Конус

КОНУС
Латинское слово «conus»
заимствовано из греческого языка
(konos - втулка, сосновая шишка)…
Конус – тело вращения
Конусом называется
тело, которое состоит
из
– основания
конуса,
, не
лежащей в плоскости
этого круга, и
,
соединяющих
вершину конуса с
точками основания.
S
О
КОНУС В НАШЕЙ ЖИЗНИ
Конус можно рассмотреть в различных
предметах, начиная с обычного мороженого
и заканчивая техникой .
Детские игрушки
« Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные геометрические фигуры »
Г. Гильберт
ПРИРОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ…
ТУМАННОСТЬ КОНУСА
В русском церковном
искусстве проявилось
стремление эстетику
чувств сочетать с
эстетикой чисел,
красоту свободно
льющегося ритма
с красотой правильного
геометрического тела.
М. В. Алпатов
Купол –тело вращения.
«Луковичная» форма
купола – не случайна,
она напоминает горящую свечу.
«ГЁТЕ УДАЧНО НАЗВАЛ БЛАГОРОДНЫЙ СОБОР
«ОКАМЕНЕЛОЙ МУЗЫКОЙ», …»
Д.ЮНГ
«…, но, быть может, ещё лучше было бы назвать
такой собор «окаменелой математикой»
КОНУС ПОЛУЧЕН ВРАЩЕНИЕМ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА АВС
ВОКРУГ КАТЕТА АВ
ОБРАЗУЮЩИЕ КОНУСА –
ЭТО ОТРЕЗКИ,
СОЕДИНЯЮЩИЕ
ВЕРШИНУ КОНУСА С
ТОЧКАМИ ОКРУЖНОСТИ
ОСНОВАНИЯ.
SA, SB, SD –
ОБРАЗУЮЩИЕ КОНУСА.
S – ВЕРШИНА КОНУСА.
S
A
B
D
ВЫСОТА КОНУСА – ЭТО ПЕРПЕНДИКУЛЯР,
ОПУЩЕННЫЙ ИЗ ЕГО ВЕРШИНЫ НА ПЛОСКОСТЬ
ОСНОВАНИЯ. SO – ВЫСОТА КОНУСА.
ОСНОВАНИЕ ВЫСОТЫ СОВПАДАЕТ С
ЦЕНТРОМ ОСНОВАНИЯ КОНУСА.
S
О
Тема урока
СЕЧЕНИЯ КОНУСА
ОСЬ КОНУСА – ПРЯМАЯ, СОДЕРЖАЩАЯ ЕГО
ВЫСОТУ.
ПРЯМАЯ SO – ОСЬ КОНУСА.
– СЕЧЕНИЕ КОНУСА
ПЛОСКОСТЬЮ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЕГО ОСЬ.
S
A
О
B
S
B
A
СЕЧЕНИЕ КОНУСА
ПЛОСКОСТЬЮ Q,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ
К ЕГО ОСИ.
УСЕЧЕННЫМ КОНУСОМ
НАЗЫВАЕТСЯ ЧАСТЬ
КОНУСА,
ОГРАНИЧЕННАЯ ЕГО
ОСНОВАНИЕМ И
СЕЧЕНИЕМ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМ
К ЕГО ОСИ.
УСЕЧЁННЫЙ КОНУС ПОЛУЧЕН ВРАЩЕНИЕМ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРАПЕЦИИ АВСD ВОКРУГ
СТОРОНЫ CD
ЗАДАЧА №1
ОБРАЗУЮЩАЯ КОНУСА РАВНА 13
СМ, ВЫСОТА – 5 СМ. НАЙДИТЕ
ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ КОНУСА.
S
13см
5см
О
ЗАДАЧА №2
НАЙДИТЕ
ОБРАЗУЮЩИЕ
КОНУСА, ЕСЛИ ЕГО
ВЫСОТА РАВНА 6 СМ,
А РАДИУС ОСНОВАНИЯ
– 7 СМ.
S
6см
О
7см
А
Тема урока
ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
Площадь боковой
поверхности конуса
равна произведению
половины длины
окружности основания
на образующую.
Sбок= πrl
Площадь боковой
поверхности усечённого
конуса равна произведению
полусуммы длин окружностей
оснований на образующую:
Sбок= π (r + R) l
ЗАДАЧА №1
ТОЧКИ А И В ПРИНАДЛЕЖАТ БОКОВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА. СКОПИРУЙТЕ РИСУНОК И
ПРОВЕДИТЕ ОТРЕЗОК АВ. ОПРЕДЕЛИТЕ, ВСЕ ЛИ
ТОЧКИ ОТРЕЗКА АВ ЛЕЖАТ НА ПОВЕРХНОСТИ
КОНУСА.
