1). - SlideBoom

Второй и третий признаки
подобия треугольников
II
признак подобия треугольников. Если две стороны одного
треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.
АВ
АС

Дано:  ABC,  А1В1С1, А  А1 ,
А1 В1 А1С1
Доказать:  ABC
 А1В1С1
Идея доказательства: Рассмотрим два треугольника ABC и А1В1С1 .
Докажем, что они подобны. Для этого построим треугольник ABC2 и
докажем, что он подобен треугольнику А1В1С1 . Рассмотрим треугольники
ABC и ABC2 и докажем, что они равны. Сделаем вывод о подобии
треугольников ABC и А1В1С1.
Доказательство: докажем, что В  В1 и применим 1
признак подобия треугольников
С1
А1
С
В1
А
В
С
С1
В1
А1
В
А
1
2
1). Рассмотрим  ABC2, у которого
1= А1,
 2=В1.
 ABC2
 А1В1С1
по двум углам
АВ
АС2

Тогда
А1 В1 А1С1
АВ
АС

по условию
А1 В1 А1С1
С2
АС = АС2
С
С1
В1
А1
В
А
1
2
2).
 ABC =  АВС2
В = 2,
 =
по двум сторонам и углу
между ними
С2
2=В1
Значит ΔABC~ΔA1B1C1 по I признаку подобия.
III
признак подобия треугольников. Если три стороны одного
треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то
такие треугольники подобны.
Дано:
АВ
ВС
АС


А1 В1 В1С1 А1С1
 ABC,  А1В1С1,
Доказать:
 ABC
 А1В1С1
Доказательство: (аналогично)
Что нужно рассмотреть, чтобы доказать, что

ABC

А1В1С1 ?
Каким признаком подобия мы воспользуемся?
Какой вспомогательный треугольник мы должны рассмотреть?
Какому треугольнику он будет подобен? По какому признаку?
Если треугольники подобны, то какое отношение мы можем составить?
С каким отношением мы должны его сравнить? Что будет следовать?
Доказательство:
докажем, что А  А1 и применим
2 признак подобия треугольников
С
С1
А1
В1 А
В
С
С1
В1
А1
В
А
1
2
1). Рассмотрим  ABC2, у которого
1= А1,
 2= В1.
 ABC2
 А1В1С1
Тогда
по двум углам
АВ ВС 2 АС2


А1 В1 В1С1 А1С1
АВ
ВС
АС


по условию
А1 В1 В1С1 А1С1
АС = АС2
С2
ВС = ВС2
С
С1
В1
А1
В
А
1
2
2).
 ABC =  АВС2
А = 1,
 =
по трем сторонам
С2
1= АА11
Значит ΔABC~ΔA1B1C1 по II признаку подобия.
Решение задач
№1
По данным рисунка
Найти: x
Доказать: BC||AD
Решение:
1) Рассмотрим два треугольника с общей вершиной AOD
и COB
:
BOC  DOA, так как они вертикальные.
Рассмотрим отношение прилегающих сторон:
DO AO
DO 4
AO 6

 2
 2
BO
CO
AO 2
CO 3
Согласно II признаку подобия AOD
~ COB
. Коэффициент подобия k=2.
С помощью него определим длину x=AD:
x
 2 | x  2 * BC  2 * 4  8
BC
2) Так как AOD ~ COB, то все углы у них равны. OBC  ODA- эти углы являются
накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Таким образом,
BC||AD.
Ответ: 8
№2
По данным рисунка найти длину x, отметить равные углы,
доказать, что ABC ~ AB1C1
№3
Подобны ли треугольники ABC и А1В1С1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС
= 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, A1C1 = 10,5 см?
C
C1
AA1
B1 B
№4
По данным рисунка докажите, что B1C1 || АC.
B
A
№5
Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
B
N
A
C
M
K
№6
По данным рисунка найдите угол K.
B
M
10
40o
14
5
7
80o
A
12
C
K
6
P
Домашняя работа: из презентации задачи №2, 3, 4, 5, 6
тетрадь-конспект стр. 54 – типовая задача
стр. 55 – типовая задача, опорная задача.