nмерное вероятностное распределение может однозначно соответствовать
изменению плотности точек. Поскольку каждый из параметров изменяется в
179
ограниченном диапазоне, то все пространство удобно представить n-мерным
параллелепипедом,
измерения
которого
равны
диапазонам;
одномерные
вероятностные распределения будут существовать в пределах своих диапазонов.
Ранее обсуждался вопрос о независимости параметров. Результаты этого
обсуждения
останутся верными и для параметров настройки РПрУ. Это
обстоятельство позволяет записать
n
w n x1 , x 2 ,..., x n    w x i .
(5.82)
i 1
Из формулы (5.82) вытекает, что можно заниматься статистическими
исследованиями независимо по каждому из параметров.
Трехмерное изображение модели неэнергетических параметров показано
на рис. 5.13. Совокупность параметров x1 , x 2 ,..., x n  , относящаяся к одному
РПрУ, обозначена точкой. Всего N точек, изображающих рецепторы, на которые
может воздействовать НРП от нашего РПдУ, эквивалентные спектры излучения
которого показаны на рис. 5.13 в виде прямоугольного параллелепипеда,
стороны которого равны эквивалентной ширине  i спектра НРП.
Каждый из N рецепторов имеет некоторую энергетическую
характеристику, которую в общем случае называют восприимчивостью к
внешним воздействиям. Эту характеристику, как
и
мощность, можно
пересчитывать для разных положений, оценить эту восприимчивость на
расстоянии R от соответствующего РПрУ, говорить о плотности потока
восприимчивости. В этом отношении восприимчивость имеет отдаленный
аналог в электронике, где рассматривают не только перемещение электронов, но
и дырок. Примерно в таком отношении находятся интенсивность помехи и
восприимчивость к ней.
Совокупность
параметров
настройки
и
восприимчивостей
РПрУ,
пересчитанных в точку расположения РПдУ нашей РТС, характеризует условия,
при которых РПдУ должен не создавать помехи. Эту совокупность будем
считать моделью ЭМО в точке расположения РПдУ.
Если восприимчивость пересчитать в точку расположения РПдУ, то она
станет функцией дальности R, и вклад отдельных рецепторов в формировании
ЭМО будет различным. Статистические характеристики восприимчивости будут
180
зависеть от распределения дальностей w R  . Подходы к оценке плотности
вероятностей w R  для передающей ветви
не отличаются от тех, которые
применялись при изучении приемной ветви статистической теории ЭМС.
Параметры НРП, созданной нашим РПдУ те же, что и параметры
рецепторов x1 , x 2 ,..., x n  , укладывающиеся в диапазоны Dx 1 , Dx 2 ,..., Dx n .
По каждому из неэнергетических параметров существует распределение
интенсивности НРП Sx i  , иными словами, спектр НРП по данному параметру.
Удобно пользоваться понятием n-мерного нормированного спектра НРП
Sn x1 , x 2 ,..., x n . При взаимной независимости параметров такой спектр
можно представлять как произведение нормированных спектров по отдельным
параметрам:
n
Sn x1 , x 2 ,..., x n    S( x i )
(5.83)
i 1
Нетрудно обнаружить внешнее сходство формул (5.83) и (5.82).
Протяженность Sx i  по параметру x i можно оценить эквивалентной полосой
спектра  i данного i-го параметра, под которой будем понимать ширину
прямоугольного нормированного спектра, равноценного в каком-то отношении
реальному спектру по данному параметру. Условное изображение трехмерного
спектра НРП показано на рис. 5.13, на котором обозначен прямоугольный
параллепипед, ребра которого 1 ,  2 и  э – эквивалентые полосы спектра
по параметрам x1 , x 2 ,..., x n  . В дальнейшем следует установить, как
рассчитывать эквивалентые полосы спектров  i в конкретных условиях.
5.5.2 Действие НРП на рецепторы
Оценим число
N п пораженных радиоприемников по одному из
параметров х. Другими словами, выполним операции, аналогичные тем, которые
описаны в разделе 5.2.1.
Изобразим на рис. 5.14 три фигуры. На фигуре 5.14а показано
вероятностное распределение случайного параметра х настройки N рецепторов.
Предполагается сосредоточенная настройка, так что каждому рецептору
соответствует точка, а распределение совокупности точек описывается
181
w(х) . Фигура 5.14б описывает спектральную
плотностью вероятностей
детерминированную функцию S(x) распределения мощности НРП, созданной
нашим передатчиком по параметру х. На третьей фигуре 5.14,в приведено
вероятностное распределение мощности на выходе ансамбля из N РПрУ, на
которые возможно влияние НРП. Удобно взять за параметр распределения
мощность,
предъявляемую
получателю
Pпол ,
поскольку
ее
значение
определяется всеми предшествующими цепями РПрУ и не потребуется делать
пересчеты ко входу радиоприемника. Предполагая, что все цепи РПрУ линейны,
мощность
Pпол
восприимчивости
на
выходе
РПрУ,
РПрУ
можно
пересчитанной
к
считать
точке
пропорциональной
расположения
РПдУ,
создающего радиопомехи. Ансамбль мощностей Pпол имеет, таким образом,
однозначное соответствие ансамблю восприимчивостей в точке расположения
РПдУ. Такая логическая операция позволяет избежать сложных пересчетов
выходных эффектов от действия НРП в восприимчивость РПрУ, определенную в
точке расположения РПдУ.
Ансамбль
случайных
мощностей
Pпол представим вероятностным
распределением w Pпол  . Для этого распределения можно определить значения
Pпол max и Pпол 0 . Последняя мощность является пороговой, ниже которой
приемник не принимает НРП. Поскольку величина Pпол 0 может быть различной
для разных РПрУ, то можно предположить, что кривая w Pпол  слева будет в
какой-то степени размытой, не будет иметь резкого спада, характерного для
пороговой системы с точно известным порогом единственного РПрУ, как это
было при изучении приемной ветви статистической теории.
Пусть известна ЭМО, образованная N рецепторами, соответственно
имеются данные по одному из параметров х в форме вероятностного
распределения настройки рецепторов w x  , дано вероятностное распределение
мощности помехи, предъявляемой получателю от всех рецепторов w Pпол  , а
также известен спектр S(x) мощности НРП нашего РПдУ по параметру х.
Рассчитаем, какое среднее число N п рецепторов будет поражено НРП.
Ориентируемся на упоминавшийся рис.5.14. Выделим на рис. 5.14а полоску dx и
определим координату x
/
внутри этой полоски так, что вероятность dB
попадания параметра х рецепторов в эту полоску можно рассчитать по формуле
182
 
