Document 504296

Вопрос 6. Загадки финансового рынка.
Основные стилизованные факты о динамике фондового рынка и потребления в развитых странах
Уравнение consumption CAPM связывает между собой динамические характеристики потребления и
фондового рынка – премию за риск и динамику уровня потребления. Поэтому интересно рассмотреть
статистические характеристики потребления и финансового рынка на практике, оценённые значения
параметров можно будет подставить в уравнение consumption CAPM и проверить, работает ли эта модель.
Для такой проверки использовались данные по 12 развитым странам (Австралия, Канада, Франция,
Германия, Италия, Япония, Нидерланды, Испания, Швеция, Швейцария, Великобритания и США). Данные
для большинства стран с 1970г. по 1994г. (для Швеции и Великобритании – с 1919 по 1993 г., для США – с
1890 по 1992г.)
Основные стилизованные факты (те, что нужны для проверки consumption CAPM) следующие (все
данные – в годовом выражении):
1) Средний доход по акциям высокий: Для США это 7,2% годовых (1947-1993 гг.). Для других стран доход
по акциям >=5%.
2) Средняя безрисковая ставка низкая
Для США это 0,7% годовых (за безрисковую ставку принимается процент по T-bills). Для других стран
безрисковая ставка меньше 3% (за исключением Германии и Нидерландов, т.к. для них выборка начинается
позже)
3) Доходность по акциям имеет высокую волатильность: Для США это 15,8%. Для других стран это 1628%, самая высокая - в Италии и Испании
4) Безрисковая ставка имеет намного меньшую волатильность: Для США это 1,8%. Для других стран
<3%.
5) Рост потребления достаточно гладкий: Для США волатильность (темпа роста потребления) 1,1%. Для
других стран  < 3% (между войнами немного выше 3%)
6) Рост дивидендов имеет очень высокую волатильность в SR. В LR волатильность роста дивидендов
меньше, чем волатильность доходности по акциям, но больше, чем волатильность роста потребления. Для
США это 6%
7) Рост потребления и рост дивидендов имеют слабую положительную корреляцию для квартальных
данных, и более высокую для данных с низкой частотой
В США это 0,05 (квартальные данные). Для данных с частотой 2-4 года корреляция равна 0,20.
Стилизованные факты порождают два основных вопроса:
1) Почему доходность по акциям так высока по сравнению со средней доходностью по облигациям? Это
загадка премии за риск (equity premium puzzle)
2) Почему доходность по акциям имеет такую высокую волатильность (опять же в сравнении с безрисковой
ставкой и дивидендами)? Это загадка волатильности фондового рынка (stock market volatility puzzle)
Consumption CAPM и стилизованные факты: загадка Mehra-Prescott
Покажем, что приведённые выше факты вступают в прямое противоречие с моделью consumption
CAPM. Вспомним уравнение 1 порядка для выбора портфеля активов, из которого она выводится:
(1) Et rt f 1  rt 1 u (Ct 1 )  0
Цель наших будущих преобразований – «вытащить» из этого уравнения характеристики временного ряда
потребления, чтобы использовать для тестирования, допустим, стилизованные факты. Для начала поделим
уравнение на u’(Ct) (это детерминированная величина, можно внести её под знак ожидания):

u (Ct 1 ) 
(1’) Et  rt 1  rt f 1
0
u (Ct ) 





Возьмём функцию полезности CRRA (постоянная относительная несклонность к риску):
C 1
u (C )C
(2) u(C ) 
, 
 rR
1
u (C )
Тогда условие 1 порядка преобразуется к виду:





 

f  Ct 1 
f  Ct 1  Ct
   Et  rt 1  rt 1 
 1   Et rt 1  rt f 1 g C  1  0
(3) Et  rt 1  rt 1 


 Ct  
 Ct
 
Получилась степенная функция темпа роста потребления и коэффициента несклонности к риску. Чтобы
делать дальнейшие преобразования, линеаризуем её, разложив в ряд Тейлора до 2 порядка:







