Презентация по теме «Площадь многоугольника» Для 8 класса

Презентация по теме
«Площадь многоугольника»
Для 8 класса
Свойства площадей
1. Равные многоугольники имеют равные площади:
2. Если многоугольник составлен из нескольких
многоугольников, то его площадь равна сумме площадей
этих многоугольников:
S  S1  S 2  S3
S1
S2
S3
3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
a
S
S a
2
Далее…
Площадь прямоугольника
Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению
a
b
его смежных сторон.
S
b
b2 b
Дано: Прямоугольник
Стороны равны a, b
Площадь равна S
Доказать: S = ab
a
a2
S
a
b
a
1. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b
2
2
2. Площади получившихся квадратов будут равны: a , b
3. Площадь большого квадрата по свойству площадей 3: S 4  (a  b) 2
2
2
4. И по свойству площадей 2: S 4  S  S  a  b
5. Так как равны левые части равенств, то должны быть равны и
правые части равенств: (a  b) 2  S  S  a 2  b 2
S  ab
Далее…
Площадь параллелограмма
Теорема:
Площадь
параллелограмма
произведению его основания на высоту.
Дано:
ABCD – параллелограмм
AD – основание
BH - высота
Площадь равна S
Доказать: S  BC  BH
B
C
равна
1. Проведём высоту CK.
2. S ABCK  S ABCD  SCKD
S ABCK  S HBCK  S BHA
3. SCKD  S BHA
S ABCD  S HBCK
4. S
HBCK  BC  BH , BC  AD
S ABCD  BC  BH
A H
DK
Далее…
Площадь треугольника
Теорема: Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту, опущенную к этому
B
D
основанию.
Дано:
ABC – треугольник
AB – основание
CH - высота
Площадь равна S
Доказать:
S ABC
1
 AB  CH
2
S
S1
A
C
H
1. Достроим до параллелограмма ABCD
2.
3.
S  S1
S ABC
1
1
 S ABCD  AB  CH
2
2
Далее…
Следствия
Следствие 1: Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
1
S  ab
2
a
b
Следствие 2: Если высоты двух треугольников равны, то их
площади относятся как основания.
B1
B
S
AC

S1 A1C1
h
A
C
h
A1
C1
Далее…
Площадь трапеции
Теорема: Площадь трапеции равна
полусуммы её оснований на высоту.
Дано: ABCD – трапеция
AD, BC – основания
BH – высота
Площадь равна S
Доказать:
S
1
( AD  BC )  BH
2
B
A
H
D
произведению
1. Проведём высоту DH1 и диагональ BD
H1
C
2. S ABCD  S ABD  S BCD
1
S ABD  BH  AD ,
2
1
1
S BCD  BC  DH 1  BC  BH
2
2
3.
1
1
S
AD  BH 
BC  BH
2
2
1
S  BH ( AD  BC )
2
Далее…
Теорема: Если угол одного треугольника равен углу
другого треугольника, то площади этих треугольников
относятся как произведения сторон, заключающих равные
углы.
B1
Дано: ABC и A1B1C1 –
треугольники
Угол А равен углу A1
Площади равны S и S1
соответственно
Доказать:
S
AB  AC

S1 A1 B1  A1C1
B
C
A
C1
A1
Далее…
1. Наложим треугольники друг на друга
так, чтобы равные углы совместились.
2. Треугольники АВС и АВ1С имеют
общую высоту CH, значит:
B1
S ABC
AB

S AB1C AB1
3. Треугольники АВ1С и AB1C1 имеют
общую высоту B1H1, значит:
S AB1C
S AB1C1
AC

AC1
4. Перемножая равенства:
B
H
A1
C1
H1
C
A
S
AB  AC

S1 A1 B1  A1C1
В начало…