3 Применение симплекс - метода

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE
MATERIÁLOVOTECHNOLOGICKÁ FAKULTA V TRNAVE
IŽEVSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA M. T. KALAŠNIKOVA
OPERAČNÁ ANALÝZA
SEMESTRÁLNA PRÁCA
Využitie lineárneho programovania v priemyselných podnikoch
Študijný program: Priemyselné manažérstvo
Názov študijného odboru: Priemyselné inžinierstvo
Školiace pracovisko: Ústav priemyselného inžinierstva, manažmentu a kvality
Vedúci semestrálnej práce/školiteľ: Prof. Ing. Peter Sakál, CSc.
Konzultant: Prof. Ing. Peter Sakál, CSc.
TRNAVA 2013
Ekaterina Kniazeva
СЛОВАЦКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В БРАТИСЛАВЕ
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ В ТРНАВЕ
ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Т. КАЛАШНИКОВА
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
СЕМЕСТРАЛЬНАЯ РАБОТА
Использование линейного программирования на промышленных предприятиях
Программа обучения: Производственный менеджмент
Область исследования: Промышленное строительство
Отдел обучения: Департамент промышленного производства, управления и качества
Научный руководитель: проф. Peter Sakal, кандидат наук.
Консультант: проф. Peter Sakal, кандидат наук.
ТРНАВА 2013
Екатерина Князева
• Práca je taktiež súčasťou schváleného projektu KEGA č.
037STU-4/2012 „Implementácia predmetu „Udržateľné
spoločensky zodpovedné podnikanie“ v rámci študijného
programu Priemyselné manažérstvo na druhom stupni štúdia na
MTF STU Trnava.“
Введение
1. О линейном программировании
2. Симплекс – метод (СМ)
2.1 Теоретические основы
2.2 Алгоритм СМ
2.3 Табличный СМ
2.4 Двойственный СМ
3. Применение симплекс – метода
Заключение
Введение
• Исследование операций – это комплексная математическая
дисциплина,
занимающаяся
построением,
анализом
и
применением математических моделей принятия оптимальных
решений при проведении операций.
• Данная область, связанна с оптимальными способами
организации целенаправленных процессов и результатов
человеческой деятельности. Все, что связано с организацией
каких-либо действий, направленных к достижению определенной
цели, относится к исследованию операций. В рамках
исследования
операций
сформированы
отдельные
самостоятельные направления.
Что такое линейное программирование?
• Линейное
программирование
–
это
направление
математического программирования, изучающее методы решения
экстремальных задач, которые характеризуются линейной
зависимостью между переменными и линейным критерием.
• Основатели:
Леонид Витальевич Канторович (1912 - 1986)
Джордж Бернард Данциг (1914 - 2005)
Основные элементы линейного программирования
• Переменные
х = (х1 , х2 , … хn )
• Система линейных ограничений

n
j
aij x j  bi i  1...m 
• Целевая функция, которая подлежит оптимизации
F ( x)   j ci x j
n
Переменные в общем случае являются вещественными числами.
В системе ограничений может также присутствовать знак «=».
Под оптимизацией понимается максимизация или минимизация
целевой функции.
Основные теоремы ЛП
• Теорема 1 Конечное оптимальное решение задачи ЛП
должно соответствовать экстремальной (крайней) точке
пространства решений.
• Теорема 2 Базисные решения системы полностью
определяют все экстремальные точки.
• Базис m независимых векторов из числа n.
• Экстремальные точки могут быть найдены путем вычисления
допустимых базисных решений системы:
n!
m!(m  n)!
Задачи линейного программирования
решаются несколькими методами:
1 графический метод;
2 симплексный метод;
3 двойственность в ЛП;
4 двойственный симплексный метод.
2. Симплекс – метод
2.1 Теоретические основы
• Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования (симплекс-метод) - вычислительная
процедура, основанная на принципе последовательного
улучшения решений — перехода от одной базисной точки к
другой, для которой значение целевой функции больше (эти
операции фиксируются в симплексной таблице).
Графическая интерпретация симплекс - метода
Выпуклая фигура, соответствующая области решений,
называется симплексом. Поиск оптимального решения
осуществляется с помощью переходов по её ребрам.
