Презентация по геометрии На тему «Треугольники» Презентацию подготовила

Презентация по геометрии
На тему «Треугольники»
Презентацию
подготовила
команда 7 Б школы
№ 825
Треугольник

Треугольником называется
фигура, которая состоит
из трёх точек, не лежащих
на одной прямой, и трёх
отрезков, попарно
соединяющих эти точки.
А
Точки называются
вершинами треугольника,
а отрезки - его сторонами.
B
С
Историческая справка
Древняя Греция.
Учение о треугольниках развивалось в
ионийской школе, основанной в VII в. до н.
э. Фалесом, и в школе Пифагора.
Фалес доказал, что треугольник
определяется одной стороной и двумя
прилежащими к ней углами.
Учение о треугольниках было затем
полностью изложено в первой книге
“Начал” Евклида. Среди “определений ”,
которыми начинается эта книга, имеются и
следующие:
“Из трехсторонних фигур равносторонний
треугольник есть фигура, имеющая три
равные стороны.”
“Равнобедренный – фигура, имеющая
только две равные стороны.”
“Разносторонний – фигура, имеющая три
неравные стороны.”
Понятие о треугольнике исторически
развивалось, по-видимому, так: сначала
рассматривались лишь равносторонние,
затем равнобедренные и, наконец,
разносторонние треугольники.
Виды треугольников
по сторонам
1. Равнобедренный
Треугольник называется
равнобедренным, если у него две
стороны равны. Эти равные
стороны называются боковыми
сторонами, а третья сторона
называется основанием
треугольника.
2. Равносторонний

Треугольник, у которого все стороны
равны, называется равносторонним
3. Прямоугольный
Треугольник называется
прямоугольным, если у него есть
прямой угол
Катет
Катет
Виды треугольников по углам
Тупоугольный – это треугольник
у которого один
из углов тупой
Остроугольный – треугольник у
которого все углы
острые.
Прямоугольный – треугольник у
которого один из
углов равен 90°
Равенство треугольников

Два треугольника называются
равными, если их можно совместить
наложением.
B
A
B1
C
A1
C1
Первый признак равенства
треугольников
Теорема
Если две стороны и угол между ними
одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между
ними другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Второй признак равенства
треугольников

Если одна сторона и два прилежащих
к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и
двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие
треугольники равны.
Третий признак равенства
треугольников
Если три стороны одного
треугольника соответственно равны
трём сторонам другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Медиана
Медиана треугольника — это отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противолежащей стороны
этого треугольника.
Высота
Высотой треугольника называется
перпендикуляр, проведенный из
вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную
сторону этого треугольника.
Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который
исходит из его вершины, проходит между
его сторонами и делит данный угол
пополам. Биссектрисой треугольника
называется отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий вершину с
точкой на противолежащей стороне
этого треугольника.
Свойства равнобедренного
треугольника
Треугольник называется
равнобедренным,
если две его стороны равны.
Теорема
1
Теорема
2
В РАВНОБЕДРЕННОМ
ТРЕУГОЛЬНИКЕ УГЛЫ ПРИ
ОСНОВАНИИ РАВНЫ
В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой.
Теорема о сумме углов
треугольника
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.
а
В
4
1
2
5
3
С
А
Доказательство:
Рассмотрим треугольник АВС и докажем, что А +В +С = 180°.
Проведем через вершину B прямую а, параллельную стороне АС.
Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при
пересечении
параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест
лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых
секущей ВС. Поэтому 4 = 1, 5 = 3. Очевидно, сумма углов
4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
4 + 2 + 5 = 180°, или
А +В +С = 180°.
Теорема доказана.
Теорема о соотношениях между сторонами и
углами треугольника
В треугольнике против большей стороны
лежит больший угол.
В треугольнике против большего угла
лежит большая сторона.
Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета.
Следствие 2
Если два угла треугольника равны, то
треугольник равнобедренный
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше
суммы двух других
сторон.

Для любых точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой,
B
справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ
АС < АВ + ВС
ВС < ВА + АС

А
Каждое из этих неравенств называется
неравенством треугольника
С
Некоторые свойства
прямоугольных треугольников
10 Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 900.
20 Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 300, равен
половине гипотенузы.
30 Если катет прямоугольного треугольника
равен половине гипотенузы, то угол,
лежащий против этого катета, равен 300.
Признаки равенства
прямоугольных треугольников
1. ЕСЛИ КАТЕТЫ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ КАТЕТАМ
ДРУГОГО, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ
2. ЕСЛИ КАТЕТ И ПРИЛЕЖАЩИЙ К НЕМУ ОСТРЫЙ УГОЛ
ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ КАТЕТУ И ПРИЛЕЖАЩЕМУ К
НЕМУ ОСТРОМУ УГЛУ ДРУГОГО, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
РАВНЫ
3. ЕСЛИ ГИПОТЕНУЗА И ОСТРЫЙ УГОЛ ОДНОГО
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО
РАВНЫ ГИПОТЕНУЗЕ И ОСТРОМУ УГЛУ ДРУГОГО, ТО
ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ
4. ЕСЛИ ГИПОТЕНУЗА И КАТЕТ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ
ГИПОТЕНУЗЕ И КАТЕТУ ДРУГОГО, ТО ТАКИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ
Задача 1
Дано: ABC , C  90 , A  37
Найти:  B
В
0
370
А
С
0

