8 класс «Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол»

ВЦДОиТ «Огонёк»
«Отношение площадей
треугольников,
имеющих равный угол»
8 класс
Автор: Головачева Галина Фёдоровна
Цели урока:
Образовательные:
1. Сформулировать и доказать теорему об
отношении площадей треугольников, имеющих один
равный угол.
2. Применить теорему при решении задач на
нахождение площадей многоугольников.
Развивающие :
1. Развивать интуицию, умения анализировать
условие задачи, логически мыслить, обобщать полученные
результаты.
Воспитательные:
1. Продолжать воспитывать самостоятельность и
самоконтроль.
Устный опрос
(фронтальная
работа с классом).
Ответьте на вопросы:
1). Какие фигуры называются равносоставленными?
2). Как называются фигуры, имеющие равную площадь?
3). Верно ли, что равные фигуры имеют равные площади?
4). Верно ли, что равносоставленные фигуры имеют равные
площади?
5). Верно ли, что разные фигуры имеют равные площади?
6). В треугольнике АВС АВ = 𝟑АС. Чему равно отношение
высот треугольника, проведенных из вершин В и С?
Ответы на вопросы:
1). Равносоставленные фигуры это такие
фигуры, которые можно разрезать на
одинаковое число равных фигур.
2). Фигуры имеющие равную площадь
называются равновеликими.
3). Да.
4). Да.
5). Нет.
6). Равно 3.
7). Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см.
Длина гипотенузы 10 см. Вычислите высоту, проведенную к
гипотенузе.
8). Дана трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Докажите,
что:
а) треугольники АВD и ВАС имеют равные площади;
б) треугольники АОD и ВОС имеют равные площади
9). В треугольнике АВС проведена медиана ВD.
Во сколько раз площадь треугольника АВD меньше
площади треугольника АВС?
Объясните.
Ответы:
7).
4,8 см.
8). а) Треугольники АВD и ВАС имеют равные площади, т. к. у них
основание АВ общее, а высоты равны.
б) Треугольники АОD и ВОС имеют равные площади, потому что они
получаются вычетом площади треугольника АОД из площади
треугольников АВД и ВАС имеющих равные площади
9). Площадь треугольника АВD меньше площади треугольника АВС в 2
раза, т.к. медиана ВД делит треугольник АВС на два треугольника с
равными площадями.
Проверка домашнего
задания.
Задача № 40 рабочей
тетради. Один учащийся
читает решение по своей
тетради, остальные
обсуждают и проверяют.
Решение.
 Треугольники ABM и ABC
имеют общую высоту BD,
поэтому их площади
относятся как основания
АМ и АС. Так как по
условию AM : МС = 2 : 3, то
𝑺𝑨𝑩𝑴 𝑨𝑴
AM : АС = 2 : 5 и
= ;
𝑺𝑨𝑩𝑪 𝑨𝑪
На рисунке точка М делит
𝑺𝑨𝑩𝑴 𝟐
сторону АС треугольника

