ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ГЛАВА 3
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
§1. Прямая на плоскости. Различные виды
уравнений прямой на плоскости.
Пусть имеется прямоугольная система координат
XOY .
Введение на плоскости системы координат позволяет
определять положение точки плоскости заданием двух
чисел  ее координат, а положение линии на плоскости
определять с помощью уравнения, т.е. равенства,
связывающего координаты точек линии.
Уравнением линии на плоскости
такое уравнение
F ( x, y )  0
XOY
называется
с двумя переменными,
x
y
которому удовлетворяют координаты
и
каждой точки линии и не удовлетворяют координаты
любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные
x
и
y
в уравнении линии называют
текущими координатами точек линии.
В аналитической геометрии на плоскости возникают
две основные задачи:
1. зная геометрические свойства линии, найти ее уравнение;
2. зная уравнение линии, изучить ее форму и свойства.
Простейшей из линий является прямая. Различным
способам задания прямой соответствуют различные
виды ее уравнений. Рассмотрим их.
1. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору.
Положение прямой на плоскости относительно
прямоугольной системы координат определяется точкой
M 0 ( x0 , y0 ), принадлежащей этой прямой, и ненулевым
2
2
вектором n( A, B )( A  B  0), перпендикулярным
к прямой. Вектор
n называется нормальным
вектором прямой.
𝑛(𝐴, 𝐵)
𝑙
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑀(𝑥, 𝑦)
Если
M ( x, y )  произвольная точка этой прямой, то
n
 M 0 M  n  M 0 M  0.
Выражая скалярное произведение через координаты
векторов
M 0M
и
n,
получим уравнение прямой,
заданной точкой и нормальным вектором:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  0.
(1.1)
2. Общее уравнение прямой.
В уравнении (1.1) раскроем скобки и приведем подобные:
Ax  By  ( Ax0  By 0 )  0

 

C
или
Ax  By  C  0.
(1.2)
Уравнение (1.2) называют общим уравнением прямой
на плоскости.
Рассмотрим частные случаи расположения прямой на
плоскости и запишем соответствующие уравнения:
1)
C  0, Ax  By  0
прямая проходит через точку

O (0,0);
3)
B  0, Ax  C  0 
прямая параллельна оси OY ;
A  0, By  C  0 
4)
OX ;
B  C  0, Ax  0 или x  0 
2)
прямая параллельна оси
прямая совпадает с осью
5)
OY ;
A  C  0, By  0
прямая совпадает с осью
или
OX .
y0 
3. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
Положение прямой на плоскости определяется также точкой
M 0 ( x0 , y0 )
s  (m, n),
этой прямой и ненулевым вектором
параллельным данной прямой, который
называется направляющим вектором этой прямой.
M ( x, y )  произвольная точка этой прямой, то
Если
M 0 M || s  M 0 M  t  s,
(1.3)
где
 числовой множитель, который может быть любым
действительным числом в зависимости от положения точки
t
M
на прямой.
𝑠(𝑚, 𝑛)
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑀(𝑥, 𝑦)
Записав обе части равенства (1.3) через координаты, получим
x  x0 , y  y0   t (m, n) 
( x  x0 , y  y0 )  (tm, tn) 
 x  x0  tm


 y  y0  tn
 x  x0  tm
, t   , .

 y  y0  tn
Уравнения (1.4) называют параметрическими
уравнениями прямой на плоскости.
(1.4)
Исключив из уравнений (1.4) параметр
уравнение
x  x0 y  y0

,
m
n
t,
получим
(1.5)
которое называют каноническим уравнением прямой на
плоскости.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть прямая проходит через точки
M 2 ( x2 , y2 ).
M1 ( x1, y1 )
и
Тогда вектор
M 1M 2  ( x2  x1 , y2  y1 )
будет направляющим для этой прямой. Воспользовавшись
уравнением (1.5), получим уравнение
x  x1
y  y1

