Равные векторы

Векторы в пространстве
вход
Содержание
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Понятие вектора в пространстве
Коллинеарные векторы
Компланарные векторы
Действия с векторами
Разложение вектора
Базисные задачи
Проверь себя
Об авторе
Помощь в управлении презентацией
Выход
Понятие вектора в пространстве
Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM  0
Длина вектора AB – длина отрезка AB.
AB  AB
0 0
Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их
начала.
a
a  b
b
Нулевой вектор считается сонаправленным с
любым вектором.
• Равные векторы
Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a  b  a  b, a  b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.
Противоположно направленные
векторы
Противоположно направленные векторы –
векторы, лежащие по разные стороны от прямой,
проходящей через их начала.
a
a  b
b
•
Противоположные векторы
Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a  b  a  b, a  b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.
Признак коллинеарности
Если существует такое число k при котором
выполняется равенство a  k b и при том
вектор b  0, то векторы a и b коллинеарн ы.
Доказательство
Доказательство признака
коллинеарности
Два вектора a и b коллинеарн ы тогда и
только тогда, когда имеет место равенство
a  kb
вектор k a  b, если k  0
( следует из определения
вектор k a  b, если k  0
произведения вект ора на число)
Значит вектор b и k a коллинеарн ы,
т.к. сонаправленные и противоложно
направленные векторы лежат на одной
или параллельных прямых.
ч.т.д.
Определение компланарных
векторов
Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1  компланарн ы, т.к.
BB1  AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)
О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a 
b 
a
b
a и b  компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c 
компланарны
если
a , b, c
a  kb
Признак компланарности
Если вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с  xa  yb
где х и у  некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.
Доказательство
Задачи
Задачи на компланарность
1)
2)
Компланарны ли векторы:
а) a, b, 2a, 3b;
б) a, b, a  b, a  b ?
Справка
Решение
Известно, что векторы a , b и c компланарны.
Компланарны ли векторы:
а) a, 2b, 3c;
б) a  b, a  2c, 2b  3c ?
Справка
Решение
Решение
а )векторы a и 2a коллинеарн ы,
векторы b и 3b коллинеарн ы,
значит векторы a, b, 2a и 3b компланарн ы
б )векторы a, b и a  b компланарн ы,
векторы a, b и a  b компланарн ы,
значит векторы a, b, a  b и a  b компланарн ы
Решение
a) если векторы a , 2b , 3c компланарн ы,
то существуют такие х и у,что
a  xb  y c
проверяем существуют ли такие т и п,что
a  m  2b  n  3c
имеем :
x
2m  x m 
2
y
3n  y n 
3
m и п определяют ся единственным образом,
значит векторы компланарн ы
Решение
б)если векторы a  b , a  2c , 2b  3c
компланарн ы, то существуют такие х и у,что
a  b  x( a  2c )  y(2b  3c )
a  b  x a  2xc  2yb  3y c
a(1  x)  b(1  2y)  c( 2x  3y)  0
1  x  0  x  1