А
В
ЗАДАЧА №2
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ТРЕУГОЛЬНИК С КАТЕТАМИ 3СМ
И 4СМ В ПЕРВЫЙ РАЗ ВРАЩАЕТСЯ ВОКРУГ
БОЛЬШЕГО КАТЕТА, А ВО ВТОРОЙ - ВОКРУГ
МЕНЬШЕГО. СРАВНИТЕ ПЛОЩАДИ БОКОВЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОЛУЧИВШИХСЯ ПРИ ЭТОМ
S
КОНУСОВ.
О
4см
3см
О
3см
А
А
4см
S
Тема урока
ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
Площадь полной
поверхности конуса
называется сумма
площадей боковой
поверхности и
основания.
Sпол= πr (l+r)
Площадь полной поверхности
усечённого конуса :
Sпол= πl (R+r)+πR2+ πr2
ЗАДАЧА №1
НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ТЕЛА, ПОЛУЧЕННОГО ПРИ ВРАЩЕНИИ
РАВНОБЕДРЕННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТОМ 8СМ ВОКРУГ ЕГО
ОСИ СИММЕТРИИ.
S
8см
8см
О
А
ЗАДАЧА №2
ОБРАЗУЮЩАЯ
КОНУСА РАВНА 24СМ, А УГОЛ
ПРИ ВЕРШИНЕ ОСЕВОГО СЕЧЕНИЯ РАВЕН 120°.
НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ И ПЛОЩАДЬ
ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА.
S
120°
24см
О
А
ЗАДАЧА №3
КВАДРАТ СО СТОРОНОЙ 3СМ ВРАЩАЕТСЯ
ВОКРУГ СВОЕЙ ДИАГОНАЛИ. НАЙДИТЕ
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
S
3см
О
В
3см
А
К
ЗАДАЧА №4
ОБРАЗУЮЩАЯ КОНУСА СОСТАВЛЯЕТ С
ПЛОСКОСТЬЮ ЕГО ОСНОВАНИЯ УГОЛ 30°, А РАДИУС
ОСНОВАНИЯ КОНУСА РАВЕН 6СМ. НАЙДИТЕ
ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА.
S
О
30°
6см
А
Тема урока
ОБЪЁМ КОНУСА
Объём конуса равен одной трети
произведения площади основания на
высоту:
Объём усечённого конуса, высота которого
равна h,а площади оснований равны S и S1:
ЗАДАЧА №1
РАДИУС ОСНОВАНИЯ КОНУСА РАВЕН 3СМ, А
ОБРАЗУЮЩАЯ КОНУСА РАВНА 5СМ. НАЙДИТЕ
ОБЪЁМ КОНУСА.
S
5см
О
3см
А
ЗАДАЧА №2
НАЙДИТЕ ОБЪЁМ ТЕЛА, ПОЛУЧЕННОГО ПРИ
ВРАЩЕНИИ РАВНОБЕДРЕННОГО
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТОМ
6СМ ВОКРУГ ЕГО ОСИ СИММЕТРИИ.
S
6см
6см
О
А
РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧ
ЗАДАЧА №1
ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАВНА
30
СМ2, А ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ НА 21 СМ2
МЕНЬШЕ. НАЙДИТЕ ОБЪЁМ КОНУСА.
ЗАДАЧА №2
ВЫСОТА КОНУСА РАВНА 8см, ОБЪЁМ 24 см3.
НАЙДИТЕ площадь полной поверхности конуса.
ЗАДАЧА №3
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК С
ГИПОТЕНУЗОЙ 5СМ ВРАЩАЕТСЯ ВОКРУГ ОСИ,
СОДЕРЖАЩЕЙ КАТЕТ 3СМ. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ
ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМ ТЕЛА
ВРАЩЕНИЯ.
S
5см
3см
О
А
ЗАДАЧА №4
ВЫСОТА КОНУСА РАВНА 5СМ, А УГОЛ ПРИ ВЕРШИНЕ
ОСЕВОГО СЕЧЕНИЯ РАВЕН 120°. НАЙДИТЕ ОБЪЁМ
КОНУСА.
S
120°
5см
О
А
ЗАДАЧА №5
ОБРАЗУЮЩАЯ КОНУСА РАВНА 4СМ, А УГОЛ ПРИ
ВЕРШИНЕ ОСЕВОГО СЕЧЕНИЯ РАВЕН 90°. НАЙДИТЕ
ОБЪЁМ КОНУСА.
S
90°
4см
О
А