Урок одной задачи

Урок одной задачи
(длительная проектная деятельность)
В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана
AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину,
равную 4. Найти стороны треугольника АВС .
Общим для всех способов
решений данной задачи
является:
- О – точка пересечения ВЕ и
AD;
- ∆ АВО = ∆ DBO;
- AO = OD = 2 и AB = BD, и,
значит ВС = 2АВ.
Способ 1 (координатный).
В данной системе точки А, D, В имеют координаты А (-2;
0), D (2; 0) и B (0; b).
Для того, чтобы определить длины сторон треугольника
АВС, надо найти число b. Выразим через b координаты
точек С и Е. Так как D – середина отрезка ВС, то С (4; -b).
Для точки Е имеем координаты (0; у). Вторую координату
точки Е найдём, пользуясь тем, что точка Е принадлежит
прямой АС. Уравнение прямой АС имеет вид
Координаты точки Е (0; у) удовлетворяют этому
уравнению. Подставив в него 0 вместо х, получим
Следовательно
.
. По условию, ВЕ = 4, значит
или b = 3.
Итак, А (-2; 0), В(0; 3), С (4; -3). Зная координаты вершин
треугольника АВС найдём его стороны:
,
Способ 2 (векторный).
Положим
. Векторы
и
выразим через и . Т. к. ВС = 2 BD,
то СЕ = 2 АЕ (по свойству биссектрисы треугольника). Пользуясь формулой
деления отрезка в данном отношении, получим:
Согласно правилу вычитания векторов, имеем:
Длины векторов
и
известны. Пусть = а, тогда
= 2а. Вычислив
скалярные квадраты векторов
и , получим уравнения:
и
Отсюда а2 = 13 и
.
. Значит
.
Найдём теперь сторону АС, пользуясь векторной формулировкой теоремы
косинусов:
. Подставив вместо а2 и
найденные выше
значения, получим
Способ 3 (аналитический)
Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника
АВС выразим через длины a, b, c сторон
треугольника по формулам:
ВЕ2 = ас – а1с1,
где а1 = СЕ, и с1 = АЕ.
Пусть АВ=х, АЕ=у, тогда ВС=2х и СЕ=2у.
Получим систему уравнений:
Отсюда х2 = 13, у2 = 5.
Значит
и
Способ 4 (тригонометрический
с применением теоремы
косинусов)
Обозначим АВ = х,
. По
теореме косинусов из
треугольников АВС и ВСЕ
находим:
АЕ2 = х2 + 16 – 8х cos α,
СE2 = 4x2 + 16 – 16x cos α.
Учитывая, что СЕ = 2АЕ или
СЕ2 = 4АЕ2, получаем:
x cos α = 3. Но cos α = ВО, значит,
ВО = 3 и ОЕ = 1. Остаётся,
пользуясь теоремой Пифагора,
вычислить сторона треугольника
АВС.
Способ 5 (с помощью площадей).
Так как АО = OD = 2, ВЕ = 4 и
,
то площадь каждого из треугольников
BAE и BDE равна 4 (см. рисунок).
Площадь треугольника CDE также равна
4, так как медиана ED делит треугольник
ВСЕ на два равновеликих треугольника.
Значит, площадь треугольника АВС равна
12. Поскольку AD – медиана
треугольника АВС, то площадь
треугольника ABD равна 6.
Остаётся применить формулу площади
треугольника. Получим: АО · ВО = 6. Но
АО = 2, значит ВО = 3. Стороны
треугольника АВС найдём по теореме
Пифагора.
Способ 6 (с помощью осевой симметрии).
Точки A и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим ещё точку, симметричную
точке С относительно прямой ВЕ. Для этого
продолжим отрезок DE до пересечения с прямой
АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и DE (см. рисунок). Получим равнобедренный треугольник BCF; из равенства
треугольников BEF и ВЕС следует, что BF = BC.
Продолжим ещё биссектрису ВЕ до пересечения с
CF в точке Н. Тогда ВН – биссектриса треугольника BCF, а следовательно, и его медиана. Таким
образом Е – точка пересечения медиан треугольника BCF, и поэтому ЕН = 0,5 ВЕ= 2, а ВН = 6.
Средняя линия AD треугольника BCF делит
медиану ВН пополам, поэтому ВО = 3.
Дальнейший ход решения аналогичен
предыдущим.
Способ 7 (по теореме о средней линии
треугольника).
Проведём среднюю линию DK треугольника ВСЕ (см.
рисунок). Так как DK || BE и АО = OD, то ОЕ –
средняя линия треугольника ADK. Следовательно:
и
, т. е.
.
Так как ВЕ = 4, то ОЕ = 1 и ВО = 3.
Из приведённого решения видно, что отношение
ВО/ОЕ не зависит от длин отрезков ВЕ и AD. Найти
это отношение можно также, используя лишь то факт,
что AD – медиана треугольника АВС и АО = ОВ,
причём без всяких вспомогательных построений.