Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С2. Коткова Евгения Сергеевна, учитель математики

Подготовка к ЕГЭ.
Решение задач С2.
Коткова Евгения Сергеевна,
учитель математики
МБОУ «Лицей № 83» г. Казани,
I квалификационная категория
Типы задач С2
•
•
•
•
Расстояние между двумя точками
Расстояние от точки до плоскости
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Расстояние между двумя точками
Пусть точки A( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y2 , z 2 ) концы отрезка АВ. Тогда внутренняя точка
С отрезка АВ такая, что АС:СВ=k, имеет
координаты
 x1  kx2 y1  ky2 z1  kz2 
С
,
,

k 1
k 1 
 k 1
Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания
и боковое ребро которой равны 4 2 и 5 соответственно. Найдите
расстояние между точками Е и К, если известно, что Е лежит на
боковом ребре SB и SE=2BE, а К – на стороне основания AD и AK=3KD.
z
S
x
AC=8
AO=4
SO=3
5
.E
.
D
С
K
А

B 0; 4

2 ; 0, S 2
К 3 2 ; 0; 0
O
4 2
В
4 2

y
2 ; 2 2 ; 3  по формуле находим координаты точки Е :
 2 2  2  0 2 2  2  4 2 3  2  0   2 2 10 2 

Е 
;
;
;
; 1


2 1
2 1
2 1   3
3


z
S
x
AC=8
AO=4
SO=3
5
.E
.
D
С
K
O
А


К 3 2 ; 0; 0 ,
В
4 2
y
 2 2 10 2 
Е 
;
; 1
3
 3

2
КЕ 
4 2
2
2 2

 10 2


 
  1  0 2 

3
2

0
 3

 3





Ответ :
307
3
98 200

1 
9
9
307
3
Расстояние от точки до плоскости
Координатный метод
Расстояние от точки М ( x0 , y0 , z 0 ) до плоскости  ,
заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно
вычислить по формуле
 M ,   
ax0  by 0  cz 0  d
a2  b2  c2
Задача (ЕГЭ, 2012). В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны
основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D –
середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины
С до плоскости ADB1.
3
Решение: A0; 0; 0  , B1 1; 3; 3 , D 2; 0; 
z

А1
В1
3
О
А
2
y
В
2
Подставим координаты точек в уравнение плоскости
ax+by+cz+d=0,


С1
d  0,
d  0,


a

3
b

3
c

0
,


b  3a, 


3
4
.D
 2 a  c  0.
c   a.
2
3


4
a x  3a y  a z  0  3 x  3 3 y  4 z  0
3
x
С
a  3 , b  3 3 , c  4 , d  0 ,
C 2; 0; 0 
Вычислим расстояние от точки С до плоскости ADB1 по формуле:
 С , ADB1  
23 3 3 0  40  0
9  27  16
3 13
Ответ :
13

6
52

3 13
13
Угол между прямой и плоскостью
Векторно - координатный метод
Угол между прямой ℓ и плоскостью α можно вычислить по формуле
 
n p
sin     
n p
где
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
x1  y1  z1  x 2  y 2  z 2
2
2
2
2
2
2

n  x1 , y1 , z1   вектор нормали плоскости  ,

p  x 2 , y 2 , z 2   направляющ ий вектор прямой .
,
Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона
основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1
и плоскостью AF1C1.
Решение: 
E
3
D
z
E1
D1
F1
А1
С1
В1
Вектор n найдем из условий перпендикулярности
3
→ и C→
9 3векторам
3
этого вектора
AF
1
1 F1 , т.е. из условий
FO →
9 
4
2
n

AF

1  0,
6
 →
F
n C91 F13 03 
B1  ;
; 1
30°

2
2
3 3 3 
→
→

AF1   ; 
; 1 , C1 F1   6; 0; 03
 3  3 2 3 2 
O
A3 ; 3 3 ; 0 

3 3
x 2 yz 
 0,  z 
y,
  2

 2

2
2

1
D
F
А
 x  0.

F1 0; 0; 1 , С1 6; 0; 1
E
y
 6 x  0

В
3
А
3
x
С
В
y


31.
9 3 3 
F
;→
0 
1 B1   ;
9 3 3
→
2
2
С Т . к. F1 B1  3 3 и F1 B
 2  3 3  0  3 3,
1  n  0  


