Треугольники Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область

Учимся решать планиметрические задачи.
Подготовка к ЕГЭ. Задание №16.
Треугольники
Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна,
МБОУ гимназия, г. Урюпинск,
Волгоградская область
1
Задачи - теоремы
C
b
Высоты треугольника или их
продолжения пересекаются в
одной точке (ортоцентре)
Если известны стороны
треугольника
, то
или
, где
- высота,
проведенная к стороне ,
S – площадь треугольника,
определяемая по формуле Герона.
2
Задачи - теоремы
Медианы треугольника пересекаются в
одной точке (центре тяжести) и делятся ею
в отношении 2:1, считая от вершины.
C
х
b
2х
3
Задачи - теоремы
Медиана прямоугольного треугольника,
проведенная к гипотенузе, разбивает его на два
равнобедренных треугольника, а длина её
равна половине гипотенузы.
Верно и обратное утверждение.
4
Задачи - теоремы
Биссектриса угла треугольника делит его
противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам, т. е.
5
Задачи - теоремы
C
N
M
Если прямая, параллельная
стороне AB треугольника ABC,
пересекает его сторону AC в
точке M, а сторону BC в точке
N, то треугольники ABC и
MNC подобны.
Следствие: CM: MA = CN: NB.
A
B
6
Задачи - теоремы
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, разбивает его на два
треугольника, подобных исходному треугольнику.
Пусть и b – катеты, h – высота, проведенная к
гипотенузе c прямоугольного треугольника,
и
проекции катетов на гипотенузу. Тогда
b
Следствие:
C
7
Рекомендации при решении задач по
геометрии:
• внимательно прочитать условие задачи,
• построить чертеж, соответствующий условию
(по возможности, наиболее наглядный),
• дать характеристику фигуре, вспомнить
определение, свойства, признаки,
• определить зависимости между элементами,
• рассуждать от вопроса задачи, постепенно
используя данные условия.
8
Разные решения одной задачи
Задача.
Найти периметр прямоугольного треугольника, катеты которого
относятся как 3:4, а длина биссектрисы прямого угла равна
.
Решение.
Введем обозначения:
∠С =90⁰, CL =
A
4k
L
BC = 3k,AC = 4k,AB = 5k (k- коэффициент
пропорциональности),
AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы
треугольника),
Искомый периметр P=12k
C
B
3k
9
1 способ (Высота, проведенная к гипотенузе)
A
1. Проведем высоту CH
2. ∆ CBH~∆ ABC с коэффициентом 3/5
3. Поэтому BH = 9k/5, CH = 12k/5
5k
4. ∆ CLH: LH= BL – BH = 15k/7 – 9k/7 =12k/35
4k
L
H
C
По теореме Пифагора:
B
k= 14
3k
P = 12k = 12∙14 = 168
Ответ: 168.
10
2 способ. Формула CL = CP+PL.
A
1. Проведем отрезок BD так, чтобы CD=CB = 3k
D
2. Образуются равнобедренные прямоугольные
треугольники CDP и CBP.
k
5k
L
P
3k
3. По теореме Пифагора из ∆ BLP:
45⁰
45⁰
C
3k
CL = CP+PL,
B
,
P = 12k = 168.
11
3 способ. Формула CL = CO+OL.
A
1. Проведем OT⊥ AB, где O - центр
вписанной окружности (инцентр)
2. CL = CO+OL
3. Вычислим радиус вписанной окружности
L
T
O
N
k
2k
k
4.
5. Из ∆OLT ( ∠OTL = 90⁰) по теореме Пифагора:
C
k
M
2k
B
6. CL = CO+OL,
k=14
12
4 способ. Теорема косинусов
1. Применим теорему косинусов в ∆CBL
A
k=14
4k
L
45⁰
B
C
3k
13
5 способ. Теорема синусов
A
1. Очевидно, что sin∠ABC = sin∠CBL = 4/5
2. По теореме синусов из ∆CBL
5k
4k
L
k=14
45⁰
B
C
3k
14
6 способ. Формула биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла
A
5k
L
4k
45⁰
k=14
45⁰
B
С
3k
15
7 способ. Формула биссектрисы
A
4k
C
L
B
3k
16
8 способ. Метод площадей.
A
По свойству площадей:
4k
L
45⁰
45⁰
C
B
3k
17
9 способ. Векторный метод
AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника)
A
4k
C
L
B
3k
18
Критерии оценивания выполнения задания № 16
19
Задача №1
В равнобедренном треугольнике ABC AC – основание. На продолжении
стороны BC за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
a) Докажите, что AB - биссектриса угла CAD.
b) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5,
а его основание равно 6.
Решение.
D
Если принять угол при основании
равнобедренного треугольника ABC за α, то
угол ABD, как внешний угол треугольника,
B
будет равен 2α
2α
Так как по условию углы CAD и ABD равны,
то угол DAB, как и угол BAC, равен α, то
есть AB – биссектриса угла CAD.