,
x2  x1 y2  y1
(1.6)
которое называют уравнением прямой по двум точкам.
5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Пусть на плоскости
параллельная оси
XOY
OY ,
задана произвольная прямая, не
проходящая через точку
M ( x, y ).
Тогда первая координата ее направляющего вектора
не равна нулю, т.е.
m  0.
s(m, n)
𝑌
𝑀0
𝑛
𝑠
𝛼
𝛼
𝑚
𝑙
𝑋
Преобразуем уравнение (1.5):
x  x0 y  y0

 m  ( y  y0 )  n  ( x  x0 )
m
n

.
n
y  y0   x  x0 
m

k

y  y0  k  x  x0 
(1.7)
Уравнение (1.7), где
n
k   tg
m
коэффициент прямой,

 угловой
 угол наклона прямой
положительному направлению оси
OX ,
называется
уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту.
Преобразуем уравнение (1.7):
y  y0  kx  kx0  y  kx  ( y0  kx0 ) 


y  kx  b.
b
(1.8)
Уравнение (1.8) называется уравнением прямой с
угловым коэффициентом.
6. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть прямая пересекает ось
а ось
OY
 в точке
Y
N(0,b)
b
О
a
M(a,0)
Х
OX
N (0, b).
в точке
M (a,0),
В этом случае уравнение (1.6) прямой, проходящей через
две точки, примет вид:
xa y0
1

  x  a b   ya  xb  ya  ab 

0a b0
ab
x y
 1
a b
(1.9)
Уравнение (1.9) называют уравнением прямой в отрезках,
так как числа
a
и
b
указывают, какие отрезки отсекает
прямая на осях координат.
§2. Взаимное расположение прямых
на плоскости.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть прямые
L1
и
L2
заданы общими уравнениями:
L1 : A1 x  B1 y  C1  0,
L2 : A2 x  B2 y  C2  0.
Тогда их нормальные векторы соответственно
n1 ( A1 , B1 )
и
n2 ( A2 , B2 ).
Возможны следующие случаи взаимного расположения
прямых:
1)
2)
3)
A1 B1 C1
L1 || L2 


;
A2 B2 C2
L1
совпадает с
A1 B1 C1
L2 


;
A2 B2 C2
L1  L2  n1  n2  0  A1 A2  B1B2  0;
4)
L1 пересекается с L2
под углом
.
Тогда
.
(2.1)
n1  n2
cos  

| n1 |  | n2 |
cos  
A1 A2  B1B2
A B  A B
2
1
2
1
2
2
2
2
2. Пусть прямые
L1
и
L2
заданы уравнениями с
угловым коэффициентом:
L1 : y  k1 x  b1 ,
L2 : y  k2 x  b2 .
Возможны следующие случаи взаимного расположения
прямых:
1)
L1 || L2  k1  k2 , b1  b2 ;
2)
L1
совпадает с
L2  k1  k2 , b1  b2 ;
3)
4)
L1
L1

L2  k1  k2  1;
пересекается с
L2
под углом
k2  k1
tg 
.
1  k1  k 2

(2.2)
§3. Расстояние от точки до прямой.
Пусть заданы прямая
и точка
l
уравнением
Ax  By  C  0
M 0 ( x0 , y0 ).
𝑀0
𝑙
Расстояние от точки
M0
до прямой
равно модулю проекции вектора
l
M1M 0 ,
где
M1 ( x1, y1 )  произвольная точка прямой l ,
на направление нормального вектора n ( A, B ).
𝑌
𝑀1
𝑀𝑜
𝑑
𝑛
𝑋
𝑙
Следовательно:
M 1M 0  n
d  прn M 1M 0 

|n|


( x0  x1 ) A  ( y0  y1 ) B
A2  B 2
Ax0  By0  Ax1  By1
A B
2
2
.

