Подобие фигур

* Презентация
по
геометрии
по теме:
«Подобие
фигур»
Преподаватель:
Петренко Валентина
Ивановна
Выполнили:
Колесникова Анна
Фомина Мария
Тельных Анна
*История
возникновения
преобразований,
преобразования
подобия
Искусство изображать предметы на плоскости с древних
времен привлекало к себе внимание человека. Попытки
таких изображений появились значительно раньше, чем
возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди
рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах
быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная
практика подсказала людям, каким правилам надо
следовать, чтобы правильно выразить на плоскости
желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о
соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор
Дезарг в1630 г. впервые разработал основы математической
теории перспективы. Своими трудами он положил начало
изучению перспективных преобразований, под которыми в
последствии стали понимать отображение фигуры, данной в
одной плоскости, на другую плоскость посредствам
центрального проектирования или ряда последовательных
проектирований.
* Растущие потребности технического прогресса
требовали научной разработки теории
преобразований, обеспечивающей точность
отображения объектов на плоскость с соблюдением
размеров. Возникшая проблема решалась усилиями
многих талантливых людей. Большой вклад в дело
исследования взаимнооднозначного соответствия на
плоскости и в пространстве сделал немецкий
геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф. Клейн (18491927) положил различные группы преобразований в
основу классификаций различных геометрий:
аффинной (группа аффинных преобразований),
проективной (группа проективных преобразований) и
т. д. Частным случаем аффинного преобразования
является преобразование подобия, в котором
растяжение или сжатие происходит равномерно, т.
е. одинаково вдоль каждой координатной оси.
* Одинаковые по форме, но различные по величине
фигуры встречаются в вавилонских и египетских
памятниках. Учение о подобие фигур на основе
теории отношении и пропорции было создано в
Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами
Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского,
Евдокса Книдского и др.
* Символ обозначающий подобие фигур, есть не
что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая
буква в слове similes, что в переводе означает
подобие. Свойства подобия, установленные из
опыта, издавна широко использовались при
составлении планов, карт, при выполнение
архитектурных чертежей различных деталей
машин и механизмов.
*
*Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий
математик, автор первого из дошедших до
нас теоретических трактатов по
математике. Биографические сведения об
Евклиде крайне скудны. Известно лишь,
что учителями Евклида в Афинах были
ученики Платона, а в правление Птолемея I
(306-283 до н.э.) он преподавал в
Александрийской академии. Евклид –
первый математик александрийской
школы.
*
*
ЗАПОМНИТЕ!
Теорема 11.1
ГОМОТЕТИЯ ЕСТЬ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПОДОБИЯ.
*
*
Свойства
* Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
* Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между
точками — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит
между точками.
* Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие
на одной прямой.
* Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол,
окружность в окружность.
* При подобии угол сохраняет величину.
* Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей
прямую, является гомотетией с коэффициентом.
* Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой
гомотетии с положительным коэффициентом.
* Подобие называется собственным (несобственным), если движение является
собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а
несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
* Два треугольника являются подобными, если их соответственные углы равны, или
стороны пропорциональны.
* Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий
(например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их
диаметров (или радиусов).
* Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
*
*ЗАПОМНИТЕ!
ЕСЛИ ФИГУРА F1 ПОДОБНА
ФИГУРЕ F2, А ФИГУРА F2
ПОДОБНА ФИГУРЕ F3, ТО
ФИГУРЫ F1 И F3 ПОДОБНЫ.
*Доказательство
* Пусть точки X1 и Y1 – две произвольные
точки фигуры F1. При преобразовании
подобия, фигура F1 переходит в фигуру
F2, при этом точки X1 и Y1 переходят в
X2 и Y2 так, что X2Y2 = k1*X1Y1
* Соответственно преобразование
подобия переводит фигуру F2 в F3 и X3Y3
= k2*X2Y2.
* Следовательно, X3Y3 =
k2*X2Y2=k2*k1*X1Y1.
* Как видно, что преобразование фигуры
F1 в F3, получающееся при
последовательном выполнении двух
преобразований подобия, есть подобие.
Значит фигуры F1 и F3 подобны. Теорема
доказана.
*
*ЗПОМНИТЕ!
* Теорема 11.2
ЕСЛИ ДВА УГЛА ОДНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ ДВУМ
УГЛАМ ДГУГОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.
*Доказательство
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1
∠CAB = ∠ C1A1B1, ∠ ABC = ∠ A1B1C1.
Докажем, что Δ ABC подобен Δ A1B1C1.
Пусть k = AB:A1B1. Подвергнем Δ
A1B1C1 гомотетии с коэффициентом k.
Получится некоторый Δ A2B2C2.
Δ A2B2C2 = Δ ABC по второму признаку
равенства треугольников (∠ C2A2B2 =
∠C1A1B1 = ∠ CAB, ∠ A2B2C2 = ∠ A1B1C1 =
∠ABC так как преобразование подобия
сохраняет углы, A2B2 = kA1B1 = AB, по
условию).
Треугольники A1B1C1 и A2B2C2
гомотетичны, следовательно подобны. Δ
A2B2C2 = Δ ABC, следовательно подобны
тоже, а значит треугольники A1B1C1 и
ABC подобны. Теорема доказана.
*
*ЗАПОМНИТЕ!
* Теорема 11.3
ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ
ДВУМ СТОРОНАМ ДРУГОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА И УГЛЫ,
ОБРАЗОВАННЫЕ ЭТИМИ СТОРОНАМИ,
РАВНЫ, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ
ПОДОБНЫ.
*Доказательство
*Признак
подобия
треугольников
по трём
сторонам
*ЗАПОМНИТЕ!
* Теорема 11.2
Если стороны одного
треугольника
пропорциональны сторонам
другого треугольника, то
такие треугольники
подобны.
*Доказательство
*
*Запомните!
*Для подобных прямоугольных
треугольников достаточно, чтобы у
них было по равному острому углу.
*Катет прямоугольного
треугольника есть среднее
пропорциональное между
гипотенузой и проекцией этого
катета на гипотенузу.
*Запомните!
*Высота прямоугольного треугольника,
проведённая из вершины прямого угла,
есть среднее пропорциональное между
проекциями катетов на гипотенузу.
*Биссектриса треугольника делит
противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим
сторонам.
*Контрольные
вопросы
* Что такое преобразование подобия?
* Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
* Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. Какие
свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что
преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
* Какие фигуры называются подобными?
* Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается
подобие треугольников?
* Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум
углам.
* Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум
сторонам и углу между ними.
* Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем
сторонам.
*Контрольные
вопросы
*Докажите, что катет прямоугольного
треугольника есть среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией этого катета на
гипотенузу.
*Докажите, что высота прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, есть среднее пропорциональное между
проекциями катетов на гипотенузу.
*Докажите, что биссектриса треугольника делит
противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам.