конкурс2013

Автор :Хуррамова Луиза 8 класа
МКОУ «Светлоозёрская сош»
Руководитель : Понкратова Т.В.
Основные теоретические сведения
Площадь
квадрата
Площадь
трапеции
Площадь
параллелограмма
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению
его смежных сторон S = ab.
• Доказательство
•
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S.
Докажем, что S = ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b,
как показано на рисунке 1.
• Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого
квадрата равна (a + b)2.
С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с
площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (так как, по
свойству площадей, равные многоугольники имеют равные площади) и двух
квадратов с площадями a2 и b2. Так как четырехугольник составлен из
нескольких четырехугольников, то, по свойству площадей, его площадь равна
•
сумме площадей этих четырехугольников:
(a + b)2 = S + S + a2 + b2, или a2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2.
Отсуда получаем: S = ab, что и требовалось доказать.
Площадь квадрата
• Квадрат — это правильный четырёхугольник
у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна
квадрату его стороны:
S = a2
• Доказательство
Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных
квадратов так, как показано на рисунке 1.
• Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь
каждого маленького квадрата равна 1/n2. Сторона каждого
маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,
S = 1/n2 = (1/n)2 = a2. Так же площадь квадрата можно найти с
помощью следующих формул:
S = 4r2,S = 2R2,
r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне S = a • h.
Доказательство
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является
прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для
определенности A острый.
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь
трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и
треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую
CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей
прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные
треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади.
Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади
прямоугольника AEFD, т.е. равна AE • AD. Отрезок AE – высота
параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно,
S = a • h, S = a · b · sin α, α угол между сторонами параллелограмма.
S=1/2 d1*d2*sinφ, где d1, d2- диагонали параллелограмма.
Площадь треугольника
• Произвольный
треугольник
Прямоугольный
треугольник
Равносторонний
треугольник
Произвольный треугольник
• a, b, c — стороны; α— угол между сторонами a и b;
p— полупериметр; R — радиус описанной
окружности; r — радиус вписанной окружности; S —
площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.
S=
1
2
aha
S=
•
1
2
ab sin α
S = pr
S  p( p  a)( p  b)( p  c)
abc
S
4R
abc
p
2
Прямоугольный треугольник
• a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота,
проведенная к стороне c.
1
1
• S = 2 ab
S = chc
2
Равносторонний треугольник
Sa
2
3
4
Площадь круга
• Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на
число пи.
S = π r2
• Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата
диаметра на число пи.
1
S = 4 π d2
•
где S - Площадь круга,
r- длина радиуса круга,
d- длина диаметра круга.
Площадь ромба
• Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и
длины опущенной на эту сторону высоты.
S=a·h
• Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его
стороны и синуса угла между сторонами ромба.
S = a2· sin α
• Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведения
длин его диагоналей.
1
S = d1 · d2
2
где S - Площадь ромба,a- длина стороны ромба,
h- длина высоты ромба,
α- угол между сторонами ромба,
d1, d2 - длины диагоналей.
Площадь трапеции
Формула площади трапеции по длине основания и
высоте и формула Герона для трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы
ее оснований на высоту
1
S  (a  b)  h S  p( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )
2
где S - площадь трапеции,
a, b- длины оснований трапеции,
c, d- длины боковых сторон,
p-полупериметр трапеции.
abcd
p
2
Где можно применить реально?
• ege.yandex.ru
• egeigia.ru›all-gia…gia/grafik…rabot-ege-i-gia-2014
• visko.ru›forum.php?cklw=vivod&jane=2018
• polethotel.ru›?giaege&wwow=mapker&hsnw=topic-398
• дом-мечта.рф›znatok/index.php?cat=15
• alexlarin.net
Задачи для самостоятельного решения
𝝅
Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную
трапецию площади, равной 8, если боковая сторона
трапеции в 2 раза больше её высоты.
ответ
Площадь равнобедренной трапеции равна 96. диагональ
трапеции делит её тупой угол пополам. Длина меньшего
основания равна 3. найти периметр трапеции
42
ответ
Сторона квадрата, вписанного в круг, отсекает сегмент
площади 2(𝝅 − 𝟐). Найти отношение площади круга к
площади квадрата.
𝝅
ответ
𝟐
Задачи повышенной сложности
• 1) Нижнее основание равнобедренной трапеции
равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь
трапеции, если ее диагональ перпендикулярна
боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания
равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно
11, боковая
4 5 сторона равна 5, а диагональ равна
Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5,
а средняя линия равна 4. Найти площадь.
• 5) В равнобедренной трапеции основания равны 12
и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее
нижним основанием угол 45ᴼ . Найти площадь
трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее
боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до
нее от середины противоположной боковой
стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на
треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту,
если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок,
соединяющий середины оснований равен 2. Найти
площадь трапеции