Признаки равенства треугольников. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства.

Признаки равенства треугольников.
Высота, медиана, биссектриса
треугольника. Равнобедренный
треугольник и его свойства.
(Обобщающий урок)
7 класс
Учитель математики ГОУ СОШ № 824, г. Москвы
Руденко Галина Михайловна
Медиана треугольника
Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противолежащей стороны.
Любой треугольник имеет три медианы.
Медианы треугольника пересекаются
в одной точке.
Высота треугольника
Высотой треугольника называется
перпендикуляр, проведенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону.
Любой треугольник имеет три высоты.
Высоты или их продолжения
пересекаются в одной точке
Биссектриса треугольника
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с
точкой противоположной стороны.
Любой треугольник имеет три
биссектрисы.
Биссектрисы в треугольнике пересекаются
в одной точке.
Треугольник называется равнобедренным,
если у него две стороны равны
Теорема: У равнобедренного
треугольника углы при основании равны
ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой (аналогично
для медианы и высоты)
Первый признак равенства треугольников (по
двум соответственным сторонам и углу
между ними)
С₁
А
В
А₁
В₁
Второй признак равенства
треугольников (по стороне и двум
прилежащим углам)
С
А
В
С₁
А₁
В₁
Третий признак равенства треугольников
( по трем сторонам)
В₁
В
А
С
А₁
с₁
Задача № 1
Доказать, что если медиана треугольника
совпадает с его высотой, то треугольник
равнобедренный.
В
Дано: ΔАВС,
ВМ— медиана, высота.
Доказать: АВ=ВС
А
С
М
Доказательство:
1. Рассмотрим ΔАВМ и ΔСВМ:
т.к. ВМ—общая сторона, ∆АМВ = ∆СМВ =
90⁰ (ВМ—высота), сторона АМ
треугольника АВМ равна стороне СМ
треугольника СВМ ( ВМ — медиана)
Следовательно, ΔАВМ= ΔСВМ по первому
признаку равенства треугольников.
Задача № 2
Отрезки КМ и LN пересекаются в точке О—
середине этих отрезков. 1) Доказать, что
треугольник KOL равен треугольнику MON.
2) Найти KL, если NM = 12 см.
K
N
O
L
M
Дано: KM∩NL в т. О,
КО=ОМ, LO=ON.
1) Доказать, что ΔKOL=ΔMON
2) Найти KL, если NM=12 см.
1) Доказательство:
Так как KO=OM, LO=ON — по условию
задачи, а ∆KOL = ∆MON — как
вертикальные углы, следовательно,
∆KOL=∆NOM по первому признаку
равенства треугольников ( по двум
сторонам и углу между ними)
2) Решение:
Так как треугольники KOL и NOM равны,
следовательно, равны и соответствующие
стороны и соответствующие углы этих
треугольников. Значит КL= NM = 12 см.
Ответ: 12 см.
Задача №3
Точки М и Р лежат по одну сторону от
прямой а. Перпендикуляры МН и РК к
прямой, равны. Точка О— середина
отрезка НК.
1) Доказать, что ∆ОМР= ∆ОРМ.
2) Найти <НОМ, если <МОР= 110⁰.
М
Р
110⁰
а
Н
О
К
Дано: МН а, РК a, МН
= РК, <МОР = 110 ⁰ .
1) Доказать, что
<ОМР=<ОРМ.
2) Найти <МОН.
Решение:
1. Рассмотрим ΔМОН и ΔРОК: МН=РК,
НО=ОК— по условию задачи,
<МНО = <РКО=90⁰, т. к. МН и РК—
перпендикуляры к прямой а.
Следовательно, ΔМОН = ΔРОК — по
первому признаку равенства
треугольников.
Значит, МО=ОР, т.е. треугольник МОР—
равнобедренный. А у равнобедренного
треугольника углы при основании равны ( по
теореме). Значит <ОМР=<ОРМ.
2. Так как ΔМОН = ΔРОК, то <МОН = <РОК.
Следовательно, <МОН= (180⁰- 110⁰):2=35⁰
Ответ : 35⁰
Задача №4
В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием ВС= 20 см, отрезок АМ—
медиана. Угол ВАС равен 74⁰. Найти <ВАМ,
<ВМА, отрезок ВМ.
А
С
М
В
Решение:
1.Так как медиана равнобедренного
треугольника, проведенная к основанию,
является высотой и биссектрисой,
следовательно, АМ—биссектриса, высота.
Значит, <ВАМ=74⁰ : 2 = 37⁰, а <ВМА = 90⁰.
АМ—медиана , по условию задачи,
следовательно, ВМ= ВС:2= 20:2= 10 см.
ОТВЕТ: 37⁰, 90⁰, 10 см.
Задача № 5
Два отрезка СВ и ТР пересекаются в точке
О так, что она является серединой отрезка
СВ, углы ОВР и ОСТ равны.
1) Докажите, что треугольник ТСО равен
треугольнику РВО. 2) Найдите ОР, если
Р
ОТ=15 см.
О
С
Т
В
Решение:
1) Так как СО=ВО, углы ОСТ и ОВР равны (по
условию задачи), угол ТОС равен углу ВОР
(вертикальные углы), следовательно,
ΔТСО=ΔРВО — по второму признаку равенства
треугольников (по стороне и двум
прилежащим углам).
2) Из равенства треугольников следует, что
ОР=ОТ= 15 см.
Ответ: 15 см.
Задача № 6
Равные отрезки АС и ВD пересекаются в
точке О так, что АВ= СD. Докажите, что углы
САD и ВDА равны.
С
В
О
А
D
Решение:
Рассмотрим треугольники АВD и DСА:
АВ=СD, АС=ВD — по условию задачи,
АD— общая сторона, следовательно,
треугольники равны по третьему признаку
равенства треугольников ( по трем
сторонам). Значит, углы САD и ВDА равны.
Задача № 7
Дано: ΔАВС— равнобедренный, СD – медиана,
т. М взята на продолжении медианы.
Доказать: ΔАВМ – равнобедренный.
В
С
D
М
А
Доказательство:
Рассмотрим ΔАМD и ΔВМD: т. к. СD—
медиана, значит, СD—высота (ΔАВС—
равнобедренный), следовательно, <СDВ=
<СDА = 90⁰. <ВDМ + <СDВ=180, т.к. они
смежные, значит, <ВDМ=90⁰.
DМ— общая сторона. Отсюда,
ΔАМD = ΔВМD по первому признаку.
Следовательно, АМ=ВМ, а значит,
ΔАВМ — равнобедренный.
Задача № 8
В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС медианы АА₁ и СС₁
пересекаются в точке О. Найдите среди
образовавшихся треугольников два
равных треугольника с общим углом В и
докажите их равенство.
В
С₁
А₁
О
А
С
Дано: ВD— биссектриса
угла АВС, <АDВ=<СDВ
В
Доказать: ΔАВD=ΔСВD
1
2
D
А
С
В
С
Дано: АО=DО, <А=<D
Доказать: ΔАОВ=ΔDОС
О
А
D
А
В
D
Доказать: ∆АВD=∆CBD
С
Доказать:
∆KLM=∆KNM
M
L
К
N
Доказать: ∆МКN=∆NPK
P
N
M
K
С
Доказать: ∆АВС- равнобедренный
70°
А
110°
В
Доказать: ∆АВС- равнобедренный
Е
В
А
D
С