1
1  2y  0 

y
3y  2x  0 
2
1
a  b  a  2c  (2b  3c )
2
искомые х и у существуют,
значит векторы компланарн ы
Доказательство признака
компланарности
B1 OC  xOA  yOB
С
c
b B
A
A1
O
a
Дано :
с  x a  yb
x, y  некоторые числа
Доказать :
a, b и с  компланарны
Доказательство :
Пусть a и b  не коллинеарн ы
О  произвольн ая точка
OA  a , OB  b
OA ,OB ,OA1 ,OB1  (OAB)
OA1  x  OA OB1  y  OB 
OC  c  OA1  OB1  x  OA  y  OB
OA  a ,OB  b ,OC  c лежат в одной плоскости
a ,b , c  компланарн ы ч.т.д
Свойство компланарных
векторов
Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них
можно выразить линейным образом через два других,
т.е. представить в виде :
с  xa  yb
причем коэффициен ты разложения
определяются единственным образом.
Действия с векторами
•
•
•
•
Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число
Скалярное произведение
Сложение векторов
•
•
•
•
•
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
Свойства сложения
Правило треугольника
Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой  нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
А
b
ab
b
C
Правило треугольника
B
a
А
ab
b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB  BC  AC
Правило параллелограмма
Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой  нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма  сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b
с ab
C
Свойства сложения
Для любых векторов a , b и c справедливы
равенства :
ab ba
a  b с  а  b  с 
переместительный закон
сочетательный закон
Правило многоугольника
Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
abcd e
e
c
E
d
Пример
D
AB  BC  CD  DE  AE
Пример
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
AA1  D1C1  A1 D  BA  CB  0
Правило параллелепипеда
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1
C1
1
d
AB  b
D1
с bB
C
А
a
AD  a
D
AC1  AD  AB  AA1
AA1  c
AC1  d
Свойства
B1
C1
A1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d  a  b  c для любого параллелепипеда
d 2  a 2  b 2  c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда
Вычитание векторов
• Вычитание
• Сложение с противоположным
Вычитание
Разностью векторов a и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору a .
Вычитание
Для вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой  нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
Правило трех точек
a
a b
A
b
C
Правило трех точек
Любой вектор можно представить как разность
двух векторов, проведенных из одной точки.
B
BK  AK  AB
А
BK
K
Сложение с противоположным
Разность векторов
как сумму вектора
a
a
и
b можно представить
и вектора,
противоположного вектору
 
b.
a b  a  b
a
B
b
ab
b
O
А
a
Умножение вектора на число
Произведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к  а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k  0 и противоположно направлены при k  0.
a
2a
b
1
 b
3
Свойства
• Произведением нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
0n  0
• Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
n0  0
Свойства
Для любыхвект оровa и b и любых
чисел k, l справедливы равенст ва:
(kl)a  k(la )
сочет ат ельный закон
k( a  b )  k a  k b
1  ый распределит ельный
закон
(k  l)a  k a  l a
2  ой распределит ельный
закон
Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
ab  a  b cos( a ; b )
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения
Справедливые утверждения
• скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны
ab  0 a  0 b  0  a  b
• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
2
a
 а
2
а
2
Вычисление скалярного
произведения в координатах
Скалярное произведение векторов ax1 ; y1 ; z1 
и bx 2 ; y2 ; z 2  выражается формулой
a b  x 1 x 2  y1 y 2  z 1 z 2
Доказательство
Доказательство формулы
скалярного произведения
Доказатель ство :
I . при a  0 или b  0, равенство
ab  x1 x2  y 1 y2  z1 z 2 справедливо, т.к . 00;0;0
II . при a  0, b  0
О  произвольн ая точка
B
b
OA  a, OB  b
если a и b неколлинеа рны, то
α a
AB 2  OA 2  OB 2  2  OA  OB  cosα ( по т еоремOекосинусов)
A
это равенство верно и в том случае когда векторы
a и b коллинеарн ы
O
B
A
2
2
cosα  1, AB  (OA  OB) 
2
2
 OA  OB  2OA  OB 
2
2
 OA  OB  2OA  OBcosα
B
b
O
a
A
2
2
cosα  1, AB  (OA  OB) 
2
2
 OA  OB  2OA  OB 
2
2
 OA  OB  2OA  OBcosα
Доказательство формулы
скалярного произведения
Так как AB  b  a , OA  a , OB  b , то
2
2
2
1
ab  ( a  b  b  a )
2
ax1 ; y1 ; z1  bx2 ; y2 ; z 2  b  ax2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1 
2
2
a  x  y  z , b  x22  y22  z 22 ,
2
1
2
1
2
1
2
b  a  (x2  x1 )2  (y 2  y1 )2  (z 2  z1 )2
1 2
ab  (x1  y12  z12  x22  y22  z 22  (x2  x1 )2  (y 2  y1 )2 
2
1
 (z 2  z1 )2 )  (x12  y12  z12  x22  y22  z 22  x22  2x1 x2 
2
 x12  y22  2y1 y2  y12  z 22  2z1 z 2  z12 )  x1 x2  y1 y2  z1 z 2
Свойства скалярного
произведения
Для любых векторов a , b и с и любого
числа k справедливы равенства :
10 .
2
a  0 причем a  0 при a  0
20. a b  ba (переместительный закон)
(распределительный
0
a

b
c

a
c

b
c
3.
закон)
40. k a b  k a  b (сочетательный закон)
 