dB  w x / dx . Соответственно, среднее число настроек рецепторов dN,
приходящихся на полоску dx, найдем из выражения
 
dN  NdB  Nw x / dx .
(5.84)
Не все из этих рецепторов, число которых подсчитано по (5.84), будут
поражены НРП. Достаточность энергии для поражения определяется значением
спектральной характеристики при x  x
/
/
– значением S( x ) . Это можно
/
трактовать иначе: снижение уровня S( x ) в сравнении с максимальным можно
/
рассматривать как подъем порога от Pпол 0 до значения Pпол 0 / S(x ) . Тогда
можно считать, что для полоски dx созданы условия, при которых будет
поражаться в среднем следующее число рецепторов:
 
/
dN п  Nw x dx
Pпол max
 w Pпол dPпол .
(5.85)
Pполо /S(x)
Среднее число пораженных рецепторов подсчитаем путем интегрирования
результата, полученного в (5.85) по всему диапазону . Получим
N п  N  w x 
( Dx )
Pпол max
 w Pпол dPпол dx .
(5.86)
Pпол 0 / S( x )
Найдем далее эквивалентную по числу пораженных рецепторов полосу
спектра  э . Если по определению  э – ширина прямоугольного спектра, то
очевидно,
N п  N  w x dx .
(  э )
//
При определенных условиях внутри  э можно найти значение x , для
которого верно
 
N п  Nw x //  э .
(5.87)
Приравняем значения N п в (5.86) и (5.87) и решим полученное уравнение
относительно  э . Получим
 э   w x 
( Dx )
Pпол max
 // .
 w Pпол dPпол dx / w x
(5.88)
Pпол0 / S( x )
183
Такие расчеты можно выполнить по всем параметрам x i и иметь данные
для вероятностных оценок при n-мерном представлении НРП. Например,
нетрудно получить формулу, аналогичную (5.40), для определения числа
пораженных рецепторов или формулы типа (5.52) для того же числа через
эквивалентные обобщенные полосы спектров НРП.
5.5.3 Вероятность электромагнитной совместимости
Можно пользоваться понятием «вероятность ЭМС РТС» и в передающей
ветви статистической теории ЭМС РЭС. Будем считать, что n-мерная модель
параметров рецепторов (трехмерную см. на рис. 5.13), представляет собой
пуассоновскую систему случайных точек. Если предположить, что обобщенная
n
/
n-мерная полоса V    i неэнергетических параметров НРП охватывает
i 1
часть пространства, занятого системой случайных точек, то можно для объема