Поскольку
M1 ( x1 , y1 )  l ,
то
Ax1  By1  C  0  C   Ax1  By1.
Поэтому
d
Ax0  By 0  C
A B
2
2
.
(3.1)
Пример.
Зная уравнение двух сторон параллелограмма
l1 : x  3 y  0
и
и одну из его вершин
l2 :
2x  5 y  6  0
A(1,2),
составить уравнения
двух других сторон.
,
n1 (1,3) и n 2 ( 2,5)
 нормальные векторы прямых l и l соответственно.
2
1
1

3
Поскольку

, то векторы n1 и n 2
Решение. Введем обозначение
2
5
не коллинеарны, а прямые
l1
и
l2
не параллельны.
Значит, нам даны уравнения двух смежных сторон
параллелограмма. Поскольку, координаты точки
A
не удовлетворяют ни одному из уравнений, то вершина
A
не лежит ни на одной из этих прямых.
2x+5y+6=0
B
n2
A
C
n1
x-3y=0
D
Поскольку
AB || l1 ,
то
n1 (1,3)  AB
и,
воспользовавшись формулой (1.1), составим уравнение
прямой
AB
вектору
n1 :
по точке
A(1,2)
и нормальному
1  ( x  1)  3  ( y  2)  0,
x  1  3 y  6  0,
x  3 y  7  0.
Аналогично,
AD || l2  n 2 (2,5) 
и уравнение прямой
AD
AD :
2  ( x  1)  5  ( y  2)  0,
2 x  2  5 y  10  0,
2 x  5 y  8  0.
Пример. Треугольник
вершин:
ABC
задан координатами своих
A(1,2), B(2,2), C (6,1).
Требуется:
а) записать уравнение прямой, содержащей сторону
б) записать уравнение прямой, содержащей высоту
и вычислить ее длину
CD .
C
A
B
D
AB;
CD
Решение.
а) Для того, чтобы найти уравнение прямой
AB,
воспользуемся каноническим уравнением (1.5).
Направляющим вектором этой прямой возьмем вектор
AB,
т.е.
s  AB  (1,4).
В качестве точки на прямой можно взять любую из точек
A
или
AB
B;
выберем
A. Тогда уравнение прямой
будет
x 1 y  2

 y  2  4 x  4 
1
4
4 x  y  6  0.
б) Запишем уравнение высоты
СD.
Воспользуемся
уравнением (1.1) прямой по точке и нормальному вектору.
СD  высота треугольника ABC , то
AB  CD. Значит, в качестве нормального вектора
AB,
прямой CD можно взять вектор
т.е. n  AB  (1,4), а в качестве фиксированной
Поскольку
точки на прямой берем точку
Тогда уравнение
C.
CD
1 ( x  6)  4  ( y  1)  0  x  4 y  2  0.
Вычислим длину высоты
точки
C
до прямой
CD. Она равна расстоянию от
AB.
Воспользуемся формулой (1.13):
CD 
4  6 1 6
4 1
2
2
19

17
§4. Плоскость в пространстве.
Различные виды уравнений плоскости в
пространстве.
Плоскость в пространстве относительно выбранной
прямоугольной системы координат
Oxyz
можно задать разными способами. Каждому из них
соответствует определенный вид ее уравнения.
1) Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору (по точке
и нормальному вектору).
Положение плоскости в пространстве вполне определяется
какой-либо точкой
M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
принадлежащей
этой плоскости, и ненулевым вектором
n( A, B, C )( A  B  C  0),
2
2
2
перпендикулярным к плоскости.
Вектор
n
называют нормальным вектором плоскости.
n
M0
Р
M
Если
n
M ( x, y, z )  произвольная точка этой плоскости, то

M 0 M  n  M 0 M  0.
Выражая скалярное произведение через координаты
векторов
M 0M
и
n,
получим уравнение
плоскости, заданной точкой и нормальным вектором:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0.
(4.1)
2) Общее уравнение плоскости.
В уравнении (4.1) раскроем скобки и приведем подобные:
Ax  By  Сz  ( Ax0  By 0  Cz0 )  0



или
D
Ax  By  Cz  D  0.
(4.2)
Уравнение (4.2) называют общим уравнением плоскости
в пространстве.
3) Уравнение плоскости, проходящей через три
данные точки.
Чтобы определить уравнение плоскости, проходящей
через три точки
M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ), M 3 ( x3 , y3 , z3 ),
не принадлежащие одной прямой, необходимо взять
на этой плоскости произвольную точку
Тогда векторы
M ( x, y, z ).
M1M , M1M 2 , M1M 3