A
α
α
C
20
∆ ABD ~ ∆CAD (по двум углам)
∠ABD = ∠CAD
∠ DAB = ∠DCA
D
Значит,
Так как по условию AB=5, AC=6,то
2α
B
Из
имеем
Возвращаемся в следующую пропорцию:
α
A
Ответ:
α
α
C
21
Задача №2
В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK: BK = 1:2. Точка
E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.
a) Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.
b) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна
120.
Решение.
a) Докажем, что треугольники APC и BPC
имеют равные площади.
B
1. Найдем, в каком отношении точка P делит
отрезок AK
2. Проведём через K прямую , параллельную CE
T
2x
E
KT║CE
3. По теореме о пропорциональных отрезках
BK:KC = BT:TE, то есть BT:TE = 2:1
K
P
x
A
Но тогда
и AE:ET = 3:1
C
А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK = 3:1
22
∆ APC и ∆PKC имеют общую высоту,
проведённую из вершины С, поэтому
B
Аналогичным образом,
T
2x
∆BPC и ∆PKC имеют общую высоту,
проведенную из вершины P, поэтому
E
P
K
y
Итак, равенство
x
3y
A
C
очевидно.
23
b)Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.
Заметим, что
в силу того, что совпадают высоты, проведенные к
равным сторонам AE и BE
B
Пусть
Тогда
2x
E
2S
6S
P
3y
3S
K
y
Sx
∆APB и ∆BPK имеют общую высоту,
проведенную из точки B, поэтому
x
C
A
То есть
По условию
, поэтому 12S = 120, то есть S = 10.
А значит,
Ответ: 60
24
Задача №3
В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM,CP.
a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.
b) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника
KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
Решение.
a)
∆CPA = ∆ AKC (по гипотенузе и острому углу)
AC –общая, ∠A =∠C (углы при основании
равнобедренного треугольника)
B
Тогда CK=AP.
∆APM = ∆CKM по двум сторонам и углу
между ними (AM=CM, AP=CK, ∠A =∠C)
P
K
Отсюда следует, что PM=KM, то есть ∆ KMP равнобедренный
C
A
M
25
b)
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь ∆KMP
равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
B
1. Из ∆ PBC (∠P =90⁰): cos ABC = 0,6 = PB:BC
2. Пусть тогда PB = 6x, BC = 10x. Очевидно, AP = CK=4x
3. Из ∆ PBC (∠P =90⁰):
6x
6x 4. Из ∆APC (∠P =90⁰):
5. Заметим , sinB = 0,8 (из ∆ PBC) и sinA =
P
K
(из ∆APC)
6.
8x
4x
4x
C
A
M
Ответ: 50
26
Задача №4
Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
b) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что
две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
Решение.
B
a) Пусть AC = x, тогда BC = 24 - x
По условию S = 72,
то есть
S = 72
С
?
A
Так как sinC ≠ 0, то
Для существования x необходимо, чтобы D ≥ 0.
Так как
, то
,
Так как sinC > 0, то приходим к неравенству
Таким образом,
∆ ABC - прямоугольный
,
, то есть ∠ C = 90⁰.
27
Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что
две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
b)
Мы доказали, что sinC = 1.
AC = x = 12, BC = 24 - x = 12
B
Таким образом, ∆ ABC – прямоугольный, равнобедренный (∠A = ∠B = 45⁰).
45⁰
y
Обозначим сторону квадрата MNPQ,
вписанного в равнобедренный треугольник ABC
за y, тогда гипотенуза AB = 3у
M
12
y
y
45⁰
Q
45⁰
y
y
45⁰
45⁰
y
45⁰
C
Поэтому
N
A
P
12
Ответ:
28
Задача №5
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
a) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC
равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности,
описанной около треугольника BMN равен 3 см.
Решение.
C
1. Замечаем, что ∆ ACM и ∆ CAN имеют
общую гипотенузу, значит, точки A, N, M, C
лежат на одной окружности
α
Пусть ∠ACB =α,
тогда ∠ CAM =90⁰-α
M
∠ CAM = ∠CNM (вписанные углы,
опирающиеся на одну дугу)
90⁰-α
Значит, ∠CNM = 90⁰-α.
∠BNM =90 ⁰ - ∠CNM = 90⁰-(90⁰-α)=α
α
B
Итак,
N
A
∠ ACB = ∠ BNM
29
b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC
равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности,
описанной около треугольника BMN равен 3 см.
Решение.
C
∆ BNM ~∆ BCA по двум углам ( ∠B - общий,
∠ ACB =∠MNB = α)
α
Итак,
, но с другой стороны из ∆BNC, ∠N=90⁰
M
Рассмотрим ∆BMN.
По теореме синусов:
R=3
α
B
N
Ответ: 8.
A
30
Спасибо за сотрудничество!
31