Задача Дидоны: old and new

День открытых дверей
Механико – Математического факультета
Old
Задача Дидоны: and
New
Old
Задача Дидоны:
and
New
Царица Дидона
(конец IX века до н. э.) – основательница
Карфагена, легендарный геометр
4
«Добились до місця,
Де нині мури великі й нова Карфагенська твердиня
Виросла, й землю купили,— від способу куплі тієї
Бірсою зветься, бо стільки купили, як може зайняти
Шкура вола.»
Вергілій, «Энеїда»
5
Задача Дидоны
(математическая формулировка)
Среди замкнутых плоских кривых, имеющих
заданную длину, найти кривую, охватывающую
максимальную площадь.
ИзоПЕРИМЕТРические фигуры – фигуры одинакового
периметра (длины)
Решение задачи – окружность


6
Изопериметрическое свойство окружности
Среди всех замкнутых плоских кривых
фиксированной длины наибольшую площадь
охватывает окружность
7
Доказательство Зенодора (II в. до н.э.)

«О фигурах, имеющих равную
периферию»

Основная идея: приближение кривой
вписанными многоугольниками
8
Доказательство Штейнера
Якоб Штейнер
(1796 – 1863) – швейцарский математик,
геометр
9
Доказательство Штейнера

Пусть F – фигура, которая при фиксированной длине периметра
(L) имеет наибольшую площадь (S)

Справедливы:
1.
Фигура F выпукла
2.
Любой диаметр фигуры F делит пополам не только ее периметр,
но и площадь (диаметр – отрезок, который делит периметр
пополам)
3.
Из любой точки границы фигуры F диаметр виден под прямым
углом (четырехшарнирный метод Штейнера)

Значит F – окружность!
10
Где неточность?
Изъян доказательства

А почему искомый объект вообще существует? Вопрос
существования!
11
А сколько же могла захватить Дидона?
12
Изопериметрическое неравенство

Формульная запись изопериметрического свойства
окружности:
13
Old
Задача Дидоны:
and
New
Кривизна кривых в картинках

Кривизна = скорость поворота кривой
15
Обратное изопериметрическое неравенство


НАИМЕНЬШАЯ площадь при фиксированной длине? 0
Наименьшая площадь при фиксированной длине,
если кривизна ≥ 1?
16