Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение «Ярковская средняя общеобразовательная
школа»
Решение
логарифмических
неравенств методом
рационализации
Автор: ученица 10 «А» класса
МАОУ «Ярковская СОШ»
Шанских Дарья
Руководитель: учитель математики
МАОУ «Ярковская СОШ»
Ганихина А.В.
Ярково 2013 г.
Цели:
1) Овладеть данным приемом решения
2) Отработать навыки решения на заданиях С3 из
тренировочных и диагностических работ 2013 г.
Задачей проекта является изучение
теоретического обоснования метода
рационализации.
Актуальность работы заключается в том, что
данный метод позволяет успешно решать
логарифмические неравенства части С3 ЕГЭ по
математике
Неравенство, содержащее переменную под
знаком логарифма, называется
логарифмическим.
Например, неравенства вида:
log a f x   log a  x  log a f x   log a  x 
При а > 0, а ≠ 1 являются логарифмическим
Решение простейших
логарифмических неравенств:
log a x1  log a x2 
log a x1  log a x2 
a>1
x1 > x 2 > 0
0<a<1
x2 > x1 > 0
a>1
x2 > x 1 > 0
0<a<1
x1 > x2 > 0
Решение логарифмических
неравенств с применением
доказанного свойства
Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно
неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ
Аналогично неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x)
равносильно неравенству (f – g)(h – 1) < 0 на ОДЗ
Доказать, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1)
одинаковых знаков.
Доказательство.
и (b – 1)(а – 1) > 0
Докажем, например, что log а b > 0
1) Перейдём к основанию, например, 2
log 2 b
log а b 
; 2) Неравенство log а b > 0 перепишем в виде
log 2 a
log 2 b
 0.
log 2 a
log 2 b  0

а) 
log 2 a  0
3) Дробь положительна, если числитель и
знаменатель одинаковых знаков, тогда
b  1  0
log 2 b  log 2 1
b  1
 a  1  0 




log 2 a  log 2 1
a  1
 0.
 b  1 a с1основанием
Логарифмическая
2 возрастающая,
 функция
тогда
б)

log 2 b  0

log 2 a  0
b  1  0


a  1  0

log 2 b  log 2 1

log 2 a  log 2 1

b  1

а  1

 b  1 a  1  0.
Доказано, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1)
одинаковых знаков.
Это свойство используется при решении логарифмических
неравенств, где выражение log а b можно заменить выражением
(b – 1)(а – 1) того же знака
Чтобы не возникало проблем, необходимо находить ОДЗ
переменной, так как формальная замена приводит к расширению
области определения неравенства
Доказать, что при всех допустимых значениях переменной х
неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно
неравенству (f – g)(h – 1) > 0.
Доказательство. 1) Перейдём к основанию, например, 2
log 2 f
log h f 
;
log 2 h
log 2 g
log h g 
;
log 2 h
2) Неравенство log h f (х) > log h g(х) перепишем в виде
log 2 f log 2 g

log 2 h log 2 h

log 2 f  log 2 g
 0.
log 2 h
3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель
одинаковых знаков, тогда
log 2 f  log 2 g  0

а) 
log 2 h  0

log 2 f  log 2 g

log 2 h  log 2 1

f  g

h  1

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда

f g 0
  f  g  h  1  0

h  1  0
log 2 f  log 2 g  0
б) 
log 2 h  0


log 2 f  log 2 g

log 2 h  log 2 1

f  g

h  1

f g 0
  f  g  h  1  0

h  1  0
Доказано - неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x)
равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ
Заключение
Считаю, что задачи, которые поставила перед
собой при выполнении работы, достигнуты. Проект
имеет практическое значение, так как предложенный в
работе метод позволяет значительно упростить
решение логарифмических неравенств. В результате
количество вычислений, приводящих к ответу,
уменьшается примерно в два раза, что экономит не
только время, но и позволяет потенциально сделать
меньше арифметических ошибок и ошибок «по
невнимательности». Теперь при решении задач С3 я
использую данный метод.