/
/
V / , центр которого имеет координаты x 01
, x 02
,..., x 0/ n , написать формулу
Пуассона в виде
 к (V / ) 
1  Nп
N п к ,
e
к!
(5.89)
где N п – среднее число пораженных рецепторов, приходящихся на обощенную
/
полосу V ; число N п можно рассчитать по формулам
n
 
N п  Nw п ( x1/ , x 2/ ,..., x n/ )V /  N w x i/  эi
i 1
(5.90)
С помощью (5.89) можно найти вероятность того, что в обобщенной
полосе V
/
не будет ни одного (к=0) пораженного рецептора. Использовав
также (5.90), получим
 
n


0 ( V )  exp  N  w xi  эi  .


i 1
/
(5.91)
Как и для приемной ветви, эту формулу можно объявить в соответствии с
ее содержанием вероятностью электромагнитной совместимости. Можно
устанавливать нормы, т.е. задавать какие-то заданные значения  0 з , близкие к 1,
184
удовлетворяющие требованиям практики. Это позволит рассчитать граничное
значение числа пораженных рецепторов N п гр . Получены, таким образом,
сходные по форме и содержанию оценки вероятности ЭМС РЭС для приемного
(см. (5.53)) и передающего (см.(5.91)) устройств РТС по отдельности. Обе
оценки выражены через экспоненты, показатели которых являются (с минусом)
числом мешающих сигналов N мс , проникающих через РПрУ нашей РТС, или
числом пораженных рецепторов N п помехой, непреднамеренно созданной
нашим РПдУ. Нетрудно также видеть, что это и существенно различные
проявления НРП. Однако если опереться на нормы или другие организационноправовые аспекты проблемы ЭМС, то возможна совместная оценка этих
явлений. Если создатели и пользователи РТС поставили себе задачу
укладываться в нормы на обоих концах РТС, то есть обеспечить заданные  0прз
и 0перз , и будут независимо осуществлять эти задачи, то обеспечение РТС в
целом можно оценить вероятностью
0РТС  0прз 0перз  eхр[  N мсгр  N пгр ] .
(5.92)
Таким образом, с помощью (5.92) мы пришли к выводу, что при нашем
подходе числа N мс и N п аддитивны. Теперь возможна и другая постановка
задачи: обеспечить заданное значение  0 РТСз , определив нужные для этого
числа  0пр и  0пер .
Обычно рассматриваемые вероятности на практике должны быть числами,
близкими к 1. На словах часто говорят: «Требуется иметь такое-то число (число
i) девяток” (имеется ввиду после запятой). Во многих случаях это же число
i
представляется разностью 1  10 .
185
Пусть стали известны: 0РТС  1  10
к
,  0пр 1  10
m
,  0пер  1  10
n
.
Подставим эти значения в формулу (5.92), выполним соответствующие
упрощения, основанные на малости чисел 10
i
и получим
10 к  10 m  10 n
(5.93)
По формуле (5.93) можно найти заданное «число девяток» к з для всей РТС
путем подбора чисел m и n, относящихся к радиоприемному и
радиопередающему устройствам соответственно. Обеспечить по (5.93) заданное
к з можно при разных сочетаниях m и n, что открывает возможность для
перераспределения усилий по ЭМС между РПдУ и РПрУ, т.е. возможна
оптимизация РТС по критериям ЭМС.
Пример 5.15. Определить в общем виде, какой станет вероятность  0 РТС ,
если 0 пр  0 пер . Сколько «девяток» (число к) будет иметь вероятность
0
РТС , если m = n = 3?
Решение.
По формуле (5.93) получим уравнение 10
к
 2  10 m ; из
которого следует, что к  m  lg 2 . Это значит , что m>к. В числах: если m=n=3,
то к  2,7 , что соответствует вероятности 0ртс  0,99 .
Возможно дальнейшее развитие передающей ветви статистической теории
ЭМС РЭС, опираясь на аналогию (с определенными оговорками) с приемной
ветвью. При этом можно успешно использовать инверсный метод исследования.
186