Последовательность вычислений симплекс-методом
можно разделить на две основные фазы:
• нахождение исходной вершины множества допустимых
решений (нахождение базисного решения);
• последовательный переход от одной вершины к другой,
ведущий к оптимизации значения целевой функции
(последовательное улучшение найденного на первом
этапе базисного решения).
2.2 Алгоритм симплексного метода решения задач
линейного программирования
• Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное
решение путем приравнивания к нулю n-m (небазисных) переменных.
• Из числа текущих небазисных (неравных нулю) переменных выбирается включаемая в новый
базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции.
Если такой переменной нет, вычисления прекращаются, так как текущее базисное решение
оптимально. В противном случае осуществляется переход к шагу 3.
• Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна
принять нулевое значение (стать небазисной) при введении в состав базисных новой
переменной.
• Находится новое базисное решение, соответствующее новым составам небазисных и базисных
переменных. Осуществляется переход к шагу 2.
2.3 Табличный симплекс-метод
Эта задача в стандартной форме записывается так:
максимизировать z = 5 + 4
при ограничениях:
6 + 4 + s1 = 24 (ограничение на сырье М1),
+ 2 + s2 = 6 (ограничение на сырье М2),
- + + s3 = 1 (ограничение на спрос),
+ s4 = 2 (ограничение на спрос),
, , s1, s2, s3, s4 > 0.
Здесь s , s , s , s — дополнительные (остаточные) переменные, добавленные в
неравенства для преобразования их в равенства. Далее целевую функцию будем
представлять в виде уравнения z -5 - 4 = 0.
Задачу ЛП в стандартной форме можно представить в виде следующей компактной
таблицы 1.
Таблица 1
Получаем:
• Поскольку коэффициент при переменной x1 в формуле целевой функции
больше, чем коэффициент при x2, переменную x1 следует ввести в число
базисных (в этом случае она станет вводимой).
• Определим по таблице 2 исключаемую переменную.
Таблица 2
Минимальное неотрицательное отношение соответствует базисной
переменной s1 тем самым определяя эту переменную как исключаемую
(т.е. на следующей итерации ее значение будет равно нулю).
• В следующей таблице 3, определим ведущий столбец, ассоциируемый с вводимой переменной, и
ведущую строку, ассоциируемую с исключаемой переменной. Элемент, находящийся на
пересечении ведущего столбца и ведущей строки, назовем ведущим.
Таблица 3
• Процесс вычисления нового базисного решения состоит из двух этапов.
1. Вычисление элементов новой ведущей строки.
Новая ведущая строка = текущая ведущая строка / ведущий элемент.
2. Вычисление элементов остальных строк, включая г-строку.
Новая строка = текущая строка - ее коэффициент в ведущем столбце х новая ведущая строка.
• Новая симплекс-таблица 4, соответствующая новому базисному
решению
, имеет следующий вид.
Таблица 4
Получаем новое базисное решение
Строку z можно интерпретировать как уравнение
Перменная x2 становится вводимой в базис.
• Далее определим исключаемую переменную.
Таблица 5
• Далее вычисляем элементы новой симплекс-таблицы и получаем таблицу 6.
Таблица 6
Поскольку z-строка не имеет отрицательных коэффициентов, соответствующих
небазисным переменным s и s , полученное решение оптимально.
2.3 Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача – это вспомогательная задача ЛП,
формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из
условий исходной, или прямой, задачи.
Теорема двойственности
• Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план,
то и другая имеет оптимальный план и значение целевой функции
задачи при их оптимальных планах равны между собой.
• Если же целевая функция одной из пары двойственных задач не
ограничена (для исходной задачи не ограничена сверху, а для
двойственной задачи не ограничена снизу), то другая задача
вообще не имеет планов.
Так же, как и в прямом симплекс-методе, основная проблема двойственного симплекс-метода состоит
в том, чтобы на каждой итерации получить "правильное" базисное решение. Для реализации
двойственного симплекс - метода разработаны следующие два условия, выполнение которых
гарантирует оптимальность последовательных промежуточных решений и приближение их к области
допустимых решений.