Пусть y  2, тогда z  3 3 , x  0 и n  0; 2; 3 3 , n 
→
2
x
2
то

Пусть n  x; y; 3z 
, перпендикулярный
3 вектор
31
31 плоскости  ,
sin  

   arcsin
  искомый угол
формуле :
3 .3Тогда
 31 по31
→ 
F1 B1  n
sin   →  .
F1 B1  n
Ответ : arcsin
31
31
31
Угол между плоскостями
Векторно - координатный метод
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в
прямоугольной системе координат уравнениями p1x+q1y+r1z+d1=0 и
p2x+q2y+r2z+d2=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении
угла между векторами их нормалей


n  p1 , q1 , r1  и n   p 2 , q 2 , r2  , используя формулу
 
n  n 
p1 p 2  q1 q 2  r1 r2
cos ( ,  )    
2
2
2
2
2
2
n  n 
p1  q1  r1  p 2  q 2  r2
Задача (ЕГЭ, 2012). В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 5.
На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:2.
Найдите угол между плоскостями АВС и BED1.
z
D1
С1
А1
E
В1
5
.
С
D
А
y
2
В
x
Решение: Составим уравнение плоскости BED1.
В(2;0;0), Е(0;0;3), D1(0;2;5)


.
Итак, n1  координаты
 3; 2;  2, nточек
Подставим
в; 1уравнение
плоскости
2  0; 0
ax+by+cz+d=0,
Используя формулу , вычислим
1косинус искомого угла :

c   3 d ,
3c  d  0,

n1 n2
002
2
2 17
1

cos

(
ABC
,
BED
)




 a   d , 
2a  d  0, 1 
n n
17
17
2a  5c  d  0. 1  2 20  0  1  9  4  4

1

2 17
b  darccos
.
Отсюда искомый угол равен
.
3
17

1
1
1
 dx dy dz d  0
2
3
3
 3 x  2 y  2 z  6  0  уравнение2плоскости
17
 .
Ответ
:
arccos
Координаты нормального вектора n1 
17  3; 2;  2.
Т. к. ось Аz перпендикулярна плоскости основания, то
нормальный вектор плоскости АВС имеет координаты n2  0; 0;1
Расстояние между двумя точками
Пусть точки A( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y2 , z 2 ) концы отрезка АВ. Тогда внутренняя точка
С отрезка АВ такая, что АС:СВ=k, имеет
координаты
 x1  kx2 y1  ky2 z1  kz2 
С
,
,

k 1
k 1 
 k 1
Расстояние от точки до плоскости
Координатный метод
Расстояние от точки М ( x0 , y0 , z 0 ) до плоскости  ,
заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно
вычислить по формуле
 M ,   
ax0  by 0  cz 0  d
a2  b2  c2
Угол между прямой и плоскостью
Векторно - координатный метод
Угол между прямой ℓ и плоскостью α можно вычислить по формуле
 
n p
sin     
n p
где
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
x1  y1  z1  x 2  y 2  z 2
2
2
2
2
2
2

n  x1 , y1 , z1   вектор нормали плоскости  ,

p  x 2 , y 2 , z 2   направляющ ий вектор прямой .
,
Угол между плоскостями
Векторно - координатный метод
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в
прямоугольной системе координат уравнениями p1x+q1y+r1z+d1=0 и
p2x+q2y+r2z+d2=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении
угла между векторами их нормалей


n  p1 , q1 , r1  и n   p 2 , q 2 , r2  , используя формулу
 
n  n 
p1 p 2  q1 q 2  r1 r2
cos ( ,  )    
2
2
2
2
2
2
n  n 
p1  q1  r1  p 2  q 2  r2