Мастер – класс на РМО: «Задачи на проценты» Выполнила: Самашева Тагзия Шарифовна, учитель высшей категории Для решения этих задач требуется выполнить три простых шага: 1. Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого» для каждой смеси или сплава. Данные берутся из условия задачи. 2. Если какие-то ячейки таблицы остались незаполненными, обозначаем их переменными. 3. Составить уравнение по правилу: при объединении двух смесей (сплавов) массы складываются. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора? У нас есть три вещества 1. 4 литра 15-процентного раствора 2. 6 литров 25-процентного раствора 3. Третий раствор с неизвестной концентрацией Составим таблицу: Общая масса (кг) Масса чистого вещества (кг) Раствор 1 (15%) 4 0,15 *4 = 0,6 Раствор 2 (25%) 6 0,25 * 6 = 1,5 Раствор 3 х у Так как при смешивании все массы складываются, получаем уравнения: 4+6=х х=10 0,6 + 1,5 = у у=2,1 В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти её, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора: у : х =2,1 : 10 = 0,21 – это 21% Ответ: 21% Смешав 30-процентный и 60-процентные растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получили 36процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг Раствор 1 (30%) х 0,3х Раствор 2 (60%) у 0,6у Чистая вода 10 0 Раствор 3 (50%) 10 0,5 * 10=5 Смесь «30% + 60% + вода» х + у + 10 0,3х +0,6у + 0 Смесь «30% + 60% + х + у + 10 0,3х + 0,6у + 5 По условию концентрация смеси 30% + 60% + вода равна 36%- это 0,36. Получаем уравнение 0,3х+0,6у+0=0,36 (х+у+10). Аналогично, концентрация смеси «30%+60%+50%» равна 41%. Отсюда получаем ещё одно уравнение 0,3х+0,6у+5=0,41 (х+у+10). Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго 0,3х+0,6у+0=0,36 (х+у+10) 0,3х+0,6у+5=0,41 (х+у+10) 5 = 0,05(х + у +10) разделим на 0,05 100 = х+у+10 0,3х+0,6у = 0,36 100 умн. на 10 х+у+10 =100 у=90-х 3х+6 (90-х)= 360 х = 60, у=30 Нам нужна масса 30-процентного раствора. Мы её обозначили через х. Ответ: 60 Смешав 35-процентный и 70-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получили 42-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 35-процентного раствора использовали для получения смеси? Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг Раствор 1 (35%) х 0,35х Раствор 2 (70%) у 0,7у Чистая вода 10 0 Раствор 3 (50%) 10 0,5 10=5 Смесь «35%+70%+чистая вода х+у+10 0,35х+0,7у+0 Смесь «35%+70%+50%» х+у+10 0,35х+0,7у+5 Первый сплав содержит 5% меди, а второй- 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплав. Ответ дайте в килограммах. х у х+у 0,05 + 0,12 у–х=5 0,05х + 0,12у=0,11(х + у) х=1 у=1+5=6 х + у = 1+6=7 = 0,11 Ответ: 7 Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 42кг изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды? Решение 1)100% - 19% = 81% - это 0,81 сухого вещества в изюме 2) 42 0,81 = 34, 02(кг) сухого вещества в изюме 3) 100% - 82% = 18% - это 0,18 сухого вещества в винограде 4) 34,02 : 0,18 = 189(кг) винограда потребуется для получения 42кг изюма Ответ: 189кг Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 8кг изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды? 100% - 19% = 81% - это 0,81 не воды в изюме 8 0,81 = 6,48(кг) изюма без воды 100% - 82% = 18% - это0,18 не воды в винограде 6,48 : 0,18 = 36(кг) винограда потребуется для получения 8кг изюма Ответ: 36кг Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов 5 рубашек дороже куртки? Решение Стоимость 4 рубашек составляет100% - 8% = 92% стоимости куртки. Значит стоимость одной рубашки составляет 92% : 4 = 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость 5 рубашек: 23% 5 = 115%. Это превышает стоимость куртки на 115% - 100% = 15% Ответ: на 15% В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на вдвое большее число процентов. В результате они стали стоить на 12% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение. Пусть акции стоили Р рублей и подорожали в понедельник на х процентов . Тогда по условию: Р(1+ х ) (1-2 ) = 0,88Р 100 (1+ )(1-2 ) = 0,88; + 50х – 600 = 0; х=10 Впонедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле. На сколько процентов подорожали акции в понедельник? Решение: Пусть первоначальная стоимость акции-1. Тогда в пн. акции подорожали на с100% и их стоимость стала 1+с1. Во вторник- подешевели с100% и их стоимость стала 1+сс(1+с). В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Тогда 1+с-с(1+с)=0,96; 1- = 0,96; =0,04; с = 0,2 (с0) Ответ: на 20%