Зачет по геометрии 8 класс Часть 2. Перешивкина А.Ю.

Зачет по геометрии
8 класс
Часть 2.
Перешивкина А.Ю.
ГБОУ школа №494 г
Санкт - Петербург
Билет №9.
В остроугольном треугольнике АВС
проведены высоты АМ и ВТ . Докажите, что
треугольники САВ и СМТ подобны и
коэффициент подобия равен косинусу угла С.
С
Решение.
1. Рассмотрим ∆ACM. АMС = 900 cos C 
Рассмотрим ∆CTM. BTC =
Т
М
Отсюда
900
cos C 
СМ
АС
СT
BC
CM СT

AC BC
2. Рассмотрим ∆САВ и ∆СМТ, C - общий
А
CM СT

AC BC, значит ∆САВ подобен ∆СМТ
В
по II признаку подобия треугольников.
3.
CM
 k , значит сosC  k
AC
Билет №10.
Боковые стороны прямоугольной трапеции равны
соответственно 5 и 13 см, а меньшее основание
равно 10см. Найдите большее основание,
меньшую диагональ.
10cм
B
C
13cм
5cм
А
Найти: АС, AD
Н
D
Решение.
1. Рассмотрим ∆ АВС, он прямоугольный. По теореме Пифагора
АС2 = АВ2 + ВС2, АС2 = 102 + 52 = 125 , АС = 5√5см
2. СH - высота, СH = 5 см. Рассмотрим ∆ СHD, он прямоугольный.
По теореме Пифагора HD2 = CD2 - СH2, HD2 = 132 - 52 = 144, HD = 12см
3. АН = ВС = 10см , AD = 10 + 12= 22 cм - высота, СH = 5 см.
Ответ: 5√5см , 22см.
Билет №11.
Диагональ ВD параллелограмма АВСD
является его высотой и равна 6см. Площадь
параллелограмма равна 36 см ².Найдите
стороны, углы.
6√2cм
В
С
6cм
А
D
Решение.
1. SABCD = 36cм2, SABCD = BD · DC, значит DC = 36 : 6 = 6см.
2. Рассмотрим ∆ BDC, он прямоугольный. По теореме Пифагора
BС2 = ВD2 + CD2, BC2 = 62 + 62 = 72 , BC = 6√2см
sinC = BD : ВС = 6 : 6√2 = 1/√2, С = 45⁰
3. По свойству параллелограмма AD = BC = 6√2см , AB = DC = 6 см,
А = С = 45⁰, D = ABC = 180⁰ - 45⁰ = 135⁰
Ответ: 6√2см , 6 см, 45⁰, 135⁰
Билет №12.
Угол между двумя хордами АВ и АС равен
630. Дугу окружности ВС, лежащую внутри
данного угла, разделили на три равные
дуги ВD, DQ и QC. Найдите углы
пятиугольника АВDQC.
А
Найти: углы АВDQC
С
Q
Н
В
Решение.
D
1. ᴗВDС = 2·CAB = 2 · 630 = 1260
2. По условию задачи ᴗСQ = ᴗQD= ᴗВD = 126 : 3 = 420
3. ᴗСAD = ᴗQAВ = 360 0 – 2·420 = 2760 , CQD=QDB = ½ ᴗСAD = 1380
4. Проведем луч АН, проходящий через середину ᴗQD,значит QH = HD,
АН – медиана ∆AQD. QAH = HAD, как вписанные углы опирающиеся на
равные дуги, следовательно ∆AQD равнобедренный.
AQH = ADН => CQA=АDВ =>ᴗСА=ᴗАВ
CQD=QDB
5. ᴗСA = ᴗАВ = (3600 - 1260) : 2 = 1170
QCA = ABQ = (1170 + 2·420) : 2 = 100,50
Ответ: 630;1380; 1380;100,50;100,50
Билет №13.
В треугольнике АВС АВ = 16; ВС = 12; АС = 9;
в треугольнике MNG MN = 12; NQ = 9; QM = 6,75.
Докажите, что данные треугольники подобны, и укажите
пары равных углов данных треугольников.
Решение.
16 4 12 4 9
900 4
 ;  ;

 , значит
12 3 9 3 6,75 675 3
16 12
9
АВ BC
AC
 
, отсюда


12 9 6,75
МN NQ QM
следовательно ABC подобен MNQ по трем пропорциональным
сторонам.
1)Т .к.
2) В подобных треугольниках напротив сходственных сторон лежат равные углы,
значит А = М, B = N, C = Q.
Билет №14. Сумма катетов прямоугольного треугольника
равна 7 см, а площадь треугольника 6 см ². Найдите
гипотенузу.
Решение.
1. S∆=½ab, где a,b – катеты прямоугольного треугольника.
Т.к. a + b = 7cм, то a = 7 – b . S∆ = 6 см ².
½b(7- b) =6
b(7- b) = 12
7b- b2 = 12
-b2 +7b -12= 0
b2 - 7b +12= 0
По теореме обратной теореме Виета b1 = 4; b2 = 3.
Тогда а1 = 3; а2 = 4
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3см и 4 см,
значит гипотенуза равна 5 см.
Ответ: 5 см
Билет №15. В трапеции AВСD с основаниями
ВС и AD диагонали пересекаются в точке М.
Докажите, что треугольники МВС и МАD
подобны
B
C
Доказать, что
треугольники МВС и МАD подобны
М
А
D
Решение.
1. BC // AD, т.к. ABCD трапеция.
CBD = BDA. т.к. они накрест лежащие при BC // AD и секущей BD
2. AMD = BMС по свойству вертикальных углов.
3. ∆МВС подобен ∆МDА по первому признаку подобия треугольников.
Билет №16. Найдите площадь
параллелограмма, если его стороны 6 и 8 см,
а один из углов 150⁰.
В
8cм
С
150⁰
6cм
А
Н
D
Решение.
1. ВН – высота. А = 180⁰ - 150⁰ = 30⁰ (по свойству параллелограмма)
2. ∆АВН – прямоугольный, А = 30⁰ ,АВ = 6см, значит ВН = 3см
3. SABCD = АD · ВН = 8 · 3 = 24 см2
Ответ: 24 см2