Применение теоремы Менелая

Исследовательская работа
Автор: Курдюкова Екатерина
Ученица 10 «Т»класса СОШ № 30
Руководитель: Курдюкова Т. М.
Учитель математики
Цель:
Доказав теоремы Менелая и Чевы,
исследовать их применение при решении
задач.
Задачи:
 Показать применение теорем Менелая и
Чевы при решении различных видов задач.
 Сравнить решения задач с использованием
теорем Менелая и Чевы и традиционные
решения.
Теорема Менелая
C
B1
BA1 CB1 AC1


 1
A1C B1 A C1 B
A1
C1
A
B
Теорема Чевы
C
BA1 CB1 AC1


1
A1C B1 A C1 B
A1
B1
O
A
C1
B
В работе представлены
задачи на…
 Нахождение отношения отрезков.
 Нахождение площадей треугольников.
 Доказательство принадлежности точек
одной прямой.
 Доказательство пересечения прямых в
одной точке.
Применение теоремы
Менелая
 Отношение отрезков.
 Если на чертеже имеются элементы
теоремы Менелая.
 Если нужно доказать, что какие – либо
три точки лежат на одной прямой.
На сторонах AB и AC ∆ABC взяты точки M и N так, что
AM/MB=CN/NA=2. Отрезки BN и CM пересекаются в
точке K. Найдите отношение отрезков BK/KN.
C
1. BD || AC.
N
K
A
2. ∆DKB ~∆CKN, BK:KN =BD:CN.
M
B
D
BK NC AM


1
KN CA MB
NC 2

CA 3
AM
2
MB
3. ∆BMD ~∆AMC, BD:AC = BM:AM.
4. BM:AM = 1:2,
1
2
BD

AC
5. CN  AC
2
3
BK 3

Ответ:
BN 4
Применение теоремы Чевы
 Медианы треугольника пересекаются в
одной точке.
 Биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке.
 Высоты треугольника пересекаются в
одной точке.
Медианы треугольника пересекаются в
 АА1 и ВВ1 медианы, пересекаются
одной точке.
в точке О.
АОВ и∆ А1ОВ1подобны.
С
А1В1 - средняя линия,
k= АВ : А1В1= 2,
А1
В1
АО =2А1О ВО =2В1О
 т. О делит медианы АА1 и ВВ1 в
О
отношении 2 : 1 начиная от
В
А
вершины.
 т.О делит медианы СС1 и ВВ1 в
ÀÑ1 ÂÀ1 ÑÂ1
отношении 2 : 1 начиная от


1
Ñ1 Â À1Ñ Â1Ñ
вершины.
 АА1 , ВВ1, СС1пересекаются в
ÂÀ1
ÀÑ1
ÑÂ1
1
 1;
1;
одной точке.
À1Ñ
Ñ1 Â
Â1Ñ


∆
Выводы:
 Применение теорем полезно когда
необходимо «выяснить отношения»
между точками и прямыми.
 Позволяют добиться более простых
решений.
 Дополнительные возможности при
изучении геометрии.
Список литературы:
 Атанасян Л.С.
«Геометрии 7-9кл»
 Кокейтер Г. С. М. и Грейтцер С. Л.
«Новые встречи с геометрией»
 Прасолов В.В.
«Задачи по планиметрии»
 Интернет ресурсы