Ответ:
B  53
0
Задача 2
Дано: ABC , C  90 , ABC  45 ,
0
CD  AB, CD  8
Найти:
AB
А
D
450
С
В
0

Ответ:
AB  16
Задача 3
B
250
A
С
D
Дано: ABC , C  25 , AD  BD  CD
Найти: A, ABC
0

Ответ : A  650 ABC  900
Кроссворд
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой содержащей противолежащую
сторону.
Сумма длин сторон треугольника.
Треугольник с двумя равными сторонами.
Треугольник с углом равным 90°.
Большая из сторон прямоугольного треугольника.
Сторона равнобедренного треугольника.
В любом треугольнике их три.
Треугольник, один из углов которого больше 90°.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Чем является точка А в треугольнике АВС?
Отрезок, который делит угол треугольника пополам.
Ответы:

1. Высота. 2. Периметр. 3.
Равносторонний. 4. Прямоугольный. 5.
Гипотенуза. 6. Основание. 7. Угол. 8.
Тупоугольный. 9. Медиана. 10. Вершина.
11. Биссектриса.
Молодцы! 
Вставьте пропущенные слова
Геометрическая фигура, имеющая 3
вершины, 3 стороны и 3 угла
называется ____________________.
 2. В равных треугольниках против
соответственно равных сторон лежат
______________________ углы.
 11. Два треугольника называются
равными, если их можно наложением
________________________.

3. Отрезок, соединяющий
вершину треугольника с
серединой противоположной
стороны, называется
____________________________
__.
4. Любой треугольник имеет
всего ____ высоты.
5. Треугольник, у которого
все стороны равны, называется
___________________________.
6. Равные стороны
равнобедренного треугольника
называются
__________________________
сторонами, а третья сторона –
_______________________.
7. Если две стороны и угол между
ними одного треугольника
соответственно равны
___________________________________
__________________________________,
то такие треугольники
________________.
8. Высота равнобедренного
треугольника, проведённого к
основанию, является
___________________________________
___________________________________
9. Сумма длин трёх сторон
треугольника называется его
_______________________.
10. В равнобедренном
треугольнике углы при
основании
____________________.
11. Два треугольника
называются равными, если
их можно наложением
________________________.


тест
1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
.
2) Если треугольник
равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота
является биссектрисой и
медианой.
3) В каком треугольнике
только одна его высота
делит треугольник на
два равных
треугольника?
а) в любом;
б) в
равнобедренном;
4) Биссектриса в
равностороннем
треугольнике является
медианой и высотой. Это
утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
5) Если треугольник
равнобедренный, то
а) он равносторонний;
б) любая его медиана
является биссектрисой и
высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
6) В каком треугольнике
любая его высота делит
треугольник на два
равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответы:






1. Ответ: б), если медиана проведена к основанию
равнобедренного треугольника.
2. Ответ: а), б), и в), равносторонний треугольник является
частным случаем равнобедренного треугольника; в
равнобедренном треугольнике углы при основании равны,
поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.
3. Ответ: б), высота, проведённая к основанию
равнобедренного треугольника.
4. Ответ: а)
5. Ответ: в), т.к. равнобедренный треугольник не всегда
является равносторонним; медиана, проведённая к
боковой стороне равнобедренного треугольника, не является
биссектрисой и высотой, если треугольник не
равносторонний.
6. Ответ: в).
Самостоятельная работа
1.Для доказательства
равенства треугольников
АВС и DEF(рис1)
достаточно знать, что:
а) АВ=DF; б)АС=DE;
в)АВ=DE.
2.Для доказательства
равенства треугольников
АВС и EDF(рис 2)
достаточно доказать, что:
а) А= D
б) В= D
в) А= Е .
3.Из равенства
треугольников АВС и
FDE(рис 3)следует, что:
а)АВ=FD б)АС=DF
в)СВ=ED.
4.Из равенства
треугольников АВС и
DEF(рис 4) следует, что:
а) В= D
б) А= D
в) С= F .
Ответы
1. В
2. В
3. А
4. В
Спасибо за
внимание!