1
(4) f ( g C ) g C 0  f (0)  f ' (0)( g C  0)  f ' ' (0)( g C  0) 2 / 2  1  g C   (  1) g C2
2
(выше 2 порядка нам не надо – во-первых, потому, что gc действительно близко к 0 и его более высокие
степени будут очень маленькими; во-вторых, мы будем тестировать на стилизованных фактах только темп
роста потребления и его волатильность, а это как раз 1 и 2 порядки)
Итак… (я совсем не уверена, что этот ужас нужно писать на экзамене, но привожу его):
1

Et rt 1  rt f 1 g C  1  Et rt 1  rt f 1 (1  g C   (  1) g C2 ) 
2
f
f
(5)
rt 1  rt 1  g C rt 1  g C rt 1 



 Et 1
  (  1) g 2 r  1  (  1) g 2 r f 
C t 1
C t 1
2
 2






Матожидание произведений раскрываем по стандартной формуле: это произведение матожиданий плюс
ковариация (константы rf и  везде выносятся из-под знака матожидания):
(6)
Выкидываем слагаемые выше 1 порядка (т.е. те, в которых есть дисперсия или произведение
матожиданий rt+1 и gC, они вычеркнуты красным). Это не очень точно, но наша цель – протестировать
consumption CAPM на стилизованных фактах, поэтому 1 порядка хватит:
(7) Et rt 1  rt f 1   covrt 1 , g C 
Получился частный случай модели consumption CAPM: премия за риск равна произведению величины риска
(ковариация) и цены риска (коэффициент относительной несклонности к риску). Из стилизованных фактов
(по данным США) получаем все параметры уравнения (7), за исключением  (Mankiw-Zeides 1991, данные
этих товарищей немножко отличаются от стилизованных фактов, но выводы те же):
данные по экономике США с 1890 по 1979г.:
 Премия за риск: 6%,
 Среднеквадратическое отклонение рисковой нормы отдачи: 16.7%,
 среднеквадратическое отклонение темпа роста потребления: 3.6%,
 коэффициент корреляции рисковой нормы отдачи и темпа роста потребления: 0.40
Оценим параметр относительной несклонности к риску:
Et rt 1  rt f 1
0.06

 25
(8)  
covrt 1 , g C  0.0167 * 0.036 * 0.40
Даже если предположить, что корреляция занижена (для неё сложно получить достоверную оценку), и взять
максимально возможную корреляцию = 1, получится:
Et rt 1  rt f 1
0.06

 10
(9)  
covrt 1 , g C  0.0167 * 0.036
С точки зрения микроэкономики данное значение характеристики несклонности к риску является не просто
большим, а совершенно нереалистично высоким (Mehra-Prescott, 1985). Так, например, индивид скорее
согласится на гарантированное снижение потребления на 17 процентов, чем примет риск снижения
потребления на 20 процентов с вероятностью 50 процентов.
Стилизованные факты не поддаются осмыслению в рамках модели оптимизации портфеля активов.
Загадка безрисковой ставки процента и её связь с загадкой премии за риск
Предположим, что коэффициент несклонности к риску действительно экстремально высок:   25
(может, у микроэкономистов о нём заниженные представления).
Пусть потребитель может занимать по безрисковой ставке r, выпишем в этом случае условие 1 порядка
для выбора уровня потребления (уравнение Эйлера):
1 r
Et u (Ct 1 )
(10) u (Ct ) 
1 
Снова используем функцию полезности CRRA и разложение в ряд Тейлора до 2 порядка и получаем:


1 

 Et 1  g C  
1 r
(10’)
1


 Et 1  g C   (  1) g C2 
2


1

 1 
 1   r
Ещё парочка алгебраических преобразований: (10’’) Et 1  g C   (  1) g C2  
2

 1 r
Отсюда получаем выражение, связывающее безрисковую ставку процента с другими параметрами:
1
1
(10’’’) r    Et g C      1 g2C   ( Et g C     1 g2C )
2
2
Эмпирические факты следующие:
 безрисковая ставка очень низкая
 коэффициент относительной несклонности к риску, если мы вычисляем его из consumption CAPM,
очень высокий (в правой части уравнения большое по модулю отрицательное слагаемое)
 волатильность темпа роста потребления очень низкая (1,1%), т.е. правая часть уравнения большая по
модулю и положительная
Чтобы левая часть уравнения тоже была большой или положительной, нужно, чтобы норма
межвременных предпочтений  была очень низкой или отрицательной. Индивиды должны ценить будущее
потребление не ниже или даже выше, тем текущее. В действительности это не так, в этом противоречии и
состоит загадка безрисковой ставки процента.
Загадка волатильности фондового рынка
 Статистика демонстрирует, что волатильность реальной нормы доходности капитальных активов (rt+1)
на порядок выше волатильности реальной краткосрочной безрисковой ставки процента (rrt+1) и намного
выше волатильности роста дивидендов
(11) Var (rt )  Var (r f t ), Var (rt )  Var ( g DIV )