   
Разложение вектора
• По двум неколлинеарным векторам
• По трем некомпланарным векторам
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
Доказательство
Доказательство теоремы
Дано :
b
a, b  неколлинеа рные
векторы
Доказать :
p
a
P
B
p
a
A
p коллинеарен b .
p  yb , где y –
1)Пусть
Тогда
некоторое число.
Следовательно,
b
O
p  x a  yb
Доказательство :
A1
p  0 a  y b
т.е. p разложен по
векторам a и b .
Доказательство теоремы
2) p не коллинеарен ни вектору a , ни вектору b .
Отметим О – произвольную точку.
OA  a OB  b OP  p
PA BO PA  OA  A
1
1
1
p  OA1  A1 P(пп правилу треугольника)
но : OA1 и A1 P коллинеарн ы a и b соответственно,
значит OA1  x a , A1 P  yb ,
следовательно p  x a  yb , т.е. p разложен по a и b
ч.т.д.
Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом.
Допустим: p  x1 a  y1 b
Тогда: p  x a  y b  z c
1
1
-
1
p  x a  yb  z c
0  (x  x1 )a  (y  y1 )b
x  x1  0, y  y1  0,
если бы x  x1  0 то a  
y  y1
b
x  x1
а значит a , и b коллинеарн ы, что
противоречит условию теоремы
значит x  x1  0, y  y1  0, откуда
x  x1 и y  y1 .
Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде
p  xa  yb  z c
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Доказательство
Доказательство теоремы
С
с
P
p
b
O
B
P2
P1
aA
Доказательство :
О  произвольн ая точка
Дано :
abc
некомпланр ные
векторы
p  x a  yb  z c
OA  a OB  b OC  c OP  p
AP OC AP  (AOB)  P1 P2 P1 OB
OP  OP2  P2 P1  P1 P
OP2 , и OA , PP1 и OB , P1 P , OC  коллинеарн ы
OP2  x  OA , P2 P1  y  OB , P1 P  z  OC
OP  x  OA  y  OB  z  OC
p  x a  yb  z c ч.т.д.
Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом.
Допустим: p  x1 a  y1 b  z1 c
Тогда: p  x a  y b  z c
1
p  x a  yb  z c
1
-
1
0  (x  x1 )a  (y  y1 )b  (z  z1 )c
x  x1  0, y  y1  0, z  z1  0
x  x1
y  y1
если бы z  z1  0 то с  
a
b
z  z1
z  z1
а значит a , b , и с компланарн ы, что
противоречит условию теоремы
значит x  x1 , y  y1 , z  z1
Базисные задачи
Вектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в точку отрезка
Вектор, соединяющий середины двух отрезков
Вектор, проведенный в центроид треугольника
Вектор, проведенный в точку пересечения
диагоналей параллелограмма
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда
Вектор, проведенный в середину
отрезка,
равен полусумме векторов, проведенных из той же
точки в его концы.
С
A
B
O
1
1
1
OC  ( OA  OB )  OA  OB
2
2
2
Доказательство
Доказательство
С
A
B
O
Доказательство :
OC  OA  AC
OC  OB  BC
Дано :
AB  отрезок
AC  CB
Доказать :
1
OC  ( OA  OB )
2