компланарны и их смешанное произведение равно нулю.
Следовательно, выражая смешанное произведение векторов
через их координаты, получаем уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
x3  x1
y2  y1
y3  y1
z2  z1  0.
z3  z1
(4.3)
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки
A(2,5,4), B(3,6,1), C (0,5,3).
Решение. Воспользуемся уравнением (2.3):
x2
y 5
z4
3  2 6  5 1  4  0
0  2 55 3 4
x2
1
2
y 5 z 4
1
0
 5  7( x  2)  17( y  5)  2( z  4) 
7
 7 x  17 y  2 z  79.
Таким образом , уравнение искомой плоскости
 7 x  17 y  2 z  79  0.
4) Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях
соответственно отрезки
через три точки
a, b
и
Ox, Oy
и
Oz
c, т.е. проходит
M (a,0,0), N (0, b,0), P(0,0, c).
Z
P
c
a
M
X
О
b
N
Y
Подставляя координаты этих точек в уравнение (2.3), получим
xa y z
 a b 0  0.
a
0 c
Раскрыв определитель, имеем
bcx  abc  acy  abz  0 
bcx  acy  abz  abc |: abc  0 
x y z
   1.
a b c
(4.4)
Уравнение (4.4) называется уравнением плоскости в
отрезках. Им удобно пользоваться при построении
плоскости.
§5 Взаимное расположение двух плоскостей в
пространстве.
Пусть плоскости
P1
и
P2
заданы уравнениями в
общем виде:
P1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,
P2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.
Тогда их нормальные векторы соответственно
n1 ( A1 , B1 , C1 )
и
n2 ( A2 , B2 , C2 ).
Возможны следующие случаи взаимного расположения
плоскостей:
1)
A1 B1 C1 D1
P1 || P2 



;
A2 B2 C2 D2
A1 B1 C1 D1
P2 



;
A2 B2 C2 D2
2)
P1
3)
P1  P2  n1  n2  0  A1 A2  B1B2  C1C2  0;
совпадает с
4)
P1
пересекается с
cos  

P2
n1  n2
| n1 |  | n2 |
под углом
.
Тогда

A1 A2  B1 B2  C1C2
A  B C  A  B C
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
§6 Расстояние от точки до плоскости.
Пусть задана точка
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и плоскость P
своим уравнением
Ax  By  Cz  D  0.
Расстояние от точки
формуле
d
M0
до плоскости находят по
Ax0  By 0  Cz0  D
A  B C
2
2
2
.
Вывод этой формулы такой же, как и вывод формулы
расстояния от точки до прямой на плоскости.
§7 Прямая в пространстве. Различные
виды уравнений прямой в пространстве.
1. Общие уравнения прямой.
Прямую в пространстве можно представить как пересечение
двух непараллельных плоскостей , поэтому аналитически ее
можно задать системой двух линейных уравнений вида
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
(7.1)
Уравнения (7.1) называют общими уравнениями прямой
в пространстве.
𝑃1
𝐿
𝑃2
2. Уравнения прямой по точке и направляющему вектору.
Положение прямой в пространстве определяется однозначно,
если на ней заданы точка
M 0 ( x0 , y0 , z0 ), принадлежащая
этой прямой и ненулевой вектор
s  (m, n, p),
параллельный данной прямой.
Тогда канонические уравнения прямой по точке и
направляющему вектору будут иметь вид
x  x0 y  y0 z  z0