= ;
𝟏𝟖𝟎
𝟓
ABC в отношении AM : МС =
𝟏𝟖𝟎×𝟐
2:3. Площадь треугольника
𝑺
=
= 72см𝟐 .
ABC равна 180
площадь треугольника AВM.
см𝟐 . Найдите
𝑨𝑩𝑴
 Ответ:
𝟓
72см𝟐
Дополнительная
задача.
Решение.
Высоты треугольников
ВСЕ и АВС равны , то
𝐒𝐁𝐂𝐄 𝐂𝐄 𝟏
= = ; а 𝐒𝐀𝐁𝐂 = S,
𝐒𝐀𝐁𝐂 𝐀𝐂 𝟐
𝟏
поэтому 𝐒𝐁𝐂𝐄 = S.
𝟐
𝐒𝐁𝐂𝐄 =𝐒𝐁𝐄𝐇 +𝐒𝐄𝐌𝐇 +𝐒𝐂𝐄𝐌
Точка Е – середина стороны АВ
треугольника АВС, а точки М и Н
делят сторону ВС на три равные
части, ВН = МН = МС. Найти
площадь треугольника ЕМН, если
площадь треугольника АВС
равна S.
𝐒𝐁𝐄𝐇 =𝐒𝐄𝐌𝐇 =𝐒𝐂𝐄𝐌 т.к.
равны их высоты и
основания BH=MH=MC(по
условию). Поэтому
𝐒𝐄𝐌𝐇 =
𝟏
𝐒𝐁𝐂𝐄
𝟑
Ответ:
𝟏 𝟏
= ∙ S
𝟑 𝟐
𝟏
= S.
𝟔
𝟏
𝐒𝐄𝐌𝐇 = S.
𝟔
и
Теорема и ее
доказательство
Теорема: Если угол одного
треугольника равен углу другого треугольника, то
отношение площадей этих треугольников равно
отношению произведений сторон, заключающих равные
 Доказательство:
углы.
1). Наложим один треугольник на другой так, чтобы
равные углы А и А1 совпали, сторона А1В1 лежала на
луче АВ, а сторона А1С1 на луче АС.
2). Рассмотрим два треугольника
3). Запишем равенство:
4). Рассмотрим другие два треугольника
5). Запишем равенство:
6). Перемножим равенства (1) и (2):
Закрепление
нового
материала
1. Устное решение
задач по готовым
чертежам.
Задача 1. М – середина АВ. МВ =
4 см,
АК = 4 см, АС = 12 см.
Найти SBCKМ, если SAMK = 16см𝟐
Решение:
𝟏𝟔
𝑺∆𝑨𝑩𝑪
𝑺𝑨𝑴𝑲 𝑨𝑴×𝑨𝑲
=
;
𝑺𝑨𝑩𝑪 𝑨𝑩×𝑩𝑪
или
𝟒×𝟒
=
; т.е.
𝟖×𝟏𝟐
𝟏𝟔
𝟏
= ;
𝑺𝐀𝐁𝐂
𝟔
SАВС = 𝟗𝟔 см𝟐,
𝟐
Ответ: SBCKМ =8 см
0
Задача 2.
Дано: ⦟ А = ⦟К, АС=5см, АВ=3см, КN=7см,
КМ=2см, 𝐒𝐀𝐁𝐂 = 60см𝟐
 Найти: SкMN.
Решение:
𝑺𝑨𝑩𝑪
𝑺𝑲𝑴𝑵
𝟓×𝟑
=
𝟐×𝟕
тогда
𝟔𝟎
𝟏𝟓
; или
= ;
𝑺𝑲𝑴𝑵 𝟏𝟒
𝟔𝟎×𝟏𝟒
𝟐
𝑺𝑲𝑴𝑵 =
=56см .
𝟏𝟓
Ответ: 𝑺𝑲𝑴𝑵 = 56см𝟐 .
2.Решение задачи
с записью в
тетради.
Задача 3. Дано: ОА=8см; ОВ=6см;
ОС=5см;
𝟐
SАОВ=36см
Найти: 𝑺сод.
РайтиНн
Решение:

𝑺𝑨𝑶𝑩
𝑺𝑪𝑶𝑫

𝟑𝟔
=
𝑨𝑶∙𝑶𝑬
; (т.к. ⦟АОВ
𝑶𝑪∙𝑶𝑫
𝟒𝟖
=
𝑺𝑪𝑶𝑫 𝟏𝟎
,
𝟑𝟔
𝟖∙𝟔
=⦟СОД),
= или
𝑺𝑪𝑶𝑫 𝟓∙𝟐
𝟑𝟔∙𝟏𝟎 𝟑∙𝟏𝟎 𝟑∙𝟓 𝟏𝟓
𝑺𝑪𝑶𝑫 =
=
= = =7,5см𝟐
𝟒𝟖
𝟒
𝟐 𝟐
 Ответ: 𝑺𝑪𝑶𝑫 = 7,5см𝟐 .
Итог урока
Домашнее
задание