А1, В1, С1

Подготовила
Ученица 8 класса «Б»
Шебанкова Марина
Биография ученого
Чева (Джованни) — итальянский
математик. Умер в 1734 г. Главными
предметами его занятий были геометрия и
механика. Он написал много сочинений.
Самым замечательным из них было первое
"De lineis rectis se invicem secantibus statica
constructio" (Милан, 1678); . В первой его
части автор доказывает теорему Менелая и
ряд сходных с нею теорем при помощи
статического метода, основанного на
свойствах центра тяжести системы точек.
Теорема Чевы

Если на сторонах АВ, ВС и СА
треугольника АВС взяты
соответственно точки С1, А1 и В1, то
отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются
в одной точке тогда и только тогда,
когда
AB
1
CA
1
BC
1

*
*
1
B1C A1B AC1
(1)
Доказательство.1.
Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в
точке О. Докажем,что AB1 * CA1 * BC1  1
B1C A1B AC1
 По теореме о пропорциональных отрезках в
треугольнике имеем:




AO AB1  CA1 

* 1 

OA1 B1C  A1B 
И
AO C1A  A1B 

* 1 

OA1 BC1  CA1 
Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и
правые части. Приравнивая их, получаем
AB1 BC C1A BC
*

*
B1C A1B BC1 CA1
Разделив обе части на правую часть,приходим к
равенству (1)
УТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ
А1
ТЕОРЕМЕ.
Пусть для точек А1, В1, С1, взятых на
соответствующих сторонах треугольника ABC,
В1
Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1,BB1,СС1
пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1
и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в
точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на
основании доказанного в первом пункте
AB1 CA1 BC2
*
*
1
B1C A1B C2A
(2)
Итак, имеют место равенства (1) и (2)
BC1 BC2

Сопоставляя их, приходим к равенству
,которое показывает,
C1A C2A
что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1
пересекаются в точке О. Теорема доказана.
Биография ученого
 Менелай
Александрийский (Menélaos),
древнегреческий астроном и математик (1
в.). Автор работ по сферической
тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и
3 книги «Сферики» (сохранились в арабском
переводе). Тригонометрия у Менелая
отделена от геометрии и астрономии.
Арабские авторы упоминают также о книге
Менелая по гидростатике.
Теорема Менелая
Если на сторонах АВ, ВС и
продолжении АС треугольника АВС
соответственно взяты точки С1, А1 и
В1, то эти точки лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда
АВ1 СА1 ВС1
*
*
1
В1С А1В С1А
(3)
Доказательство.1.
Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на
D
АВ1 СА1 ВС1
одной прямой. Докажем, что В1С * А1В * С1А  1
Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой
В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:
АВ1 DА1

В1С А1C
BC 1 BA1

C1A A1D
и
Перемножая левые и правые части этих равенств,
получаем:
АВ1 BC1 A1B
*

В1С C1A СA1
, откуда
АВ1 СА1 ВС1
*
*
1
В1С А1В С1А
УТВЕРЖДЕНИЕ
В1
ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ.

Пусть точка В1 взята на
продолжении стороны АС, а
точки С1 и А1-на сторонах АВ и
ВС, причем так, что выполнено
ÀÂ1 ÑÀ1 ÂÑ1
*
*
 1.
равенство
Â1Ñ À1Â Ñ1À
Докажем, что точки А1, В1 и С1
лежат на одной прямой.
А
С1
В
А1
С
Доказательство.
Прямая В1С1 пересекает
сторону ВС в некоторой точке
А2.Т.к точки В1,С1 и А2 лежат на
одной прямой, то по теореме
Менелая АВ1 * СА2 * ВС1  1
(4)
В1С А2 В С1А
Сопоставляя (3) и (4),приходим к
1 СA2

равенству СА
,которое
А1В А2 B
показывает, что точки А1 и А2
делят сторону ВС в одном и том
же отношении.Следовательно,
точки А1 и А2 совпадают, и,
значит, точки А1, В1 и С1 лежат
на одной прямой.
В1
А
С1
В
А2
С
Задача.1
Дано: точка К делит сторону АВ
равнобедренного треугольника АВС
(АВ=АС) в отношении 2:1. Точка Р
лежит на продолжении АС за точку
С, и АВ=СР.
Найти: в каком отношении делит
прямая РК сторону ВС.
С
Х
А
К
В
Р
Решение.
По условию
AK
2
KB
и
CP 1

PA 2
Используя теорему Менелая, мы
находим
CP AK BX
*
*
1
PA KB XC
BX
1
XC
Р
С
Х
А
К
В
Задача 2.

На медиане BD
треугольника ABC
отмечена точка М так,
что ВМ:MD=m:n.
Прямая АМ пересекает
сторону ВС в точке К.
найдите отношение
ВК:КС.
К
D
Решение.
По теореме Менелая:
АD CK BM
*
*
1
AC KB MD
АD 1

ВМ-медиана, значит
AC 2
1 CK m
*
* 1
2 KB n
К

BK m

KC 2n
D
Задача 3.

Через середину М
стороны ВС треугольника
Е
АВС, в котором АВ≠АС,
проведена прямая,
параллельная
биссектрисе угла А и
пересекающая прямые
АВ и АС соответственно
в точках D и Е. Докажите,
что BD=СЕ
D
Решение .

По теореме Менелая следует,
что
Е
АE CM ВD
*
*
1
EС MВ DА
Т.к. точка М середина стороны
ВС, следовательно
CM
1
MВ
АE DA

EС BD .
.Значит
АЕ=DA,следовательно ЕС=BD.
D