,
m
n
p
(7.2)
Преобразовав уравнения (7.2) к виду
 x  x0  tm

 y  y0  tn, t   ,.
 z  z  tp
0

(7.3)
получим параметрические уравнения прямой в
пространстве.
3. Уравнения прямой, проходящей через две точки.
Прямая, проходящая через точки
M 2 ( x2 , y2 , z2 ),
M1 ( x1, y1, z1 )
определяется уравнениями
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
(7.4)
и
§8 Приведение общих уравнений прямой к
каноническому виду.
Для того, чтобы привести уравнения (7.1) к каноническому
виду (7.2), нужно определить координаты
M0,
лежащей на этой прямой,
m, n, p
направляющего вектора
какой либо точки
и координаты
x0 , y0 , z0
s
прямой.
Чтобы определить точку
M0,
нужно в систему (7.1)
подставить конкретное значение одной из переменных и,
решив ее, найти соответствующие значения двух других
переменных.
В качестве направляющего вектора
s
можно взять
вектор, равный векторному произведению векторов
n1 ( A1 , B1 , C1 )
и
n2 ( A2 , B2 , C2 ) , т.е.
i
s  n1  n2  A1
A2
j
B1
B2
k
C1 .
C2
(8.1)
Пример. Найти канонические уравнения прямой
 x  y  5z  1  0
.

2 x  y  z  5  0
(8.2)
Решение. Определим координаты какой-либо точки прямой.
z  0, из системы (8.2)
 x  y 1  0

2 x  y  5  0 ,

z0

Для этого, полагая, например
получим систему
решив которую, найдем:
x  2, y  1, z  0
или
M 0 (2,1,0).
Теперь найдем направляющий вектор
Имеем
n1 (1,1,5), n2 (2,1,1).
s.
Тогда
i
j k
s  n1  n2  1  1 5  4i  11 j  3k .
2 1 1
Отсюда канонические уравнения прямой запишутся в виде
x  2 y 1 z

 .
4
11
3
§9 Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть прямые
l1
и
l2
заданы каноническими
уравнениями соответственно
x  x1 y  y1 z  z1


m1
n1
p1
и
x  x2 y  y2 z  z2


.
m2
n2
p2
Возможны следующие случаи взаимного расположения
прямых:
1)
p1
 m1 n1


,
s1 || s2 ,

l1 || l2  
  m2 n2 p2
M 1 ( x1 , y1 , z1 )  l2 ,
M ( x , y , z )  l .
2
 1 1 1 1
2)
l1
совпадает с
l2 
 m1 n1 p1


,
s1 || s2 ,

  m2 n2 p2

M 1 ( x1 , y1 , z1 )  l2 ,
M ( x , y , z )  l .
2
 1 1 1 1
Под углом между прямыми в пространстве понимают
угол между их направляющими векторами. Поэтому, даже
если прямые в пространстве скрещиваются, угол между
ними все равно можно найти.
3)
l1  l2 s1  s2  s1  s2  0 
m1m2  n1n2  p1 p2  0.
4) Пусть угол между прямыми равен
сos 
 . Тогда
m1m2  n1n2  p1 p2
m n  p  m n  p
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
(9.1)
§10 Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве.
Рассмотрим прямую
и плоскость
x  x0 y  y0 z  z0
l:


m
n
p
P : Ax  By  Cz  D  0
в пространстве.
Возможны следующие случаи их взаимного расположения:
1)
s  n  0,
mA  nB  pC  0,
lP  

M 0 ( x0 , y0 , z0 )  P,  Ax0  By 0  Cz0  D  0.
𝑛
𝑃
𝑠
𝑀0
𝑙
s  n  0,
mA  nB  pC  0,
2) l || P  

M 0 ( x0 , y0 , z0 )  P,  Ax0  By0  Cz0  D  0.
𝑠
𝑀0
𝑙
𝑛
𝑃
3)
l

m n p
P  s || n    .
A B C
𝑠
𝑛
𝑃
𝑙
4) Прямая
l
пересекает плоскость
| ns |
sin  

| n|| s |
P под углом 
| Am  Bn  Cp |
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
𝑙
𝑛
𝑠
𝜑
𝑃1
и
.(10.1)
Пример. Найти угол между прямой, проходящей через точки
A(5,1,4) и B (6,1,3),
и плоскостью
2 x  2 y  z  7  0.
Решение. В качестве направляющего вектора прямой можно
взять вектор
s  AB  (1,0,1).
Так, как нормальный вектор данной плоскости
n  (2,2,1),
то по формуле (7.1), получим
| 2 1  (2)  0  11 |
3
1

sin  


  .
4
4  4 1  1 0 1 3 2
2