• Двойственное условие допустимости. В качестве исключаемой переменной x выбирается базисная
переменная, имеющая наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение. Если таких
переменных несколько, то выбор произволен. Если все базисные переменные неотрицательные,
процесс вычислений заканчивается.
• Двойственное условие оптимальности. Вводимая в базис переменная определяется как переменная,
на которой достигается следующий минимум:
где — коэффициент в z-строке симплекс-таблицы, соответствующий переменной — отрицательный
коэффициент из симплекс-таблицы, расположенный на пересечении ведущей строки
(соответствующей исключаемой переменной ) и столбца, соответствующего небазисной переменной .
При наличии нескольких альтернативных переменных выбор делается произвольно. Отметим, что
двойственное условие оптимальности гарантирует достижение оптимального решения.
3 Применение симплекс - метода
Симплекс-метод универсален и с его помощью можно решить широкий спектр задач:
•
•
•
•
Максимальное парасочетание
Максимальный поток
Транспортная задача
Игра с нулевой суммой
Методы линейного программирования дают возможность обосновать наиболее
оптимальные экономические решения в условиях жестких ограничений, относящихся к
используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы).
Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные
главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает
определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее
эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных
ресурсов.
Corporate Social Responsibility
• Существуют примеры и негативного применения симплекс –
метода. Так, симплекс-метод упоминается в документе с
оригинальным названием «Тихое оружие для спокойных войн» и
рассматривается как одно из трех изобретений для создания
системы полного контроля над обществом.
• Возрастает актуальность темы корпоративной социальной
ответственности (КСО, Corporate Social Responsibility, CSR).
• Организации должны нести ответственность перед обществом, в
котором функционируют, направляя часть своих ресурсов и усилий
на социальные нужды, при этом уделяя внимание таким сферам,
как защита окружающей среды, здравоохранение, защита
интересов потребителя и т.п
Заключение
• Исследование операций используют в решении задач планирования
производства (контроллинга, логистики, маркетинга) и прочих
комплексных
задач.
Применение
исследования
операций
в экономике позволяет понизить затраты или, повысить продуктивность
предприятия (иногда в несколько раз!).
• Решение задач линейного программирования – это достаточно
трудоемкий процесс. Табличный симплекс-метод хорошо приспособлен
для программирования и машинного счета. Существуют программные
реализации симплекс-метода. В настоящее время появились
интегрированные математические программные системы для научнотехнических расчетов: Eureka, PCMatLAB, MathCAD, Derive Maple V,
Mathematica 2, Mathematica 3 , и др.
Список использованной литературы
1.
«Operačná analýza» skriptá pre všetky študijné programy Materiálovotechnologickej fakulty STU v Trnave, Ing. Henrieta HrablikChovanová, PhD., prof. Ing. Peter Sakál, CSc., 2010 год
2.
Бразовская Н. В. «Методы оптимизации»: Учеб. пособие; Алтайский государственный технический университет им.
И. И. Ползунова, [Центр дистанц. обучения]. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000. — 120 с.
3.
Вентцель, Е.С. «Исследование операций: Задачи, принципы, методология» / – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.
4.
Попова Н.В. «Математические методы», 2005.
5.
Перекрестов Д.Г., Поварич И.П., Шабашев В.А «Корпоративная социальная ответственность: вопросы теории и практики»,«Академия естествознания», 2011 год.
6.
Силич, В.А. Системный анализ экономической деятельности: учебное пособие / В.А. Силич. – Томск: Изд. ТПУ, 2001. – 97 с.
7.
А. Таха. «Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 1.Пер. с англ.– М.: Мир, 1985. – 479 с.
8.
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / под ред. В.И. Ермакова.- М.: ИНФА - М. - 656 с. (серия
«высшее образование»).
http://www.rae.ru - Зарецкий А.Д. , Иванова Т.Е. статья «Корпоративная социальная ответственность: мировая и
отечественная практика» научный журнал «Успехи научного естествознания», №12, 2011 год.
9.
Спасибо за внимание!
Ďakujem za pozornosť !