1. * ************ ABC **** C ***** 900, sin A=7/25. ******* cos A, tgA

В6.
1. В треугольнике
0
ABC угол C равен 90 ,
sin A=7/25. Найдите cos A, tgA,
sin B, cos B, tg B.
Найдем чему равняется cos A.
sin2A+cos2A=1
cos A=√(1- sin2A)= √(1- (7/25)2)
cos A=√ (1-49/625)= √(576/625)
cos A=±24/25
Косинус угла меньше нуля в случае, если угол тупой (больше 900). Однако,
это невозможно в прямоугольном треугольнике. Следовательно,
cos A=24/25.
Тангенс угла равен отношению синус
tg A=sin A/cos A=(7/25)/(24/25)=7/24
Следовательно, тангенс угла А равен 7/24.
Теперь найдем чему равняется sin B, cos B, tg B.
Итак, сумма всех углов треугольника равна 1800:
А+В+С=1800
Поскольку, угол С прямой, то
А+В=900
В=900-А
Воспользовавшись формулами приведения,
sin B=sin (900-А)=cos A=24/25
cos B=cos(900-А)=sin A=7/24
Тангенс угла В равен
tg B=sinB/cosB=(24/25)/(7/25)=24/7
Следовательно, синус угла В равен 24/25, косинус равен 7/25, а тангенс 24/7.
2. В треугольнике
0
ABC угол C равен 90 ,
tg A=2. Найдите sinA,
cos A, sinB, cosB, tg B.
Вспомним определение тангенса угла
tg A=sin A/cos A=2
Но тогда,
tg2 A=(sin A/cos A)2=22
sin2 A/cos2 A=4
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем:
(1-cos2 A)/cos2 A=4
1/cos2 A-1=4
1/cos2 A=5
cos A=±√(1/5)
В прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла,
следовательно А - острый угол. Следовательно, его косинус равен 1/√5.
Синус угла можно найти с помощью основного тригонометрического
тождества:
sin A=±√(1-cos2 A)= ±√(4/5)=2/√5
(поскольку угол острый, синус угла положителен)
Воспользовавшись формулами приведения,
sin B=sin (900-А)=cos A=1/√5
cos B=cos(900-А)=sin A=2/√5
Тангенс угла В равен
tg B=sinB/cosB=(1/√5)/( 2/√5)=1/2
Следовательно, синус угла В равен 1/√5, косинус равен 2/√5,
а тангенс 1/2.
3.В
треугольник
е ABC угол
C равен 900,
AB=5,
sin A=7/25.
Найдите AC.
Синус угла можно упрощенно определить как отношение
противолежащего углу катета прямоугольного треугольника к
гипотенузе прямоугольного треугольника.
Косинус угла соответственно, отношение прилежащего углу
катета прямоугольного треугольника к гипотенузе
прямоугольного треугольника.
Из основного тригонометрического тождества,
cos A=√(1-sin2 A)=24/25
То есть,
sin A=BC/AB
cos A=AC/AB
Соответственно, при известных АВ и синусе угла А катет АС найти
несложно:
АС=АВ∙ cos A
АС=5∙24/25=24/5=4,8
ответ: катет АС равен 4,8.
4. В треугольнике
ABC угол C равен 900, AB=7,
tgA=4√(33)/33. Найдите AC.
катет АС может быть найден как:
АС=АВ∙ cos A
Найдем чему равен косинус угла А
tg A=sin A/cos A=4√(33)/33
Но тогда,
tg2 A=(sin A/cos A)2=(4√(33)/33)2
sin2 A/cos2 A=16/33
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством,
запишем:
(1-cos2 A)/cos2 A=16/33
1/cos2 A-1=16/33
1/cos2 A=49/33
cos A=±√(33/49)
cos A=√(33)/7
(поскольку угол острый, косинус угла положителен)
Следовательно,
АС=АВ∙ cos A=7∙√(33)/7=√33
ответ : катет прямоугольного треугольника равен √33
5.В
треугольник
е
ABC угол
C равен 900,
СН- высота,
AB=27,
cosA=2/3.
Найдите AH.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН.
Гипотенузу АН можно найти как:
AH=AC∙cos A
Однако, нам неизвестна чему равняется сторона
АС. Но, сторону АС можно найти из
прямоугольного треугольника АВС:
АС=АВ∙cos A=27∙2/3=18
Теперь из треугольника АСН можно найти АН:
АН= AC∙cos A=18∙2/3=12
Следовательно, ответ к задаче: АН равняется 12.
6. Основания
равнобедренной
трапеции равны
6 и 12. Синус
острого угла
трапеции
равен 0,8.
Найдите
боковую
сторону.
ВС=6, АD=12, sin A=0,8
Построим высоты ВН.
Очевидно, что
AH=(AD-BC)/2=(12-6)/2=3
Найдем чему равняется тангенс угла А.
tg A=sin A/cos A
tg2 A=sin2 A/cos2 A= sin2 A/(1-sin2 A)
tg2 A=0,82/(1-0,82)=0,64/0,36=16/9
tg A=4/3
(у острого угла синус, косинус, а следовательно и тангенс положительны)
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. Катет ВН может быть
найден как:
ВН=АН∙tg A=3∙4/3=4
По теореме Пифагора, гипотенуза АВ в прямоугольном треугольнике АВН
равняется:
АВ=√(AH2+BH2)= √(32+42)= √25=5
Следовательно, ответ к задаче: боковая сторона в равнобедренной
трапеции, описанной в условиях задачи, равняется 5.