Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема Чевы. Замечательные
точки треугольника.
Семенова Анастасия 8 «Б»
Теорема Чевы

Теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать
утверждения о точке пересечения медиан, точке
пересечения биссектрис и точке пересечения высот (или
их продолжений) треугольника. Рассмотрим
доказательство этих утверждений.
Медианы треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке
Доказательство. Пусть АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. Тогда
АВ1=В1С, СА1=А1В, ВС1=С1А, и по этому АВ1/В1С * СА1/А1В * ВС1/С1А=1
Отсюда по теореме Чевы следует, что медианы пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.
Замечание. Отношение в котором точка М пересечения медиан делит
каждую медиану, можно найти с помощью теоремы о пропорциональных
отрезках в треугольнике. Согласно этой теореме для медианы АА1 имеем:
АМ/МА1=АВ1/В1С(СА1/А1В+1)=2; Аналогично получаем
ВМ/МВ1=2;СМ/МС1=2
В
А1
С1
М
С
А
В1
Биссектрисы треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть АА1, ВВ1,
СС1 –биссектрисы треугольника АВС. Воспользуемся тем, что
биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам. Согласно этому свойству
АВ1/В1С=АВ/ВС, СА1/А1В=АС/АВ, ВС1/С1А=ВС/АС. Перемножив равенства
получим АВ1/В1С*СА1/А1В*ВС1/СА1=1 Отсюда по теореме Червы
следует, что биссектрисы пересекаются в одной точке. Теорема
доказана.
В
А1
С1
С
А
В1
Высоты треугольника
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Пусть
АА1, ВВ1, СС1 –высоты треугольника АВС. Рассмотрим три случая.
1) Если треугольник АВС остроугольный, то точки А1, В1, С1 лежат соответственно на
сторонах ВС, СА и АВ. Прямоугольные треугольники подобны (так как имеют общий
острый угол С) поэтому СА1/В1С=СА/ВС. Аналогично из подобия треугольников АА1В
и СС1В следует: ВС1/А1В=ВС/АВ, а из подобия треугольников ВВ1А и СС1А –
равенство АВ1/С1А=СС1А. Перемножив равенства получим
АВ1/В1С*СА1/А1В*ВС1/С1А=1. По теореме Червы следует, что высоты пересекаются в
одной точке.
2) Если треугольник АВС прямоугольный, причем угол А прямой, то его высоты
пересекаются в точке А.
В
В
С1
А
А1
В1
А1
С
А
С
Наконец, если треугольник АВС тупоугольный, причем угол А тупой, то как
и в первом случае, из подобия прямоугольных треугольников АА1С и ВВ1С,
АА1В и СС1В, ВВ1А и СС1А получаем соответственно равенства.
Перемножив их приходим к четвертому равенству. Однако в данном
случае лишь точка А1 лежит на стороне ВС, а точки В1 и С1 лежат
соответственно на продолжениях сторон АС и АВ. Воспользуемся
замечанием к теореме Червы, согласно которому прямые АА1, ВВ1 и СС1,
содержащие высоты треугольника, либо пересекаются в одной точке, либо
параллельны. Если бы эти прямые были параллельны, то и
перпендикулярные стороны к ним были бы параллельны друг другу. Но
это не так. Значит, прямые АА1, ВВ1, и СС1 пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.
Точка пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника называют
замечательными точками треугольника. Четвертой замечательной
точкой является точка пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника.
B
A1
B1
C
A
C1


Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором точки А1, В1, и С1
соответственно середины сторон ВС, СА, и АВ. Средняя линия
А1В1 параллельна стороне АВ, поэтому серединный
перпендикуляр к стороне АВ содержит высоту треугольника
А1В1С1, проведенную из вершины С1. Аналогично серединные
перпендикуляры к сторонам ВС и СА содержат две другие
высоты треугольника А1В1С1. Но прямые, содержащие
высоты треугольника А1В1С1, пересекаются в одной точке.
Это означает, что серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника АВС пересекаются в одной точке. Теорема
доказана.
Свойства замечательных точек треугольника

Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения
высот, (или их продолжений) и точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта
прямая называется прямой Эйлера).
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в
отношении 2 : 1 (считая от вершин).
Три замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, точка
пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой.
Прямая Эйлера




Доказательство. Пусть D - середина стороны BC
треугольника ABC, O - центр описанной около треугольника
ABC окружности, H - точка пересечения высот треугольника
ABC . Как мы знаем из предыдущего рассуждения, H - центр
окружности, описанной около треугольника A0B0C0. Но
треугольник A0B0C0 подобен треугольнику A0B0C0 с
коэффициентом подобия 2. Точке H треугольника A0B0C0
соответствует точка O треугольника ABC. Отрезки AH и OD
являются для этих треугольников соответствующими. Значит,
AH = 2OD. Кроме того, AH и OD параллельны.
Обозначим через M точку пересечения AD с OH. Из подобия
треугольников AHM и DOM находим: 2OM = HM.
Итак, точка M делит отрезок OH в отношении 2 : 1, а медиана
AD проходит через M и также делится этой точкой в
отношении 2 : 1.
Задача 3. Доказать, что в треугольнике точка пересечения медиан, центр
окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр лежат на
одной прямой.
 Решение. Пусть дан треугольник АВС, у которого М – точка пересечения
медиан, Р – центр окружности, описанной около треугольника, Н –
ортоцентр, т.е. Н – точка пересечения высот треугольника (рис. 3). Надо
доказать, что точка М принадлежит прямой НР. Рассмотрим Гомотетию с
центром в точке М и коэффициентом k=-1/2. Так как точка М делит
медианы в отношении 1:2, считая от вершины, а Р – точка пересечения
серединных перпендикуляров, то Нм-1/2:ВВ1, а АА1, ВНВ1Р, АНА1Р.
Значит Нм-1/2:НР. Следовательно, точка М принадлежит прямой НР.