Однако цены активов, дивиденды и ставка процента тождественно связаны между собой условием
отсутствия арбитража, что предполагает возможность объяснения колебаний цен активов за счет
ожидаемых изменений потока дивидендов и колебаний ставки процента
Можно показать противоречие также на нашей модели consumption CAPM, выведенной для функции
CRRA:
(7) Et rt 1  rt f 1   covrt 1 , g C 
В левой части доходность капитальных активов намного более волатильна, чем безрисковая ставка,
и эта разница не балансируется правой частью: темп роста потребления очень гладкий во времени.
Получается, что коэффициент несклонности к риску должен быть очень высоким или непостоянным во
времени. Последнее предположение – фактически изменение предпосылок относительно функций
полезности индивидов – является одним из методов решения загадок фондового рынка.
Современные исследования, пытающиеся объяснить загадки фондового рынка.
Направления этих исследований следующие:
 Модификация предпочтений
 Неожидаемая полезность (Epstein-Zin, 1989, 1991; Weil, 1989)
 Формирование привычек в потреблении (Abel, 1990, 1996; Constantinides, 1990; CampbellCochrane, 1999)
 Неполнота финансового рынка (Heaton-Lucas, 1996)
 Пузыри на финансовом рынке вообще и внутренние пузыри (Froot-Obstfeld, 1991)
 Неоднородность потребителей
 Акционеры и не-акционеры (Mankiw-Zeldes, 1991; Constantinides-Duffie, 1996)
 Ограниченная рациональность – noise traders (Campbell-Kyle, 1993; De Long et al., 1990)
1. Модификация предпочтений – неожидаемая полезность
Функция полезности CRRA, которую мы всегда рассматривали, скорее всего, неверно описывает
поведение потребителей. Она подразумевает жёсткую обратную взаимосвязь между относительной
несклонностью к риску и межвременной нормой замещения  :
C 1
u (C )C
1
u (C ) def
,  
 rR,  

1
u (C )

u (C )C
 - это внутривременной выбор (“intratemporal choice”) уровня риска и потребления в случае
неопределённости
σ – выбор потребления между периодами времени (“intertemporal choice” в детерминированном
случае; нет оснований связывать эти параметры
Epstein-Zin-Weil – рекурсивное задание функции полезности, через саму себя в следующем периоде:
(2) u (C ) 

1
1  1
 
1
1  

U

C

E
U
 ,
t
t 1
(8) t 1   t
1




  1    1  1  
При стандартном бюджетном ограничении в модели с полностью хеджируемыми рисками трудового
дохода (доход – детерминирован, а потому мы его обнулили)
(9) At 1   At  Ct (1  rt m1 )

можно выразить премию за риск таким образом: (10) Et rt 1  rt f 1  covrt 1 , g C   1    covrt 1 , rt m1 

Премия за риск определяется взвешенной комбинацией ковариации нормы отдачи актива и роста
потребления и ковариации нормы отдачи актива и нормы отдачи рыночного портфеля.
Это комбинация consumption CAPM (для индивида с CARA) и финансовой САРМ (та строилась для рискнейтрального инвестора). Поскольку функция полезности «плавающая», получилась такая комбинация.
Загадки финансового рынка получают объяснение:
 Объяснение высокой премии за риск высокой несклонностью к риску не порождает здесь загадку
безрисковой ставки
 Кроме того, премия за риск может быть отчасти объяснена высокой ковариацией доходностей актива и
рыночного портфеля
Проблема, однако, в том, что потребление слабо коррелированно с доходностью активов, поэтому
будет странно, если рыночный портфель (фактически, это портфель богатства индивида) сильно с ней
коррелирует. Потребление и богатство связаны межвременным бюджетным ограничением (9) и должны
меняться более-менее синхронно.
2. Модицикация предпочтений – привычки в потреблении
Загадки финансового рынка могут быть объяснены в случае, когда мера несклонности к риску высока и
меняется во времени. Данный результат можно получить, включив в модель «внутренние» или
«внешние» привычки в потреблении:
«Внутренние» привычки - это зависимость текущего потребления агента от своего потребления в
прошлом
«Внешние» привычки - это зависимость текущего потребления агента от прошлого агрегированного
потребления, на уровень которого он не может повлиять ( “catching up with the Jones”)
Типичная модификация задачи потребителя такая:

