Тела вращения Шар, сфера и их сечения Математика Преподаватель:

Математика
Тела вращения
Шар, сфера и их сечения
Преподаватель:
Макаренко Ольга Ивановна
Тема занятия: «Шар, сфера и их сечения»
• ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
- Введение определения сферы и шара и
связанных с ними понятий (центр, радиус,
диаметр, хорда, ось, полюса, диаметрально
противоположные точки, большой круг, большая
окружность);
- Рассмотрение сечения шара плоскостью,
удалённой от центра шара на расстоянии,
меньшем радиуса шара.
Проверка домашнего задания
•
• № 522 Диагональ осевого сечения цилиндра 48см. Угол между этой
диагональю и образующей 60⁰. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус
цилиндра; в) площадь основания цилиндра.
Дано: АС=48см , <DAC=60⁰
•
Найти: ОО₁, DО₁, S₀
•
Решение: Из Δ ACD:
DC
3
•
sin 60 
 DC  AC  sin 60  48 
 24 3
AC
2
60⁰
DO1 
•
1
1
DC   24 3  12 3
2
2
По теореме Пифагора:
AD 2  AC 2  DC 2  482  (24 3 ) 2  2304  1728  576
AD  576  24  OO1
• Площадь основания:
So  r 2   ( DO1 )2   (12 3)2  432
Ответ: 24см, 12 3 см ,432 кв.см
Проверка домашнего задания
• № 523 Осевое сечение цилиндра- квадрат, диагональ которого 20 см.
Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
•
Дано: DC=АD, АС=20см
•
Найти: ОО₁, S₀.
•
Решение:
•
1)Пусть DC=АD= ОО₁= х, тогда из
•
ΔAСD:
x 2  x 2  20 2  2 x 2  400  x 2  200
x  основания:
200  10 2  OO1
2) Площадь
S 0  r 2
Тогда
1
1
r  DO1  DC  10 2  5 2
2
2
2
 
S0  r 2   5 2  50
Проверка домашнего задания
S
• № 547
• Высота конуса 15см,
радиус основания 8см.
Найти образующую
конуса.
A
O
Дано: SO=15, AO=8
Найти: AS
Решение:
2
2
2
2
2
AS

AO

SO

8

15
 64  225  289
Из ΔASO:
AS  289  17
Ответ: 17 см.
Расшифруйте название одного из карликовых
государств Европы
•
1. Геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от одной
точки (центра);
• Р – КАСАТЕЛЬНАЯ
•
2. Часть плоскости, лежащая внутри
окружности;
• О - ХОРДА
•
3. Отрезок, соединяющий центр с
точками окружности;
•
4. Отрезок, соединяющий любые две
точки окружности;
•
5. Хорда, проходящая через центр;
•
6. Прямая, имеющая одну общую точку
с окружностью.
•
7. Прямая, имеющая две общие точки с
окружностью.
• А - ОКРУЖНОСТЬ
• Д - РАДИУС
• А - СЕКУЩАЯ
• Р- ДИАМЕТР
• Н - КРУГ
АНДОРРА
Кня́жество Андо́рра , Андо́рра — одно
изкарликовых государств Европы, не имеющее
выхода к морю, княжество, расположенное в
восточных Пиренеях между
Францией и Испанией.
Название страны происходит
от баск. andurrial — «пустошь».
Когда-то закрытое, в настоящее время княжество
процветает в основном благодаря туризму.
Территория Андорры занимает 468 кв. км.
Столица — Андорра-ла-Велья.
Население Андорры составляет 84 129 человек .
Шар и сфера
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся
на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется
центром шара. Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой.
Т.о., точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на
расстояние, равное радиусу.
Слова “шар” и “сфера” происходят от одного и того же греческого слова “сфайра” мяч.
Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой
шаровой поверхности, называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности
и проходящий через центр шара, называется
диаметром.
r
D
Элементы шара
О – центр шара,
R – радиус шара,
МК – хорда шара,
Р, Р1 – полюсы шара,
АВ – диаметр шара,
А и В – диаметрально
противоположные точки,
РР1 – ось шара.
Граница шара называется
шаровой поверхностью,
или сферой. Т.о.,
точками сферы являются
все точки шара, которые
удалены от центра на
расстояние, равное
радиусу.
Концы любого диаметра
называются
диаметрально
противоположными
точками шара.
На рисунке точки А и В
являются диаметрально
противоположными.
Шар и сфера как тела вращения
Сфера может быть
получена вращением
полуокружности
ACB вокруг ее
диаметра AB как
оси, а шар –
вращением полукруга
вокруг его диаметра
как оси.
А
С
В
Сечение шара плоскостью
• Теорема. Всякое
сечение шара
плоскостью есть круг.
Центр этого круга есть
основание
перпендикуляра,
опущенного из центра
шара на секущую
плоскость.
Плоскость, проходящая
через центр шара,
называется
диаметральной
плоскостью.
Сечение шара
диаметральной
плоскостью называется
большим кругом, а
сечение сферы – большой
окружностью.
Симметрия шара
• Любая диаметральная плоскость шара
является его плоскостью симметрии. Центр
шара является его центром симметрии.
Сфера и шар в повседневной
жизни
Пересечение двух сфер
Линия пересечения двух
сфер есть
окружность.
Упражнение 1
Сколько сфер можно провести: а) через одну и ту же
окружность; б) через окружность и точку, не
принадлежащую ее плоскости?
Ответ: а) Бесконечно много;
б) одну.
Упражнение 2
Сколько сфер можно провести через четыре точки,
являющиеся вершинами: а) квадрата; б)
равнобедренной трапеции; в) ромба?
Ответ: а) Бесконечно много;
в) ни одной.
б) бесконечно много;
Упражнение 3
Как должны быть расположены две равные
окружности, чтобы через них могла пройти сфера
того же радиуса?
Ответ: Иметь общий центр.
Упражнение 4
Исследуйте случаи взаимного расположения двух
сфер. В каком случае две сферы: а) не имеют общих
точек; б) касаются; в) пересекаются?
Ответ: а) Если расстояние между центрами сфер больше суммы или меньше
разностей их радиусов, то сферы не имеют общих точек;
б) если расстояние между центрами сфер равно сумме или разности их радиусов, то
сферы касаются;
в) если расстояние между центрами сфер меньше суммы и больше разностей их
радиусов, то сферы пересекаются.
Упражнение 5
Радиусы двух сфер равны 5. Расстояние между их
центрами равно 8. Найдите радиус окружности,
по которой пересекаются эти сферы.
Ответ: 3.
Упражнение 6
Шар радиуса 5 см пересечен плоскостью,
отстоящей от центра шара на 3 см. Вычислите
радиус круга, получившегося в сечении.
Ответ: 4 см.
Упражнение 7
Радиус шара 4 см. Через конец радиуса
проведена плоскость под углом 60° к нему.
Найдите площадь сечения.
Ответ: 4π см²
Упражнение 8
Исследуйте случаи взаимного расположения сферы
и прямой. Когда они:
а) не имеют общих точек;
б) касаются;
в) пересекаются?
Ответ:
а) Если расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса, то
сфера и прямая не имеют общих точек;
б) если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу, то прямая
касается сферы;
в) если расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса, то сфера и
прямая пересекаются.
№ 574, 580, 581 стр. 150-151 по учебнику
«Геометрия 10-11»
Улыбнитесь!
Встречаются как-то физик и математик. Физик и
спрашивает:
- Слушай, почему у поезда колеса круглые, а когда он едет
они стучат.
- Это элементарно. Формула круга - пи эр квадрат, так
вот этот квадрат как раз и стучит.