2OC  OA  AC  OB  BC  OA  OB  ( 
AC

BC

)
o
2OC  OA  OB  2
1
OC  ( OA  OB ) ч.т.д.
2
Вектор, проведенный в точку отрезка
Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.
A
m
Сn
B
O
n
m
OC 
OA 
OB
mn
mn
Доказательство
Доказательство
A
m
Сn
O
Доказатель ство :
B
Дано :
AB  отрезок
AC  m
CB  n
Доказать :
n
m
OC 
OA 
OB
mn
mn
OC  OA  AC
m
m
AC 
AB 
(OB  OA)
mn
mn
m
m
OC  OA 
OB 
OA 
mn
mn
m
m
 OA 
OA 
OB ч.т.д.
mn
mn
Вектор, соединяющий середины двух
отрезков,
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
С
N
D
B
С
N
D
B
M
M
A
A
1
1
MN  ( AD  BC )  ( AC  BD )
2
2
Доказательство
Доказательство
С
N
D
B
M
A
Доказатель ство :
MN  MA  AC  CN
MN  MB  BD  DN

2 MN  AC  BD
1
MN  ( AC  BD ) ч.т.д.
2
Дано :
AB; CD
BM  AM
CN  ND
Доказать :
1
MN  ( AC  BD )
2
Вектор, проведенный в центроид
треугольника,
равен одной трети суммы векторов, проведенных из
этой точки в вершины треугольника.
Центроид – точка пересечения медиан
треугольника.
O
С
A
M
B
1
OM  ( OA  OB  OC )
3
Доказательство
Доказательство
O
С
A
M
K
B
Дано :
ΔABC
M  центроид
Доказать :
1
OM  ( OA  OB  OC )
3
Доказательство :
1
2
OM  OA  OK 
3
3
1
2 1
 OA  ( ( OC  OB )) 
3
3 2
1
1
1
1
 OA  OB  OC  ( OA  OB  OC ) ч.т.д.
3
3
3
3
Вектор, проведенный в точку пересечения
диагоналей параллелограмма,
равен одной четверти суммы векторов, проведенных
из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
1
OM  ( OA  OB  OC  OD )
4
Доказательство
Доказательство
O
B
C
M
Дано :
ABCD  пар  м
BD  AC  M
Доказать :
1
OM  ( OA  OB  OC  OD )
4
A
D
1
OM  ( OA  OC )
2

