Призма

Призма
• Многогранник,
составленный из
двух равных
многоугольников
A1A2…An и B1B2…Bn,
расположенных в
параллельных
плоскостях, и n
параллелограммов,
называется
призмой
Bn
B1
B3
B2
An
A1
A3
A2
Bn
B1
B3
B2
• Многоугольники A1A2…An и
B1B2…Bn называются
основаниями призмы,
An
Bn
A1
A3
B1
B3
A2
B2
а параллелограммы –
боковыми гранями
призмы
An
A1
A3
A2
Боковые ребра призмы
• Отрезки A1B1,
A2B2, … , AnBn
называются
боковыми
ребрами призмы
• Боковые ребра
призмы равны и
параллельны
Bn
B1
B3
B2
An
A1
A3
A2
• Призму с основаниями A1A2…An и
B1B2…Bn обозначают A1A2…AnB1B2…Bn и
называют n-угольной призмой
Высота призмы
Bn
B1
B3
B2
An
A1
M
A3
A2
• Перпендикуляр,
проведенный из
какой-нибудь точки
одного основания к
плоскости другого
основания,
называется
высотой призмы
B1M  ( A1A2 A3 )
Прямая и наклонная призмы
• Если боковые ребра призмы перпендикулярны к
основаниям, то призма называется прямой,
• в противном случае – наклонной
• Высота прямой призмы равна её боковому ребру
Правильная призма
• Прямая призма
называется
правильной, если
её основания –
правильные
многоугольники
• У правильной
призмы все
боковые грани –
равные
прямоугольники
Правильные призмы
Параллелепипед
• Если основания
призмы параллелограммы,
то призма является
параллелепипедом
B1
• В параллелепипеде
все грани являются
параллелограммами
A
C1
A1
D1
B
C
D
Диагонали призмы
B1
C1
A1
D1
B
A
C
D
• Диагональю
призмы называется
отрезок,
соединяющий две
вершины, не
принадлежащие
одной грани
Диагонали параллелепипеда
B1
C1
A1
D1
O
B
A
C
D
• Диагонали
параллелепипеда
пересекаются в
одной точке и
делятся этой
точкой пополам
AO  OC1
AO
 OC
1
BO  OD1
B1O  OD
Диагональные сечения призмы
• Сечения призмы
плоскостями,
проходящими через два
боковых ребра, не
принадлежащих одной
грани, называются
диагональными
сечениями
D
E1
D
E1
A1
A1
C
C
B1
B1
D
E
D
E
A
A
C
C
B
B
E1
D
E1
D
A1
A1
• Диагональные сечения
призмы являются
параллелограммами
C
C
B1
B1
E
E
D
A
A
C
C
B
D
B
Диагональные сечения
параллелепипеда
C1
B1
A
C1
B1
A1
D1
A1
D1
B
C
B
C
D
A
D
Площадь поверхности призмы
• Площадью полной поверхности
призмы называется сумма площадей
всех её граней Sполн 
• Площадью боковой поверхности
призмы называется сумма площадей
её боковых граней Sбок 
Sполн  Sбок  2Sосн
Теорема о площади боковой
поверхности прямой призмы
Теорема.
Площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению периметра
основания на высоту призмы
Sбок  Pосн  H
Доказательство теоремы
• Боковые грани прямой призмы –
прямоугольники, основания
которых – стороны основания
призмы, а высоты равны
высоте H призмы. Площадь
боковой поверхности призмы
равна сумме площадей
указанных прямоугольников,
т.е. равна сумме произведений
сторон основания на высоту H.
Вынося множитель H за скобки,
получим в скобках сумму сторон
основания, т.е. периметр P.
F1
E1
D1
A1
B1
F
C1
E
D
A
B
C
Sбок  SABB1A1  SBCC1B1  SACC1A1 
 AB  AA1  BC  BB1  AC  CC1 
 AB  H  BC  H  AC  H 
  AB  BC  AC   H 
 P ABC  H
C1
B1
A1
C
A
B