Document 5025414

Две окружности касаются внешним
образом в точке K . Прямая AB касается
первой окружности в точке A, а второй — в
точке B. Прямая BK пересекает
первую окружность в точке D, прямая AK
пересекает вторую окружность в
точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB ,
если известно, что радиусы
окружностей равны 4 и 1.
D
С
К
O1
H
А
М
O2
В
Решение.
а) Обозначим центры окружностей О1 и О2
соответственно. Пусть общая
касательная, проведённая к окружностям в
Точке K , пересекает AB в точке M. По
свойству касательных, проведённых из
одной точки, AM = KM и KM = BM.
Треугольник AKB, у которого медиана
Равна половине стороны, к которой она
проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол AKD — прямой,
Поэтому он опирается на диаметр AD .
Значит, AD  AB. Аналогично
получаем, что BC  AB . Следовательно,
прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая
окружность имеет радиус 4, а радиус второй
равен1.
AC
4
Треугольники BKC и AKD подобны.
BD
Пусть S BKC  S , тогда
SAKD  16S
У треугольников AKD и AKB общая высота АК,
следовательно, S AKD  DK  AD , т.е.
S AKB KB BC
SAKB  4S . Аналогично SCKD  4S
Площадь трапеции ABCD равна 4S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём
к AD перпендикуляр О2Н = АВ
Из прямоугольного треугольника О1НО2 по
теореме Пифагора найдем О2Н:
O2 H  O1O2  O1 H  4
2
2
Тогда
S ABCD
AB  CD

 AB  20
2
Следовательно,
25S = 20,
S AKB  4S  3,2
Ответ: 3,2.
S=0,8
Найдите все значения a , при каждом из
которых наименьшее значение
функции
f x   2ax  x  8x  7
2
больше1
Определение:
|а| =
а, если а ≥ 0,
- а, если a < 0
f x   2ax  x  8x  7
2
1 случай
Пусть x  8 x  7  0 , т.е. x   ;1 7; , то
f x   x 2 2a  8x  7
Это квадратичная функция, графиком
является парабола, ветви которой
направлены вверх. Ось симметрии параболы
2
b
2a  8
x

 4a
2a
2
Тогда возможны следующие случаи:
1
7
7
f 7  1
f 1  1
1
1
7
f 4  a  1
1
7
f 4  a  1
2 случай
2
x
 8 x  7  0 , т.е. x  1;7 , то
Пусть
f x    x 2 2a  4x  7
Это квадратичная функция, графиком
является парабола, ветви которой
направлены вниз. Ось симметрии параболы
b
2a  4
x

a4
2a
2
Тогда возможны следующие случаи:
 f 1  1

 f 7   1
1
1
7
7
Следовательно, нужно решить систему
неравенств:
1

a ,
2a  1,

2
 f 1  1,



1

14a  1,
 f 7   1,
a  ,

14
 f 4  a   1


2
a
4

a

a

9

1




2
2
а). Если a  3 , то

a  3;4 
-3
6

1

a  ,
2

a 2  8a  10  0

4 6
1
2
3
2a  8a  1  a 2  9  0


4 6
б). Если a  3 , то
1
 2  a  3,

 4  40  a  4  40
 3
3
1

a  2 ,

 3  a  3,
3a 2  8a  8  0


4  40
3
1
2
3
1

 x   ;4  6 
2

4  40
3