Выполнил работу Мирошниченко Вячеслав ученик 10 класса МБОУСОШ №1 х. Маяк Изучить определения и свойства вневписанной окружности. Исследовать приёмы решения задач на вневписанную окружность. Составить сборник задач на вневписанную окружность. Соотношения сторон треугольника и радиуса вписанной окружности №п/п Вид треугольника 1. Произвольный 2. Остроугольный или тупоугольный 3. Прямоугольный 4. Равносторонний Информация Центр окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника (внутри треугольника). R = S p (p- R= abc pc 2 R= а 2 3 полупериметр треугольника). (p-полупериметр треугольника, a, b - катеты, с - гипотенуза). . Соотношения сторон треугольника и радиуса описанной окружности №п/п Вид треугольника Информация 1. Произвольный Центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: - в остроугольном - внутри треугольника; -в прямоугольном - в середине гипотенузы; - в тупоугольном – вне треугольника. 2. Произвольный 3. Прямоугольный 4. Равносторонний a R= с 2 R= а 3 5. Равносторонний b c abc R= 4 S ; sin A sin B sin C 2 R . R= R 2 (с – гипотенуза). В С А О В А М К С N О Каждый из отрезков касательных, проведённых из вершины треугольника, противоположной стороне касания вневписанной окружности, равен полупериметру треугольника. Длины сторон треугольника и радиусы вписанной и вневписанной окружностей связаны соотношением Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны : S S S ra= p a , rb= p b , rc= p c. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, 1 1 1 1 обратной радиусу вписанной окружности: ra rb rc r Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника: rarb+rbrc+rcra=p2 Таблица2 №п/п Вид треугольника 1. Произвольный 2. Произвольный Информация Центр вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внешних углов при стороне касания и биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне касания. ; ra = S pa ; rb= S r= pb , c ra + rb + rc = r + 4R ; rarb+rbrc+rcra=p2 1 1 1 1 ra rb rc r 3. Прямоугольный r = p (p- полупериметр) 4. Равносторонний r = h ( h- высота треугольника) S pc Дано: ∆АВС Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать, что АВ1 = АС1 = p В1 В Оа. А1 Доказательство: α/2 α/2 Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, прове денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p. Дано: Треугольник АВС, <А=300, R-радиус окр. В О2 О1 О1О2-? А Н С M Решение: Пусть О1 и О2 – центры данных окружностей (R – радиус первой). По свойству вневписанной окружности, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, поэтому МСО2=<О2СВ, аналогично АСО1=О1СВ => треугольник О1СО2 – прямоугольный. Так как АО1 биссектриса, то <О1АС=150. Из ∆АО1H , <АО1Н= 900-150= 750. Из ∆О1НС <НО1С= 900:2=450, <О2О1С=1800-(450+750)=600. Следовательно, О1О2С=750-450=300. Из ∆ О2О1С, катет О1С лежит против угла в 300, значит О1О2=2О1С=2R. Ответ: 2R Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника 7 и 17. Найти расстояние между их центрами. Случай1 одна из окружностей касается гипотенузы, а другая –катета. Дано: Треугольник АВС- прямоугольный <В=900. Вневписанные окружности (О1;r) и (О2;R) , где r-7см, R-17 Найти: О1О2 Решение: О2 А О1 М К В С МС=ВМ+ВС=7+17=24. О1К=МС=24, О2К= 17-7=10. Из прямоугольного ∆О1КО2 по теореме Пифагора: О1О2= см Доказать что, если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то треугольник будет прямоугольным. Дано: Доказать: треугольник прямоугольн Доказательство: L O A K C B M Пусть вневписанная окружность (с центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника. Тогда P=АВ+ВС+АС=(АК+КВ)+ВС+АС=(АL+ВM)+ВС+АС=(АL+АС)+(ВM+ВС)= =СL+СM. Итак,СL+СМ=Р и ОL+ОМ= Р четырёхугольник ОLСМ–ромб, а т.к.ОL СL, то это квадрат. Следовательно,<АСВ=900. Что и требовалось доказать. Дано: Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О1 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О и О1, если радиус описанной окружности треугольника АВС = 6, а sin< ВОС =