u (C t , H t )
max E 0 
, H t  C t1 ,
t
Ct


1


t 0
 
(11)
u (C t , H t ) 
Ct
Ht 
1

1
,
или
u (C t , H t ) 
Ct  H t 1
1
Ht – привычка в потреблении, полезность от неё зависит отрицательно (чем больше потреблял, тем
больше хочется)
Загадки финансового рынка хорошо объясняет второй способ введения привычек в полезность (с
разностью). Для этой функции получаем:
Ct
u (C )C  (C  H )  1 C
rR  



u (C )
Ct  H t
(C  H )
Коэффициент несклонности к риску изменяется во времени, он становится экстремально высоким, когда
потребление снижается до уровня привычки Н. Этим можно объяснить как загадку премии за риск, так и
загадку волатильност фондового рынка.
 Снижение потребления относительно «привычного» уровня приводит к росту степени несклонности
к риску
 Это (предсказуемо) приводит к росту премии за риск и снижению цен акций
 Цены акций оказываются намного более волатильными, чем потребление и безрисковая доходность
3. Неполнота финансового рынка
 Если финансовый рынок является полным, то динамика индивидуального потребления в среднем
обладает теми же характеристиками, что и динамика агрегированного потребления (мы строим
модель для индивидуального потребления, а тестируем – по агрегированному)
 В действительности, финансовый рынок не является полным. Прежде всего, сложно застраховаться
от всех рисков, связанных с трудовым доходом (т.е. трудовой доход не является полностью
диверсифицируемым)
 В такой ситуации темп роста индивидуального потребления может иметь большую корреляцию с
нормой отдачи, чем в случае с агрегированным потреблением. Это может объяснить высокую
премию за риск (мы по агрегированным данным считаем «неправильную» премию за риск, для
индивида она другая, у него корреляция нормы отдачи и потребления выше)
4. Пузыри на финансовом рынке
Высокая волатильность доходности акций и высокая премия за риск объясняются наличием в ценах
акций компоненты пузыря. Условие отсутствия арбитража для цены акции она не нарушает, но растёт
взрывным образом и имеет непредсказуемую стохастическую динамику, поэтому премия за риск будет при
наличии пузыря высокой, а доходность акций – сильно волатильной.
Внутренние пузыри – зависят от величины фундаментальных показателей (в частности, дивидендов)
5. Неоднородность потребителей – акционеры и не-акционеры
 Часть потребителей в силу определенных ограничений не имеет возможности покупать и продавать
акции - для них consumption CAPM не работает!
 Потребление «акционеров» (кто может купить акции) является более волатильным и сильнее
коррелированно с динамикой фондового рынка, чем потребление «не-акционеров» (Mankiw-Zeldes,
1991)
 Следовательно, данные по агрегированным потребительским расходам не подходят для тестирования
теорий типа consumption CAPM (надо тестировать только по «акционерам»)
6. Неоднородность потребителей – noise traders
 Некоторые инвесторы ведут себя иррационально (noise traders) – для них вообще модель построить
невозможно!
 Это вынуждает рациональных инвесторов отклоняться от рыночного портфеля, реагируя на поведение
noise traders – поэтому для них модель тоже работать не будет
 Арбитраж со стороны рациональных инвесторов является рисковой операций, а следовательно,
несовершенства финансового рынка могут налагать ограничения на арбитраж – условие отсутствия
арбитража не выполнится; загадка избыточной волатильности попросту не возникнет