1
OM  ( OB  OD )
2
1
1
1
1
2OM  OA  OB  OC  OD
2
2
2
2
1
1
1
1
OM  OA  OB  OC  OD 
4
4
4
4
1
 ( OA  OB  OC  OD ) ÷.ò.ä.
4
Вектор, лежащий на диагонали
параллелепипеда,
равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах,
исходящих из одной вершины.
B1
C1
A1
a
A
d
D1
B
C
b
с
D
d  abc
Доказательство
Доказательство
B1
C1
A1
a
A
d
AA1  a
D1
B
C
b
с
D
Доказательство :
AC1  AA1  AB1  BC1 
 AA1  AB  AD 
 a  b  c ч.т.д.
Дано :
ABCDA1B1C1D1  пар  м
AB  b
AD  c
AC1  d
Доказать :
d abc
Помощь в управлении
презентацией
• управление презентацией осуществляется с
помощью левой клавиши мыши
• переход от одного слайда к другому и на
гиперссылки по одиночному щелчку
• завершение презентации при нажатии кнопки
выход
переход к следующему слайду
возврат к содержанию
возврат к подтеме
возврат с гиперссылок
Проверь себя
• Устные вопросы
• Задача 1. Задача на доказательство
• Задача 2. Разложение векторов
• Задача 3. Сложение и вычитание векторов
• Задача 4. Скалярное произведение
Устные вопросы
Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных
вектора коллинеарны?
б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?
в) любые два равных вектора коллинеарны?
г) любые два сонаправленных вектора равны?
д) если a  b, b  c, то a  c ?
е) существуют векторы a , b и c такие, что a
и c не коллинеарны, b и c не коллинеарны, а a
и b коллинеарны?
Ответы
Ответы
а) ДА
б) НЕТ (могут быть и противоположно
направленными)
в) ДА
г) НЕТ (могут иметь разную длину)
д) ДА
е) ДА
Задача 1. Задача на доказательство
B1
A1
M
B M1 2
А
Решение
C1
D1
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1  пар  д
М 1 , М 2  точки пересечения
медиан ΔА1 ВD и ΔD1CB1
соответственно
Доказать :
AM 1  M 1 M 2  M 2 C1
Решение
B1
A1
M
B M1 2
C1
D1
C
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1  пар  д
М 1 , М 2  точки пересечения
медиан ΔА1 ВD и ΔD1CB1
соответственно
Доказать :
AM 1  M 1 M 2  M 2 C1
А
D
Доказательство :
Рассм. тетраэдр AA1 BD
M 1  центроид ΔA1 M 1 B
1
AM 1  ( AA1  AB  AD )
3
AC1  AA1  AB  AD по правилу пар  да
1
AM 1  AC1
3
1
M  AC1 AM 1  AC1
3
1
аналогично M 2  AC1 C1 M 2  AC1
3
следовательно AM 1  M 1 M 2  M 2 C1 ч.т.д.
Задача 2. Разложение векторов
Разложите вектор по a , b и c :
D
N  точка пересечения
медиан ABC
a
A
b
N
c
а) DB
б) CB
в) DC
г) DN
Решение
B
C
Решение
а) DB  b  a
б) CB  b  c
в) DC  c  a
г) DN   a  1 AN   a  1 ( 1 ( b  c )) 
3
1
1
 a  b  c
6
6
3 2
Задача 3. Сложение и вычитание
Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
CM  MK
DM  MA
SD  ST
PL  PK
AC  BC  PM  AP  BM
AD  MP  EK  EP  MD
Решение
Решение
а) CM  MK  CK
б) DM  MA  DA
в) SD  ST  TD
г) PL  PK  KL
д) AC  BC  PM  AP  BM 
 AC  CB  MP  PA  BM 
 AB  MA  BM  AM  MA  0
е) AD  MP  EK  EP  MD 
 AD  DM  MP  PE  EK 
 AK
Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:
C1
B1
A1
D1
a
B
A
а) AD  B1C1
б) AC  C 1 A1
в)D1 B  AC
г)BA1  BC 1
Решение
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1  куб
AB  a
Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:
B1
C1
O1
A1
D1
a
B
A
д) A1O1  A1 C1
е)DO1  B1O1
ж)BO1  C1 B
Решение
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1  куб
AB  a
A1C1  B1 D1  O1
Решение
2
а) AD  B1C1  AD  AD 2  a 2
б)AC  диагональ квадрата
AC  A1C1  C1 A1
AC  C 1 A1  AC  (  A1C1 )   AC  A1C1  (a 2 )2  2a 2
в)D1 B  диагональ куба
D1 B  a 2  (a 2 )2  3a(п( т.Пифагора из ΔDD1 B)
2
 a3 3
D1 B  AC  3a 2  a 2  cos45  a 3 6 
2
г)BA1 , BC 1  диагонали квадратов
ΔA1 BC 1  равносторонний, A1 BC 1  60
1 2a 2
 a2
BA1  BC 1  a 2  a 2  
2
2
Решение
д)A1O1  половина диагонали квадрата
A1C1  диагональ квадрата
O1 A1C1  0
a 2
A1O1  A1 C1 
 a 2  cos0  a 2
2
е)D1O1 , B1O 1  половины диагонали квадрата
a 2 a 2
a2
D1O1  B1O1  D1O1  ( O1 B1 )  


2
2
2
Решение
ж)I способ  решение по определению :
B1
C1
O1
a 2 2 a 6
A1
BO1  a 2  (
) 
D1
2
2
C1 B  диагональ квадрата
c
B
1
1
C
b a
O1 BC 1  A1 BC 1   60  30
2
2
A
a 6
3 2 D
BO1  C1 B  BO1  (  BC 1 )  
 a 2  cos30   a
2
2
II способ  разложение по базису :
1
1
BO1  a  b  c
2
2
C1 B  b  a
2
1
1
BO1  C1 B  ( a  b  c )  ( a  b )  ( a  ab 
2
2
2
1
1
1
1 2
1 2
3 2
 ac  bc  ab  b )  ( a  a )   a
2
2
2
2
2
2